6Mn. Это означало, что наша теория может быть адаптирована для предсказания как четких, так и размытых точек в зависимости от используемого процесса охлаждения. Таким образом, мы всё еще оставались в игре.
Модель икосаэдрического стекла тоже оставалась в игре, поскольку она и так предсказывала размытые пятна. Что еще ухудшало ситуацию, данные также оставляли место и для одной из версий идеи Полинга о кристалле с множественным двойникованием, если допустить наличие повторяющихся строительных блоков, состоящих как минимум из восьми сотен атомов.
Таким образом, все три модели могли объяснить данные Шехтмана.
На самом деле существовал еще один тип теста, который мог определить исход состязания, и он включал нагревание вместо охлаждения. Если на протяжении длительного времени аккуратно нагревать образец, не доводя до температуры расплавления, то возможны три разных исхода. Он может либо образовать еще более совершенный квазикристалл с четкими пиками, как прогнозировали мы с Довом, либо образовать еще более совершенный кристалл с множественным двойникованием в согласии с теорией Полинга, либо остаться неупорядоченным икосаэдрическим стеклом с размытыми пиками в случае, если верна модель Стефенса – Голдмана.
Однако, к сожалению, эксперимент с нагреванием нельзя было провести с шехтмановским сплавом Al6Mn из-за его тенденции к кристаллизации. Подогревание сплава даже в течение небольшого времени полностью разрушало икосаэдрическую симметрию, так что становилось невозможным определить, какая из теорий верна.
Фактически даже спустя более трех десятилетий после открытия шехтмановского сплава Al6Mn эксперименты не позволяют со всей определенностью сказать, является ли он квазикристаллом, икосаэдрическим стеклом или кристаллами с множественным двойникованием Лайнуса Полинга.
Эта дилемма отчасти объясняет, почему научному сообществу понадобилось так много времени, чтобы признать квазикристаллы новой формой вещества.
Другая причина задержки признания имела скорее теоретическую природу, связанную с глубоким исследованием мозаик Пенроуза. Критики, предпочитавшие модель икосаэдрического стекла, настаивали, что истинный квазикристалл – это недостижимое состояние, поскольку нет правдоподобного способа его “вырастить”.
Для кристаллографов слово “рост” означает медленное формирование кристаллов из жидкой смеси атомов. Каждый может создать кристаллы сахара, растворив много сахара в воде и подождав несколько дней, пока он кристаллизуется. Подобные процессы протекают и в природе, и в лабораториях. В микроскопическом масштабе при этом происходит вот что: все начинается с какого-то небольшого кластера атомов в жидкости, к нему присоединяется все больше и больше атомов, пока кластер не “вырастает” до видимых размеров. Для протекания такого процесса важно, чтобы атомы поддерживали регулярный периодический порядок, в каком бы месте они ни присоединялись. Поскольку атомы в жидкости, случайно встречаясь с кластером, взаимодействуют только с ближайшими его атомами, должны существовать простые силы или простые правила, определяющие, где атомы смогут присоединиться, а где нет.
Обычный опыт сборки мозаик Пенроуза наводит на мысль, что для квазикристаллов не существует таких простых “правил роста”. Представьте, что вы решили покрыть большую поверхность пенроузовским узором, используя стопку широких и узких ромбических плиток. Вы знаете о правилах совмещения и поэтому обязательно станете присоединять каждую новую плитку в соответствии с тем, как предписывают пенроузовские замки. Ваша цель – полностью покрыть поверхность, не оставляя никаких просветов.
Вам может показаться, что эту задачу легко выполнить. В конце концов, Пенроуз показал, что, используя плитки с замками, можно полностью покрыть поверхность даже бесконечной протяженности.
Но это было бы серьезным заблуждением. Мозаика Пенроуза подобна сложному пазлу, состоящему из фрагментов всего лишь двух форм. У задачи есть правильное решение – способ, которым соединяются все элементы пазла. Однако для нахождения точного решения требуется спокойствие и множество проб и ошибок.
Если начать складывать плитки одну к другой, вы, вероятно, столкнетесь с трудностями уже после десятка-другого элементов, даже если будете педантично следовать всем правилам совмещения при добавлении каждой плитки. В итоге образуется место, на которое не подойдет ни широкая, ни узкая плитка. Придется начать заново, попытавшись выбирать другие варианты. Скорее всего, однако, вы и в этот раз продвинетесь не намного дальше.
Проблема состоит в том, что правила совмещения Пенроуза гарантируют лишь то, что добавляемая плитка правильно расположена по отношению к непосредственным соседям. Они не гарантируют, что эта плитка правильно располагается по отношению к остальным плиткам мозаики. Так что, если вы не особо везучи, некоторые плитки, уже добавленные к отдаленным друг от друга частям мозаики, окажутся в конфликте друг с другом. И этот конфликт неожиданно проявится, лишь когда вы достигнете точки, в которой не сможете добавить очередную плитку. Ученые называют такую тупиковую ситуацию дефектом.
Если вы продолжите добавлять плитки, то вскоре обнаружите новый дефект. А затем еще, еще и еще. К моменту, когда будут уложены сотни плиток, дефектов окажется так много, что результат вряд ли будет напоминать мозаику Пенроуза.
Пенроуз, конечно, доказал, что плитки можно уложить в идеальный узор без дефектов. Но он никогда не утверждал, что сложить такой узор можно, просто добавляя плитки друг к другу в произвольном порядке. В действительности ему самому было хорошо известно, что найти правильное расположение почти невозможно.
Если эта проблема возникает с мозаиками Пенроуза при использовании правил совмещения, рассуждали критики, то же самое должно происходить и с атомами, которые один за другим присоединяются к растущему кластеру при формировании квазикристалла: в ходе роста будет появляться так много дефектов, что окажется практически невозможно образовать что-то, хотя бы напоминающее квазикристалл. Скептики пришли к выводу, что во всех практических смыслах идеальный квазикристалл – это недостижимое состояние вещества.
Это был по-настоящему тяжелый момент в нашей квазикристаллической истории. Обе проблемы казались непреодолимыми. Лучшие эксперименты с Al6Mn проводились с быстро охлажденными образцами, которые всегда давали на рентгеновской дифракционной картине размытые пятна вместо предсказываемых нами четких точек. А теперь еще появился сильный теоретический аргумент в пользу того, что квазикристаллы – недостижимое на практике состояние вещества.
Дискуссию удалось разрешить благодаря двум прорывам. Один был теоретическим, другой – экспериментальным.
Теоретический прорыв был связан с открытием альтернативы пенроузовским замкам – так называемых правил роста. Они позволяли добавлять плитки к мозаике по одной безо всяких ошибок и без образования дефектов. К установлению правил роста меня подтолкнул очередной визит в Исследовательский центр IBM имени Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк. На этот раз меня пригласили туда на лето для продолжения исследований по квазикристаллам.
Однажды в период моей работы в Центре исследователь по имени Джордж Онода пригласил меня и еще одного коллегу – Дэвида Дивинченцо – на ланч. Он хотел обсудить новую идею о том, как избежать дефектов в мозаиках Пенроуза. Джорджа я знал несколько лет. Мы встречались во время моего первого научного отпуска в IBM в 1984 году, примерно тогда же, когда вышла наша первая с Довом статья по квазикристаллам. А с Дэвидом я познакомился, когда он еще был аспирантом в Пенсильванском университете.
Когда мы уселись за стол, Джордж объяснил, что он знаком с проблемой частых дефектов, возникающих при следовании правилам совмещения Пенроуза, но, поработав над этим вопросом, обнаружил, что можно выработать дополнительные правила, которые гарантируют снижение частоты возникновения дефектов. Идея звучала интригующе. Так что, быстро покончив с ланчем, мы перебрались для дальнейшего обсуждения за большой круглый кофейный стол. Джордж вытащил коробку, полную бумажных пенроузовских плиток, и начал демонстрировать свои новые правила.
Без сомнения, правила Джорджа были шагом вперед. Мы все равно в итоге зашли в тупик и получили зазор, который невозможно было заполнить, но прежде мы смогли сложить друг с другом более двух десятков плиток. Поняв, как работают новые правила Джорджа, мы заметили, что можно добавить еще одно правило, которое делает процесс еще лучше. А добавив его, мы обнаружили еще одно, ведущее к дальнейшим улучшениям. На протяжении следующих двух часов каждый из нас поочередно добавлял новые правила, пока мы вдруг не обнаружили, что можем покрыть весь стол плитками Джорджа без единой ошибки и без добавления новых правил.
Со стороны было, наверно, странно видеть троих ученых, склонившихся над столом и пытающихся собрать самодельный бумажный пазл. Но если кому-то и было до нас дело, мы этого не заметили. Чем больше времени мы тратили на проект, тем более захватывающим он становился. Никто из нас не ожидал найти правила, позволяющие соединить так много плиток Пенроуза без единого дефекта.
К сожалению, для этого нам понадобился длинный список туманных на первый взгляд правил вроде: “Если возникла конфигурация, похожая на такую-то и такую-то, то добавьте вот к этому ее краю широкую плитку”. Однако в дальнейшем, внимательно изучив этот список, я заметил, что его можно компактно переформулировать в терминах добавления плиток в местах, называемых открытыми вершинами.
Вершина замощения – это любая точка, где сходятся углы нескольких плиток. Открытая вершина – это такая, в которой остается клинообразное пространство для добавления новых плиток.
Весь наш длинный список новых правил удалось упаковать в одно-единственное предложение: “Добавлять плитку к вершине замощения можно только в случае наличия единственного варианта, ведущего к образованию правильной новой вершины, допустимой в идеальном пенроузовском замощении; в противном случае следует переходить к другой вершине”.