Числа, которые можно представить в виде простых дробей, называются рациональными. Для пифагорейцев основу веры составляло то, что все числа можно представить именно в такой форме, и рациональность чисел была скалой, на которой зиждилась их духовная философия. Казалось, сама природа подтверждала их правоту: Пифагор и его последователи проявляли глубокий интерес к музыке, наблюдая возникновение гармонии при укорочении вибрирующей струны на определенную долю. Это можно продемонстрировать на хорошо настроенной гитаре: дерните открытую струну, и пусть она звучит. Теперь прижмите струну к грифу на середине ее длины, на отметке 12-го лада. Звук станет на одну октаву выше, чем при звучании открытой струны, так как частота колебаний увеличится в два раза. Если на электрогитаре вы прижмете струну в 24-ом ладу, то длина звучащей струны уменьшится еще вдвое, и в результате звук будет выше уже на две октавы. Это метафизическое знание о мелодике и гармонии укрепляло уверенность в божественном происхождении упомянутых отношений. Не было никаких оснований оспаривать божественную нумерологию – для последователей Пифагора все сущее было числом, и все сущее было совершенно.
Но даже самая красивая теория может рухнуть под натиском безобразной реальности. Опровержение пифагорейской философии явилось не от внешних врагов, а от верного ученика. О жизни Гиппаса из Метапонта известно очень мало, но имеющиеся скудные сведения заставляют думать, что это был преданный пифагореец, который даже в мыслях не допускал возможность оспаривать очевидность рациональности.
Существуют разные версии рассказа о том, как именно он нанес серьезную рану пифагорейской философии, но чаще всего цитируют работу Гиппаса о квадратном корне из 2. Это число имело особую важность для Пифагора. Рассмотрим единичный квадрат, длина каждой стороны которого равна 1. Согласно знаменитой теореме, длина диагонали этого квадрата равна в точности √2. Это значение имело для Пифагора особую важность, ибо, хотя приблизительное значение составляло 1,414, вывод точного мистического соотношения был не очевиден. Несомненно, пифагорейцы очень старались вывести такое рациональное значение: 99/70 отличается от истинного ответа меньше, чем на 1/10000. Дробь 665857/470832 дает еще большее приближение, отличающееся от истинной величины не более чем на одну триллионную долю. Но простого приближения было недостаточно; надо было получить точное, единственное соотношение, чтобы подтвердить правильность веры. Однако решение в руки не давалось. Воспользовавшись красивой аргументацией, Гиппас представил беспощадное и краткое доказательство того, что поиск точного отношения – абсолютно бесплодная затея. Первым делом Гиппас предположил, что такая несократимая дробь существует, то есть, √2 = P/Q.
Следующим шагом стало избавление от корня, и так как действие в одной части уравнения требует выполнения такого же действия в другой части для сохранения равносильности, Гиппас возвел в квадрат обе части уравнения и после перестановки получил следующее уравнение: 2Q2 = P2. На первый взгляд это уравнение мало помогает делу, но Гиппас заметил то, что – в силу своей тривиальности – прежде игнорировалось: P2 ровно в два раза больше, чем Q2. Но P2 может быть четным числом только в том случае, если четным числом является P, а значит, его можно обозначить как 2К. Но вернувшись к нашей предыдущей записи, мы получаем 2Q2 = (2K)2 = 4K2 и, таким образом, можем утверждать, что Q2 = 2K2. Снова использовав тот же довод, мы можем утверждать, что Q, по необходимости, является четным числом. Но этого не может быть, так как мы уже определили, что дробь P/Q является несократимой, а отношение двух четных чисел всегда является сократимой дробью. Следовательно, мы пришли к неразрешимому противоречию. Это был поразительный вывод: просто предположив, что совершенное соотношение существует, Гиппас показал, что это допущение приводит к абсурду.
Единственным выходом из противоречия было заключить, что для выражения корня квадратного из 2 не существует рационального числа, то есть – не существует красивого и магического целочисленного соотношения. На горизонте замаячил демон иррациональности, потрясший веру до основания; святости божественной пропорциональности был нанесен сокрушительный удар. Мало того: последовательное применение метода – доказательства от противного – показало, что √2 не является дьявольским исключением, единственной аномалией, для существования которой можно было придумать рациональное обоснование. Наоборот, новый метод доказательства позволил обнаружить и новый класс чисел – чисел, непредставимых в форме точного соотношения и названных иррациональными. Вдобавок, словно для того, чтобы окончательно уязвить пифагорейцев, та же логика привела и к другому открытию: множество иррациональных чисел бесконечно больше, чем множество всех рациональных чисел[8].
Этим своим впечатляющим интеллектуальным подвигом Гиппас вовсе не снискал любви и уважения общины. Легенды по-разному рассказывают о его судьбе, о том, как обошлись с ним оскорбленные последователи Пифагора, и нам очень трудно отделить истину от апокрифов. Но точно известно, что дерзость Гиппаса, осмелившегося осквернить рай пифагорейской общины с помощью ее же собственного инструментария, вызвало ярость секты, и она осудила Гиппаса, обвинив его в нарушении благочестия. Если верить дошедшему до нас рассказу, Гиппас был приговорен к наказанию, предусмотренному за подобное преступление: к утоплению в море. Но хотя пифагорейцы и смогли убить этого человека, они оказались не в состоянии отменить реальность, которую тот открыл. Со временем иррациональность чисел размыла сам фундамент того, что они считали священным. Конечно, математическое понятие иррациональности отличается от ее расхожего определения: “отсутствие разумной логики в словах и действиях”. Но забавная абсурдность описанной ситуации заключается в том, что слепая приверженность пифагорейцев к рациональности была иррациональной, а признание существования иррациональности было единственным рациональным решением!
Противоречия бесценны, потому что предупреждают нас о том, что происходит нечто неправильное. Правда, мы – во вред самим себе – обладаем великолепной способностью игнорировать противоречия. Подумайте: мы буквально купаемся в симфонии невидимого света. Наш глаз воспринимает лишь ничтожную долю электромагнитного спектра, но этот спектр охватывает все цвета, все образы, доступные нашему взгляду. Электромагнитные волны – основа всех типов излучения: от знакомого нам видимого света, озаряющего наш мир, и радиоволн до рентгеновских лучей, совершивших революцию в анатомических исследованиях и терапии рака. В эру беспроводной связи наши телефоны и роутеры, в которых используются все преимущества микроволнового излучения, способны в мгновение ока, по мановению кончиков наших пальцев, предоставить нам всю сокровищницу человеческого знания. Но возможна ли в мире, где стали вездесущими мобильные телефоны и Wi-Fi, связанная с ними угроза нашему физическому здоровью?
Если бегло просмотреть соответствующие сайты интернета, то ответ, вероятно, будет положительным. Многие сайты живо и цветисто убеждают нас в том, что от пользования мобильными телефонами возрастает риск рака мозга. На других сайтах столь же красноречиво говорится о том, что телефоны и роутеры нас “варят”. Некоторые консультативные агентства подчеркивают опасность Wi-Fi и предлагают – за необоснованно большую плату – пакет услуг, минимизирующих этот риск. Есть и такие, кто утверждает, будто гигантские телекоммуникационные компании и производители телефонов скрывают опасность радиочастотного излучения. Один такой индивид в 2017 году подал иск к Калифорнийскому министерству здравоохранения с требованием публикации сведений о воздействии радиоволн на здоровье. Самое удивительное, что суд этот человек выиграл. Но, вероятно, самым известным источником, питающим подобные утверждения, является доклад организации BioIniative Report. В Сети этот доклад был впервые опубликован в 2007 году под звуки фанфар вездесущих СМИ, а затем дополнен и снова опубликован в 2012 году. Доклад представили публике как добросовестное исследование группы ученых и специалистов здравоохранения. Смелые выводы не оставляют места никаким сомнениям: радиочастотное излучение вызывает мириады расстройств, в том числе непомерно повышает риск рака.
Однако не спешите выбрасывать мобильный телефон и не вырывайте из стены кабель роутера. Стоит для начала заметить, что этот вывод находится в вопиющем противоречии с огромным массивом научных данных. Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) утверждает, что “не установлены какие-либо неблагоприятные эффекты воздействия мобильных телефонов на наше здоровье”. Онкологический институт Великобритании отмечает, что имеющиеся к настоящему времени данные показывают: “маловероятно, будто мобильные телефоны повышают риск опухолей мозга или рака иных типов”. Если бы угроза была реальной, то на фоне повального использования мобильных телефонов в течение последних двадцати лет мы наблюдали бы всплеск онкологической заболеваемости. Однако в масштабном эпидемиологическом исследовании эта зависимость отсутствует: исследование, проведенное в 13 странах (INTERPHONE), не обнаружило причинной связи между использованием телефонов и заболеваемостью такими распространенными опухолями головного мозга, как глиобластома и менингиома; кривая доза-ответ не демонстрирует корреляции между этими двумя переменными. Такое же по масштабу исследование, проведенное в Дании, не выявило очевидной связи между использованием мобильных телефонов и заболеваемостью раком. Использование мобильных телефонов в Америке возросло практически с нуля в 1992 году до почти 100-процентного использования в 2008-м, но проведенные исследования не указывают на повышение заболеваемости глиомой.