касевич. Первый из них предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику за счет новой формы: S есть Р и не-Р; Лукасевич же подверг серьезной критике все формулировки закона непротиворечия у Аристотеля. Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует все, что угодно». Отсюда и большое разнообразие самих паранепротиворечивых логик, которых на самом деле бесконечно много. Вот, к примеру, четыре основных подхода к конструированию пропозициональных паранепротиворечивых логик (предикатные их варианты являются их непосредственным расширением). 1. Дискуссивные (дискурсивные) паранепротиворечивые логики. Дискуссивная логика является исторически первой. Ее построил С. Яськовский (1948), обозначив посредством D2. Как следует из названия, эта логика предназначена для выявления логики дискуссии, в которой участники могут иметь противоречивые мнения. Яськовский определяет эту логику посредством подходящей интерпретации в модальной логике Люиса S5 (см. Модальные логики). Дискуссивная логика является паранепротиворечивой, поскольку мы можем подобрать такую интерпретацию в S5, что 0А и 0-А имеют место, но не 0В. Для того чтобы проходило правило modus ponens, Яськовский определяет дискуссивную интерпретацию импликации z> d: Az> d В = 0 A z) В. Примечательной особенностью такой логики является то, что в ней не имеет места правило введения конъюнкции {А, В} |— А & В. Поэтому зачастую такие логики называются не-адъюнктивными (non-adjunctive). Дис- куссивным логикам посвящена большая литература, и есть различные обобщения данного подхода. Более того, в 1984 было показано, что дискуссивную логику в духе Яськовского можно построить во всякой нормальной модальной логике. 2. Релевантные логики. По своей мотивации и развитию релевантные логики являются одним из классов паранепротиворечивой логики. Уже в силу критерия релевантности, сформулированного А. Белнапом в 1960, следует, что в релевантной пропозициональной логике доказуема не каждая форму-
198
ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ла, главный знак которой — релевантная импликация —>, а антецедент противоречив, т. е., напр., недоказуема формула (А & -А) -> В. Существуют различные семантические подходы, показывающие паранепротиворечивость релевантных логик. Наиболее известной семантикой для релевантных является возможных миров семантика с тернарным отношением, развитая Р. Роутли и Р. Мейером в 1973 г. Конъюнкция и дизъюнкция (см. Логические связки) для таких логик ведут себя обычным образом. Однако наиболее важным с точки зрения паранепротиворечивой логики является рассмотрение отрицания. С каждым миром w ассоциируется мир w*, так что w** = w*. Истинностные условия для -А следующие: -А истинно в w т. т. т., когда А ложно не в w, а в w*. T. о., если А истинно в w, но ложно в w*, (А & -А) истинно в w. Ясно, что отрицание здесь является интенсиональным оператором. Тернарное отношение требуется при определении истинностных условий для релевантной импликации. Однако уже имеются различные упрощения первоначальной тернарной семантики возможных миров, данные Г. Пристом, Р. Силваном и Г. Ресталлом посредством разделения множества возможных миров на нормальные и ненормальные. Как и в случае с модальными логиками, различные ограничения на отношение достижимости между мирами дают различные релевантные, а следовательно, паранепротиворечивые логики. 3. Многозначные логики. Наиболее простой и наглядный способ конструирования паранепротиворечивости является тот, когда к двум классическим истинностным значениям 1 (истина) и 0 (ложь) добавляется третье истинностное значение S, интерпретируемое разными авторами как «антиномич- но», «парадоксально», «противоречиво». Приняв в качестве выделенных истинностных значений 1 и S и взяв S в качестве неподвижной точки, что позволяет определить отрицание как -i(S) = S, имеем случай, когда (р & -р) принимает выделенное значение. Очевидно, что эти логики, как и классическая, являются истинностно-функциональными. Не представляет труда сконструировать такие трехзначные логические матрицы, в которых правило modus ponens имеет место, а закон Дунса Скотта нет. 4. Не-истинностно-функциональный подход. Опишем класс паранепротиворечивых логик, который наиболее широко известен и интенсивно исследуется со времени их появления. Основная идея здесь состоит в том, что берется полный позитивный фрагмент интуиционистской или классической логики и не-истинностно-функциональным образом определяется отрицание. В 1963 Н. да Коста построил бесконечную последовательность паранепротиворечивых логик, наименьшей из которых является Cw. К позитивному фрагменту интуиционистской логики добавляются следующие истинностные условия для отрицания: (I) если v(A) = 0, то v(-A) = 1 (II) если v(A) = 1, то v(-t-iA) = 1, где V есть функция оценки формул на множестве классических истинностных значений {0,1}. Тогда для аксиоматизации Cw нужно к полной системе позитивной интуиционистской логики с единственным правилом вывода modus ponens добавить следующие две аксиомные схемы: Av-A и -nA z> А. Добавляя другие истинностные условия, можно получить иерархию систем да Косты Cn (1< n < w). Каждая логика Сп обладает следующими свойствами: 1) закон непротиворечия -.(А & -А) не является тавтологией. 2) из А и -А нельзя в общем случае дедуцировать произвольную формулу В. 3) каждая Сп является бесконечнозначной логикой (см. Многозначные логики). В свою очередь Д. Батенс (1980) берет позитивный фрагмент классической пропозициональной логики и определяет отрицание условием (i). Тогда аксиоматизация получается посредством добавления к данному фрагменту только схемы аксиом Av-A Заметим, что конверсия условия (i) дает нам классическую логику. Основная проблема, как видим, заключается в определении операции отрицания. Как да Коста (и его школа, в особенности в последующих работах), так и Батенс пытаются определить отрицание максимально приближенно к классическому, но в то же время, чтобы оно было паранепротиворечивым. Дело в том, что истинность А и -А ставит вопрос о том, чем на самом деле является паранепротиворечивое отрицание? Эта проблема активно обсуждается в последнее время, что ставит вопрос о философском и логическом статусе отрицания вообще и более того — о статусе самой паранепротиворечивой логики, поскольку для некоторых из них (в определенном выше смысле) имеют место следующие выводимое ти: {А, -А} |- -.В или {-А, -и-пА} |- В. Возросший интерес в последние годы к паранепротиворечивым логикам (в 1997 в Бельгии прошел посвященный им 1-й Международный конгресс) объясняется многочисленными применениями и приложениями последних. Наиболее важным применением является исследование возможно противоречивых теорий. В первую очередь это относится к формальной семантике и теории множеств. Уже построен целый ряд пара- непротиворечивых теорий множеств, в которых расселовское множество существует. Более того, если формализованную арифметику строить на основе паранепротиворечивой логики, то истинное Геделево предложение может быть доказуемо вопреки результату Геделя (первая теорема о неполноте). Пара- непротиворечивая логика имеет применение в естественных и социальных науках, в квантовой механике, в вероятностных и индуктивных рассуждениях, в теории нечетких понятий, в деонтической логике (моральные дилеммы), в доксатической логике (системы полагания). Особенно важно применение пара- непротиворечивой логики в компьютерных науках, где возникает задача логической обработки противоречивой информации, напр, поступающей из различных источников. Лит.: Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру. — В кн.: Бел- напН., Стил Г. Логика вопросов и ответов. М., 1981; ИшмуратовА. Т., Карпенко А. С, Попов В. М. О паранепротиворечивой логике. — В кн.: Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М., 1989; Розоноэр Л. И. О семантике противоречивых формальных теорий. — «Семиотика и информатика», 1993, вып. 33; Arruda A. I. A survey of paraconsistent logic— Mathematical logic in Latin America. Dordrecht, 1980; Batens D. Paraconsistent extensional prepositional logics. — «Logique et Analyse», 1980, v. 23; da Costa N. С А. On the theory of inconsisten formal system. — «Notre Dame Journal of Formal Logic», 1974, v. 15; da Costa N. C. A., Marconi D. An overview of paraconsisten logic in the 80's. — «The Journal of Non-Classical Logic», 1989, v. 6; da Costa N. С A., Bezian J.-Y., Otavio A. S. B. Aspects of paraconsistent logic— «Bulletin of IGPL», 1995, v. 3; Jaskowski S. Prepositional calculus for contradictory deductive systems. — «Studia Logica». 1969, v. 24; Priest G. In contradiction: A study of the transconsistent. Dordrecht, 1987; RescherN, Brandom R. The logic of inconsistency. Oxf.—Blackwell, 1980; Restall G. Simplified semantics for relevant logics (and some of their rivals). — «Journal of Philosophical Logic», 1993, v.22. А. С. Карпенко
199
ПАРАТАХ-ПРАМАНЬЯ
ПАРАТАХ-ПРАМАНЬЯ (санскр. paratahpramanya — достоверность, [зависящая] от другого) — в индийской философии общее обозначение эпистемологических доктрин, отрицавших внутреннюю самодостоверность знания (как в учениях типа сватах-праманья) и утверждавших, что истинность или неистинность знания зависит от внешнего источника. Этот постулат разделяли идеалистические школы буддизма (прежде всего виджняна-вада), а также ньяя и вайшешика. Паратах-праманья относится прежде всего к праманам — источникам достоверного познания (восприятие, логический вывод, аналогия, словесное свидетельство и т. п.). Она утверждает, что ни один из них не является самодостаточным и для доказательства своей истинности нуждается в дополнительной верификации с помощью другого источника. Однако найяики вынуждены были признать, что последовательное проведение этого принципа приводит к регрессу в бесконечность (anavastha): одно суждение для доказательства своей истинности нуждается в другом, то в свою очередь в третьем и т. д. Чтобы избежать этого, некоторые мыслители ньяи, в