Понятие иррациональности таилось внутри греческой математики, как бомба с часовым механизмом. Благодаря двойственности «число-формы» греческое исчисление было равносильно измерению прямой. Таким образом, отношение двух чисел было не более чем сравнением двух отрезков разной длины. Однако для любого измерения требуется стандарт, общая мера для сравнения с величиной отрезков. Например, представьте себе отрезок прямой длиной ровно в фут. Сделайте отметку, скажем, на расстоянии пяти с половиной дюймов от одного конца, которая разделит фут на две неравные части. Греки вычислили бы пропорцию с помощью деления отрезка на маленькие кусочки, используя, например, стандартную мерку в полдюйма. Одна часть отрезка содержала бы одиннадцать таких мер, а другая — тринадцать. Отношение двух отрезков, таким образом, было бы 11:13.
Для того чтобы все вещи во Вселенной управлялись пропорциями, как надеялись пифагорейцы, любое имеющее смысл явление должно было быть связано с безупречной, точной пропорцией. Она в буквальном смысле слова должна была быть рациональной. Точнее, пропорции должны были иметь вид a / b, где a и b были бы безупречными, точными натуральными числами, такими как 1, 2 или 47. (Математики предупреждают, что b не должно быть нолем, потому что это было бы равнозначно делению на ноль, что, как мы знаем, катастрофично.)
Нет необходимости говорить: Вселенная вовсе не так упорядочена. Некоторые числа не могут быть выражены в виде простого отношения a / b. Эти иррациональные числа были неизбежным следствием греческой математики.
Квадрат — одна из простейших геометрических фигур, и пифагорейцы должным образом ценили его. (Квадрат имеет четыре стороны, что соответствует четырем элементам; он символизирует совершенство чисел.) Однако в простоте квадрата прячется иррациональность. Она появляется, если вы проведете диагональ — из одного угла в противоположный. В качестве конкретного примера представьте себе квадрат со стороной в один фут. Проведите диагональ. Одержимые рациональностью люди, такие как греки, смотрели на сторону и диагональ квадрата и спрашивали себя: каково отношение этих двух отрезков?
Первым шагом было бы создать общую мерку, может быть, маленькую линейку в полдюйма длиной. Следующим шагом было бы использование этой мерки, чтобы разделить оба отрезка на одинаковые части. Пользуясь полудюймовой меркой, мы можем разделить сторону квадрата длиной в один фут на двадцать четыре части, каждая длиной в полдюйма. Но что получится, когда мы измерим диагональ? Используя ту же мерку, мы обнаружим… что диагональ состоит из почти тридцати четырех таких частей, но совсем точно не делится. Тридцать четвертый кусочек чуть-чуть не умещается, линеечка торчит из угла квадрата. Мы можем усовершенствовать процесс, взять линеечку длиной в одну шестую дюйма и разделить отрезки на бо́льшее число частей. Тогда сторона квадрата окажется состоящей из семидесяти двух частей, но диагональ будет содержать больше сто одной, но меньше сто двух частей. Измерение снова окажется несовершенным. Что случится, если мы разобьем отрезки на действительно маленькие части — в миллионную долю дюйма каждая? На сторону квадрата придется двенадцать миллионов кусочков, но диагональ будет содержать их чуть меньше, чем 16 970 563. Снова наша линеечка не уляжется на оба отрезка в точности. Какую бы мерку мы ни выбрали, измерение так и не получится точным.
На самом деле сколь бы маленькую мерку мы ни использовали, невозможно найти такую, которая измерила бы сторону и диагональ квадрата в совершенстве: диагональ несоизмерима со стороной квадрата. Тем не менее без общей меры невозможно выразить длины двух отрезков так, чтобы они образовали пропорцию. Это значит, что для квадрата со стороной в единицу длины нельзя найти такие натуральные числа a и b, чтобы диагональ квадрата могла быть выражена как a / b. Другими словами, диагональ квадрата выражается числом иррациональным; сегодня мы понимаем, что это число — корень квадратный из двух.
Для пифагорейской доктрины это было бедой. Как природа могла управляться отношениями и пропорциями, когда нечто столь простое, как квадрат, было способно опровергнуть их язык? В такую идею пифагорейцам было трудно поверить, но она была неопровержима, будучи следствием математических законов, которые были им так дороги. Одно из первых математических доказательств в истории касалось несоизмеримости — иррациональности диагонали квадрата.
Иррациональность представляла опасность для Пифагора, поскольку угрожала основам его вселенной пропорций. Дело еще ухудшалось тем, что пифагорейцы скоро обнаружили: золотое сечение, величайший для них символ красоты и рациональности, также является иррациональным числом. Чтобы не дать этим ужасным числам разрушить доктрину Пифагора, иррациональные числа было решено засекретить. Все члены братства хранили молчание, никому не позволялось делать записи, и несоизмеримость квадратного корня из двух сделалась глубочайшим, ужаснейшим секретом ордена пифагорейцев.
Однако иррациональные числа, в отличие от ноля, не могли игнорироваться греками. Иррациональные числа снова и снова возникали при всевозможных геометрических построениях. Было трудно хранить иррациональность в секрете от людей, настолько одержимых геометрией и пропорциями. Нельзя было избежать того, что в один прекрасный день кто-то не выдал бы секрет. Этим кем-то оказался Гиппас из Метапонта, математик и член пифагорейского братства. Тайна иррациональных чисел оказалась для него несчастьем.
Легенды весьма неопределенны и сообщают противоречивые сведения о предательстве Гиппаса и наказании за него. Математики по сей день рассказывают о несчастном, который раскрыл миру существование иррациональных чисел. Некоторые утверждают, что Гиппаса выбросили за борт в качестве заслуженного наказания за то, что он своими грубыми фактами разрушил прекрасную теорию. Одни древние авторы сообщают о его гибели в море за нечестивость, другие считают, что пифагорейцы изгнали Гиппаса из братства и соорудили его гробницу, исключив тем самым из мира живых. Однако какова бы ни была истинная судьба Гиппаса, не приходится сомневаться, что он был отвергнут своими братьями. Раскрытый секрет потряс самые основы пифагорейской доктрины, однако, объявив иррациональность аномалией, пифагорейцы смогли предотвратить искажение их взгляда на Вселенную. В конце концов греки неохотно включили иррациональные числа в область чисел. Пифагора убила не иррациональность, а бобы.
Легенды о кончине Пифагора являются столь же туманными, как и легенда об убийстве Гиппаса. Тем не менее все они утверждают, что смерть Пифагора была странной; некоторые источники говорят, что он уморил себя голодом, но самая распространенная версия — что причиной его смерти были бобы. Однажды его дом загорелся — его подожгли враги, рассвирепев, что их сочли недостойными видеть Пифагора. Члены братства разбежались, спасая свои жизни. Пифагорейцев убивали одного за другим, братство перестало существовать. Сам Пифагор бежал и мог спастись, если бы не оказался рядом с бобовым полем. Там он остановился, заявив, что скорее позволит себя убить, чем пересечет это поле. Его преследователи только обрадовались этому. Они перерезали Пифагору горло.
Хотя братство рассеялось, а его вождь погиб, пифагорейское учение продолжало жить. Оно скоро стало основой самой влиятельной философии в истории Запада — учения Аристотеля, владевшего умами на протяжении двух тысячелетий. Ноль противоречил этой доктрине и, в отличие от иррациональных чисел, его можно было игнорировать. Качества греческих «число-форм» делали это легкой задачей; в конце концов, ноль не был фигурой, а потому не мог быть числом.
Однако не вычислительная система греков и не недостаток знаний препятствовали принятию ноля. Греки узнали о нем благодаря своему интересу к ночному небу: как и большинство древних народов, они наблюдали за звездами. Первыми мастерами астрономии были вавилоняне; они узнали, как предсказывать затмения. Фалес, первый греческий астроном, научился этому у вавилонян или, возможно, у египтян. О нем говорили, что в 585 году до н. э. он предсказал солнечное затмение.
Вместе с вавилонской астрономией пришли и вавилонские числа. Для целей астрономии греки использовали шестидесятеричную систему и даже стали делить час на шестьдесят минут, а минуту — на шестьдесят секунд. Около 500 года до н. э. ноль — символ-заполнитель — начал появляться в вавилонских записях; его использование, естественно, распространилось и среди греческих астрономов. Во времена расцвета древней астрономии в греческих астрономических таблицах регулярно использовался ноль; его символом был строчной омикрон «ο», который выглядит очень похоже на наш современный ноль, хотя это, возможно, совпадение. (Использование омикрона могло быть следствием того, что это первая буква греческого слова «ничто» — ouden). Греки не любили ноль и использовали его как можно реже. Выполнив вычисления по вавилонской системе, греческие астрономы обычно переводили числа обратно в громоздкую греческую форму — без ноля. Ноль никогда не использовался в числе древних цифр на Западе, так что маловероятно, что омикрон — прародитель нашего ноля. Греки видели пользу ноля для вычислений, но все равно отвергали его.
Это вызывалось не невежеством и не ограничениями греческой системы «число-форм», а философией. Ноль вступал в противоречие с фундаментальными философскими воззрениями Запада, поскольку ноль содержит две идеи, отравляющие западную доктрину. Действительно, эти концепции со временем разрушили аристотелевскую философию после ее долгого царствования. Опасные идеи были представлениями о пустоте и о бесконечности.
Бесконечность, пустота и Запад
Тебя кусает под одежкой
Блоха, и в свой черед она
Укушена мельчайшей блошкой.
На меньшей меньшая сидит,
И все идет adinfinitum.