рех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 — еще ближе.
Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.
В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx — dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx — в интеграл.)
В одной из малоизвестных работ Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»[25] он делает то же самое для трех измерений, рассекая бочку на плоскости и складывая плоскости друг с другом. Кеплер по крайней мере не боялся стоящей перед ним проблемы: по мере того как Øx приближается к нолю, получение суммы становится эквивалентным сложению бесконечного числа нолей — результат, не имеющий смысла. Кеплер игнорировал эту проблему. Хотя сложение бесконечного числа нолей с точки зрения логики — тарабарщина, ответ, который оно давало, был правильным.
Кеплер был не единственным выдающимся ученым, который рассекал объекты на бесконечно тонкие слои. Галилей тоже размышлял о бесконечности и бесконечно малых величинах. Об этих двух идеях — бесконечно больших и бесконечно малых, превосходящих наше конечное понимание, он писал: «Первых (мы не понимаем) по причине их огромности, вторых — их малости». Однако несмотря на глубокую тайну бесконечных нолей, Галилей чувствовал их могущество. «Представьте себе, чем они становятся, объединившись», — поражался он. Ученик Галилея Бонавентура Кавальери отчасти ответил на этот вопрос.
Вместо винных бочек Кавальери рассекал геометрические объекты. Для Кавальери всякая площадь, как, например, площадь треугольника, состояла из бесконечного числа имеющих нулевую ширину отрезков прямых, а всякий объем — из бесконечного числа имеющих нулевую высоту плоскостей. Эти неделимые отрезки и плоскости подобны атомам площади и объема; дальше делить их нельзя. Как Кеплер измерял объем винной бочки с помощью тонких слоев, так Кавальери складывал бесконечное число неделимых нолей для определения площади или объема геометрического объекта.
Утверждения Кавальери весьма беспокоили геометров. Сложение бесконечного числа имеющих нулевую площадь отрезков не могло дать двумерного треугольника, а бесконечного числа имеющих нулевой объем плоскостей — трехмерный объект. Это была та же проблема: нет логического смысла в сумме бесконечного числа нолей. Тем не менее метод Кавальери всегда приносил правильный ответ. Математики стали игнорировать логические и философские нестыковки при сложении бесконечного числа нолей, особенно поскольку неделимые, или бесконечно малые, как их стали называть, величины наконец позволили найти ответ на давно существовавшую проблему касательной.
Касательная — это прямая, лишь слегка целующая кривую. Для любой точки гладкой кривой, существующей в пространстве, имеется прямая, лишь задевающая кривую, касаясь ее только в одной точке. Это и есть касательная, и математики обнаружили, что она чрезвычайно важна при изучении движения. Например, представьте себе, что вы вращаете мяч на веревочке над головой. Он движется по окружности. Однако если вы внезапно перережете веревочку, мяч улетит по касательной к этой окружности; сходным образом рука питчера в бейсболе движется по дуге в момент броска, но как только он выпустит мяч, тот летит по касательной (рис. 24).
Рис. 24. Полет по касательной
Другой пример: если вы захотите узнать, куда упадет мяч у подножия холма, вы будете искать точку, в которой касательная горизонтальна. Крутизна касательной — ее наклон — обладает в физике некоторыми важными свойствами: например, если у вас имеется кривая, представляющая траекторию движения велосипеда, то наклон касательной к этой кривой в каждой данной точке скажет вам, с какой скоростью двигался велосипед в момент, когда он этой точки достиг.
По этой причине несколько математиков XVII века, такие как Эванджелиста Торричелли, Рене Декарт, француз Пьер де Ферма (прославившийся своей последней теоремой) и англичанин Исаак Барроу, разрабатывали различные способы нахождения касательной в каждой точке кривой. Как и Торричелли, все они столкнулись с проблемой бесконечно малых величин.
Чтобы провести касательную к кривой в данной точке, лучше всего сделать так: выбрать другую точку поблизости и соединить две точки. Полученная прямая не будет в точности касательной, но если кривая не слишком ухабиста, две прямые будут довольно близки друг к другу. Можно предположить, что по мере того как уменьшается расстояние между двумя точками, соединяющая их прямая все ближе совпадет с касательной (рис. 25). Когда точки окажутся на нулевом расстоянии друг от друга, такое приближение даст вам касательную. Конечно, тут есть проблема.
Рис. 25. Аппроксимация касательной
Самой важной особенностью прямой является ее наклон, и чтобы измерить его, математики выясняют, насколько прямая поднимается на определенном расстоянии. Например, представьте себе, что вы едете на восток вверх по холму; при этом на каждую милю, которую вы проехали, приходится подъем на полмили. Наклон холма — это просто подъем (полмили) над горизонтальным расстоянием, которое вы проехали (милей). Математики сказали бы, что наклон холма — 1/2. Это же верно для прямых: чтобы определить наклон прямой, вы смотрите, насколько она переместилась по вертикали (математики обозначают это символом Øy) при заданном перемещении по горизонтали (которое обозначается Øx); таким образом, наклон равен Øy /Øx.
Когда вы пытаетесь рассчитать наклон касательной, процесс приближения вам портит ноль. По мере того как аппроксимация делается все лучше и лучше, точки на кривой, которые вы для нее используете, оказываются все ближе друг к другу. Это означает, что разница по вертикали, Øy, стремится к нолю, как и расстояние по горизонтали между точками, Øx. В результате, когда аппроксимация касательной делается все лучше, Øy /Øx приближается к 0 / 0. Ноль, деленный на ноль, может равняться любому числу на свете. Имеет ли наклон касательной какое-либо значение?
Каждый раз, когда математики пытались иметь дело с бесконечностью или с нолем, они сталкивались с логическими трудностями. Чтобы вычислить объем бочки или площадь параболы, математики складывали друг с другом бесконечные ноли; чтобы найти касательную к кривой, они делили ноль на самого себя. Ноль и бесконечность заставляли простой акт нахождения касательной или определения площади выглядеть противоречащими самим себе. Эти трудности положили бы конец интересным рассуждениям, если бы не одно обстоятельство: эти бесконечности и ноли служат ключом к пониманию природы.
Ноль и тайна математического анализа
Чем больше ум анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения… Это не конечные величины, не бесконечно малые величины, но и не ничто. Не назвать ли нам их призраками исчезнувших величин?
Проблемы касательной и площади оказываются в запутанном состоянии из-за одних и тех же трудностей с бесконечностью и нолями. Это неудивительно, поскольку проблема касательной и проблема площади на самом деле одно и то же. Они обе — аспекты дифференциального и интегрального исчисления, научного инструмента, много более мощного, чем все, что было известно ранее. Телескоп, например, дал ученым возможность обнаружить луны и звезды, никогда раньше не наблюдавшиеся. Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, — и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.
Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.
Несмотря на тяжелое детство[27] и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.
Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) — потоках — математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x2 + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются — текут — с течением времени. Скорость их изменения — их флюксии — он обозначал как x́ и ý соответственно.
Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона