Я категорически отметаю осуждение Гаусса в трусости со стороны наших, потому что он скрывал не истину, а свои опасения относительно дальнейших путей развития математики, науки и вообще человеческих представлений о мире. Если он в чем-то и ошибся, то только в напрасном опасении ухода науки с рельсов дискурсивного мышления в сторону более широкой и многослойной реальности.
Н. Лобачевский и Ч. Больяи не задумывались о таких последствиях, ибо ими двигали молодость и смелость, но умудренный Гаусс вполне мог предчувствовать, что с разрушением пятого постулата геометрии науку ждут те потрясения, которые ей действительно пришлось пережить уже в наше время, когда смутные догадки Гаусса превратились в суровую теорему Гёделя о неполноте любой формальной системы аксиом (1931).
Фердинанд Швейкарт. Хочу напомнить имя почти забытого «неизвестного гения», причастного к созданию неевклидовой геометрии. Это Фердинанд Львович Швейкарт (1780–1857), особенно близкий мне, коренному харьковчанину, тем, что выводы, содержащие основы неевклидовой геометрии, были сделаны им в период работы в Харьковском университете (1812–1817). По этой причине его иногда именуют харьковским создателем «астральной» геометрии.
Юрист по профессии, Фердинанд Швейкарт учился в Марбургском и Йенском университетах, где, кроме юридических наук, слушал лекции по математике и физике профессора Гауффа. Служил ординарным профессором, воспитателем детей князя Гогенлоэ, заведующим кафедрой Гейденбургского университета, а в 1811 году был приглашен в Харьковский университет. Современники характеризовали его как неофила, благородного, просвещенно-либерального и гуманного по характеру человека, великолепного рассказчика и изобретательного ученого. Особым увлечением Швейкарта стала математика. В 1807 году он опубликовал книгу «Теория параллельных с предложением изгнания их из геометрии». Это была еще одна неудачная попытка доказательства пятого постулата Евклида.
Из ныне опубликованной переписки Швейкарта с Гауссом известно (письмо от 25 января 1819 года), что после обнаружения ошибки в собственной книге Ф. Швейкарт к 1818 году разработал альтернативную геометрию, названную им звездной, в которой нет необходимости в пятом постулате Евклида, сумма трех углов в треугольнике может быть меньше двух прямых, и евклидова геометрия является лишь ограниченной частью звездной, или, как можно лучше выразиться сегодня, — виртуальной геометрии. Из переписки следует также, что Ф. Швейкарт попросил Х. Л. Герлинга ознакомить знаменитого К. Ф. Гаусса с его идеями, что тот и сделал в 1819 году. Позже Гаусс, ознакомившись с работой Швейкарта, рекомендовал тому изучить теорию Лобачевского. Согласно собранным мною данным, имя Лобачевского в переписке Гаусса появилось только в 1846 году.
Я убежден в несправедливости утверждения, что именно Фердинанд Швейкарт обратил внимание Гаусса на проблему параллельных прямых. На самом деле реакция Гаусса на присланные ему Х. Л. Герлингом материалы исследований Ф. Швейкарта была вполне определенной: «Почти всё списано с моей души». Это означает, что он давно, задолго до Швейкарта, занимался этой проблемой. Позже Гаусс утверждал, что мысли о возможности неевклидовой геометрии зародились у него за сорок лет до Швейкарта, то есть еще в XVIII веке, и что, не предавая их гласности, ему пришлось «3 или 4 раза возобновлять весь труд в… голове».
Можно заключить, что Ф. Швейкарт (1818) и позже его племянник Ф. А. Тауринус (1825) вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии, но они вряд ли осознали, что намечаемая ими теория будет столь же логически законной, как и геометрия Евклида. Сам Фердинанд Швейкарт ничего более по неевклидовой геометрии не публиковал. К этой истории можно лишь добавить то, что, каким бы ни был реальный вклад «непрофессионала» Фердинанда Швейкарта в неевклидову геометрию, он и по сей день остался безвестным гением, непонятым и одиноким.
Сохранился его рапорт в Совет Харьковского университета, датированный 1815 годом: «Во все времена своей жизни в Харькове я получил только одно письмо от своих друзей и родных и из него узнал, что они получили мое письмо только через три года. Есть нечто тяжелое в этом обстоятельстве, что можно больше чувствовать, чем выражать словами: "что для тела кровь, для торговли деньги, то для науки — общение идей"».
Ясно, что «обращения идей» тогда не было, в Харькове Швейкарту не с кем было общаться по проблеме неевклидовой геометрии, да и от «короля» европейских математиков поддержки он не получил.
Николай Иванович Лобачевский. Н. И. Лобачевский (1792–1856) пришел к убеждению о возможности неевклидовой геометрии скорее всего в 1824–1825 годах, а в 1826-м прочитал доклад о новой теории под названием «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»[79].
В 1835—38 годах Лобачевский опубликовал более развитое изложение своей теории — «Воображаемую геометрию», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в предисловии к которой сказано: «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения». В 1840 году выходят на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей.
В этих работах доказана возможность геометрии, выходящей за пределы аксиом и теорем Евклида. В частности, Н. И. Лобачевский показал, что в реальности для достаточно больших треугольников на земной поверхности (акватории) сумма углов будет меньше 180°, а четырехугольника — меньше 360°. Решение проблемы Лобачевским сводилось к тому, что пятый постулат Евклида не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии и что принятие постулата, противоположного этому постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.
Отдавая приоритет реальности и опыту перед математической игрой ума, Лобачевский расценил, что евклидова геометрия базируется на идеальном пространстве, тогда как в реальности необходима проверка правильности постулата Евклида (подобно другим физическим законам) в опытах, например, при астрономических наблюдениях. По его убеждению, геометрия не является независимой от опыта, а подлежит экспериментальной проверке, и в основании математики должны находиться понятия, «приобретаемые из природы»: «Все математические начала, которые думают произвести из своего разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики». Свою геометрию он рассматривал как возможную теорию свойств реального пространства, то есть свойств структуры соответствующих отношений материальных тел и явлений.
Одно из важнейших следствий неевклидовой геометрии состоит в том, что она действительно описывает свойства физического пространства даже более точно, чем евклидова геометрия. Например, уже в наше время в теории тяготения показано, что если считать распределение масс во Вселенной равномерным, то физическое пространство такой Вселенной подчиняется неевклидовой геометрии. Необходимость и достаточность евклидовой геометрии как геометрии физического пространства ниоткуда не следует и никем никогда не была доказана; истинность той или иной геометрии может быть установлена только опытным путем (это ясно понимал сам Лобачевский, стремясь найти эмпирические основания своей геометрии).
В течение нескольких десятилетий большинство математиков игнорировало геометрию Лобачевского, отказываясь воспринимать ее всерьез. На родине Лобачевского сложилась тяжелая атмосфера непризнания и постоянных нападок. Это продолжалось до самой смерти Лобачевского. От него требовалось большое личное мужество, чтобы противостоять травле и продолжать научную работу.
Не могу удержаться от желания сообщить читателю реакцию на работы Лобачевского другого «великого человека» того времени, Н. Г. Чернышевского: «…Некто Лобачевский… бывший профессором в Казани… Что такое "геометрия без аксиомы о параллельных линиях"? — Ребятишки забавляются тем, что прыгают на одной ноге».
Академик М. В. Остроградский, не поняв значения работы Лобачевского, дал на нее отрицательный отзыв: «Книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой… она небрежно изложена и… следовательно, она не заслуживает внимания Академии». В журнале «Сын отечества» анонимный автор писал: «Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего».
Трагедия Николая Лобачевского состояла в том, что, совершив великое открытие, ему пришлось упорно и безрезультатно — в окружении полного непонимания — утверждать и отстаивать собственную правоту. Тогда только К. Ф. Гаусс, да и тот — в частной переписке, оценил работу Лобачевского в области теории параллельных как выполненную «мастерским образом и в истинно геометрическом духе».
Многолетний и плодотворный труд Лобачевского не только не получил положительной оценки на родине, но в 1846 году его фактически отстранили от работы в университете, лишив кафедры и ректорства. Отстранение от деятельности, которой он посвятил жизнь, резкое ухудшение материального положения, а затем смерть старшего сына разрушающе отразилось на его здоровье, ученый одряхлел и стал слепнуть.
24 февраля 1856 года кончилась жизнь великого ученого, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.
И Лобачевского, и Больяи стали считать заблуждающимися чудаками. Однако эти математики упорствовали в своей правоте. Но с беотийцами шутки плохи. Отставленный от всех своих постов, под грузом всеобщего непонимания, неблагодарности, ослепший, кончил свою жизнь Лобачевский. Лишь только один король математики протянул ему руку, сделав членом-корреспондентом Геттингенского королевского ученого общества. Но и он ни словом не обмолвился о той самой великой заслуге русского ученого, которая обессмертила его имя.