Теории, объединяющие квантовую теорию и общую теорию относительности, описывающие центр черной дыры и сингулярность Большого взрыва, настолько далеки от эксперимента, что может оказаться невозможным выяснить, какая из них правильна, а какая — нет. Доводы сторонников теории струн и космологов могут быть математически безупречными, но в то же время столь же бесполезными, как философия Пифагора. Математические теории могут быть красивыми, последовательными и как будто объясняющими природу Вселенной — и быть совершенно ошибочными.
Все, что известно ученым, — это что космос родился из ничего и вернется в ничто, из которого возник.
Вселенная начинается с ноля и кончается нолем.
Приложение AЗверь, овощ или министр?
Пусть числа a и b оба будут равны 1. Поскольку они равны между собой,
b2 = ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1).
Поскольку a равно самому себе, очевидно, что
a2 = a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2). Это дает
a2 — b2 = a2 — ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Мы можем преобразовать обе части уравнения:
a2 — ab = a(a — b); a2 — b2 = (a + b)(a — b).
Тут нет ничего сомнительного. Эти выкладки совершенно верны. Подставьте в них числа и убедитесь сами. Подставив эти значения в уравнение (3), получаем:
(a + b)(a — b) = a(a — b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).
Пока все хорошо. Теперь разделим обе части равенства на (a — b) и получим
а + b = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5).
Вычтем из обоих частей a и получим
b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6).
Однако в самом начале этого рассуждения мы задали b = 1, и это значит, что
1= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7).
Это важный результат. Рассуждаем дальше. Нам известно, что Уинстон Черчилль имел одну голову. Но, согласно равенству (7), один равен нолю, значит, Черчилль головы не имел. У него не было набора лиственных побегов, значит, он имел один набор лиственных побегов. Далее умножим обе части равенства (7) на 2 и получим
2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8).
У Черчилля было две ноги, следовательно, он не имел ног. У Черчилля было две руки, следовательно, он не имел рук. Теперь умножим равенство (7) на размер талии Черчилля в дюймах. Значит,
размер талии Черчилля = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9).
Это значит, что Черчилль сужался до ноля. А теперь посмотрим, какого цвета был Уинстон Черчилль? Возьмем любой световой луч, отраженный от него, и выберем фотон. Умножим равенство (7) на длину волны и получим:
длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).
Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что
640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).
Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.
Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, — оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.
Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль — морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка — разные вещи, поэтому они — одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)
Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок — тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a — b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a — b = 1 — 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.
Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.
Приложение BЗолотое сечение
Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x).
Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:
x / (1 + x) = 1 / x.
Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x, что дает
x2 / (1 + x) = 1.
Умножив потом обе части на (1 + x), получаем
x2 = 1 + x.
Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем
x2 — x — 1 = 0.
Теперь можно решить квадратное уравнение:
х = 1±√(1 + 4) / 2.
Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.
Приложение ССовременное определение производной
В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x0, обозначаемой как f '(x), таково:
f '(x) = lim f(x +ε) — f(x) /ε при ε → 0.
Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна
f '(x) = lim (x2 + 2εx + ε2 + x +ε+ 1 — x2 — x — 1) / ε при ε → 0..
Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается
f '(x) = lim (2εx +ε+ε2) / ε при при ε → 0.
Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем
f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.
Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем
f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1
Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.
Приложение DКантор пересчитывает рациональные числа
Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.
Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b — целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.
Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x — координата точки по оси X, а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).
Рис. 58. Нумерация рациональных чисел
Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):
1 . . . . . . . . . . 0
2 . . . . . . . . . . 1
3 . . . . . . . . . . 1/2
4 . . . . . . . . . . 2
5 . . . . . . . . . . 3
6 . . . . . . . . . . 1
7 . . . . . . . . . . 1/3
8 . . . . . . . . . . 1/4
9 . . . . . . . . . . 2/3
И так далее, и так далее.
Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.
Следующий шаг — удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:
Место — рациональное число
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1/2
5 . . . . . . . . . . . . . . . —