Маркова. Использование точного понятия алгоритма дало возможность развивать конструктивную математику и конструктивную математическую логику как науки. Н. А. Шанин построил алгоритм конструктивной расшифровки, выделяющий из любой математической формулы явное построение конструктивного объекта и условие, которое необходимо доказать для корректности данного построения. Он заметил, что для обоснования уже сделанного построения можно, в предположении принципа Маркова, использовать классическую логику. Т о., при конструктивном понимании формула содержит две задачи: задачу на построение и задачу на доказательство. Если первая из них практически с неизбежностью требует перехода к неклассической логике, то вторая зачастую может быть решена традиционными средствами. Это разделение двух типов задач явилось важным методологическим следствием, достичь которого помог принцип Маркова, поскольку без него такого простого алгоритма расшифровки и простой характе- ризации задач на доказательство достичь не удается. Вместе с тем Б. А. Кушнер выяснил, что из чисто математических результатов от принципа Маркова зависит лишь теорема Г. С. Цейтина о непрерывности конструктивных функ-
293
КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТций действительного переменного. Но как раз она явилась самым важным результатом конструктивного анализа. Ее доказательство в корне отлично от соответствующей теоремы интуиционистского анализа, поскольку опирается не на ограниченность доступной конечной информации о бесконечных объектах, а на сложность полной информации об алгоритмах, которыми располагает конструктивная функция. Свойства конструктивных функций оказались резко отличными от классических. Еще более жесткий вариант конструктивного подхода предложил Р. Л. Гудстейн. Он использовал лишь такие алгоритмы, которые по своему определению заведомо заканчивают работу, и лишь такие свойства их, которые выражаются в виде V xr.jcj[x) = g(x). T. о., он изгнал не только неконструктивные объекты, но и идеальные суждения (см. Финитизм). Даже столь простые утверждения, как существование предела вычислимой последовательности, пришлось приближать более простой последовательностью. В дальнейшем подобным путем пошел Н. А. Шанин, создав теорию приближений идеальных высказываний непосредственно конструктивно интерпретируемых. Порою такие приближения (трансфинитные развертки, по Шанину) позволяют выявить глубоко скрытый конструктивный смысл классических чистых теорем существования. Наоборот, Э. Бишоп, создатель американской школы конструктивизма, свободно пользовался идеальными высказываниями, но отвергал принцип Маркова, поскольку он потребовал бы признать, что все эффективные построения являются алгоритмами, а Бишоп заметил, что, умалчивая об этом, мы можем получить незаурядные теоретические преимущества (хотя все построенные нами методы остаются алгоритмическими). Это еще один случай, когда намеренное незнание показало свой мало использованный в рациональных науках потенциал. П. Мартин-Лёф создал оппортунистическую систему, воспользовавшись наблюдением Клини, что фиксация алгоритмических функций еще не означает фиксации алгоритмов преобразования функций. Объекты нижнего уровня у него алгоритмы, а высших — строятся по Бишопу. Конструктивная математика, по Мартин-Лёфу, изложена столь же строго, как и российская, но включила многие преимущества до сих пор не формализованного изложения Бишопа. Свойства функций, по Бишопу и Мартин-Лёфу, оказались значительно ближе к классическим, расходясь с ними лишь в тех случаях, когда классические теоремы существования не дают и не могут дать никакого алгоритмического построения. Доказательства теорем у них, как правило, короче и прозрачнее, чем в трудах российской школы. Таких преимуществ они достигли за счет более смелого использования идеальных понятий. Лит.: Марков А. А. Теория алгорифмов. — Труды Математического института, т. 42. М., 1954; Шанин Н. А. О конструктивном понимании математических суждений. — Там же, т. 52. М— Л., 1958; Гудстейн Р. Л. Рекурсивный математический анализ. М., 1970; Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М., 1973; Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. М., 1975; Маркое А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. М., 1984; Bishop Е. Foundations of constructive analysis. N. Y, 1967. Я. Я. Непейвода
КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ- логико-гносеологическая категория, обозначающая объекты, возникающие в результате развертывания порождающих их конструктивных процессов. Рассматриваемые безотносительно к смыслу, который им впоследствии может быть придан, а также к их предполагаемому использованию, конструктивные объекты представляют собой некоторые специальным образом устроенные конфигурации элементарных знаков, и как таковые они должны восприниматься чисто синтаксически. Такого рода знаково-структурный подход к объектам впервые возник в математических исследованиях в начале 20 в. и затем получил последовательное развитие в работах по математической логике и теории алгоритмов. Впоследствии на базе этих исследований сформировалась специальная наука о знаковых системах — семиотика. Как правило, конструктивные объекты вводятся в рассмотрение целыми семействами (типами) путем задания соответствующих семейств порождающих их однотипных конструктивных процессов. В тех случаях, когда описаниям этих процессов удается придать точный характер, характеризации соответствующих им типов конструктивных объектов также оказываются точными, и тогда объекты этих точно описанных типов могут быть использованы в качестве моделей фундаментальных понятий самых разнообразных научных дисциплин. Так, напр., конструктивные объекты следующих двух типов: I, II, III, ПИ,... и-I,-II,-III,-НИ,... могут рассматриваться в качестве положительных и, соответственно, отрицательных целых чисел. На их базе могут быть как конструктивные объекты определены рациональные числа. Если теперь принять во внимание, что в виде конструктивных объектов могут быть заданы и алгоритмы точно охарактеризованных типов (напр., машины Тьюринга или нормальные алгорифмы Маркова), то станет ясно, что тем самым открывается путь к построению на базе конструктивных объектов достаточно богатых и содержательных математических теорий. Аналогично, как конструктивные объекты соответствующих типов могут быть определены структурные химические формулы, релейно-контактные схемы, тексты на разного рода искусственных языках (напр., на алгоритмических языках, на языках каких-либо дедуктивных теорий) и т. п. Фактически можно считать, что любая научная символика допускает задание в виде конструктивных объектов надлежащих типов. Т. о., понятие «конструктивный объект» обладает чрезвычайно высокой степенью общности. Относительно низкий уровень абстрактности и особая «осязаемость» конструктивных объектов делают более простой проблему понимания суждений об этих объектах (напр., математических), и это обстоятельство в сочетании с высокой выразительной силой превращает конструктивные объекты в важнейший инструмент научного исследования. Немаловажным является и тот факт, что в силу их знаковой природы конструктивные объекты могут служить информацией, непосредственно пригодной для сообщения ее вычислительной машине. Рассмотрение конструктивных объектов и вовлечение их в процесс научного исследования может быть осуществлено с привлечением абстракций различных уровней. Наиболее естественным представляется рассмотрение их на базе одной лишь абстракции потенциальной осуществимости, учитывающее характер возникновения конструктивных объектов. При этом в качестве логической базы естественно взять т. н. конструктивную логику, специально учитывающую специфику понимания суждений о существовании конструктивных объектов как суждений о их потенциальной осуществимости. При рассмотрении конструктивных объектов, ведущемся на базе абстракции актуальной бесконечности, они трактуются
294
конт совместно и равноправно с объектами теоретико-множественного характера, а основой логической дедукции является при этом т. н. классическая (аристотелевская) логика. Этим в значительной степени игнорируется генезис конструктивных объектов. Исследование их роли в процессе познания и выяснение их соотношения с объектами иных уровней абстракции представляет собой важную философскую и методологическую проблему, находящуюся в стадии интенсивной разработки. Лит.: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М, 1979; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Марков А. А. О логике конструктивной математики. М., 1972; Марков А. А., Нагорный H. M. Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. М., Фазис, 1996); Марков А. А. О конструктивной математике. — Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 67. М.-Л., 1967; Шанин Н. А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства. — Там же. Н. М. Нагорный
КОНСТРУКТИВНЫЙ ПРОЦЕСС- логико-гносеологическая категория, обозначающая абстрактно-знаковые процессы некоторого специального типа, играющие важную роль в исследовании дискретной активности и, в частности, в исследовании умственной конструктивной деятельности человека. В конкретных ситуациях, как правило, задаются целые семейства однотипных конструктивных процессов. Каждое такое задание основывается на некотором эталонном списке элементарных знаков, рассматриваемых в качестве неразложимых на дальнейшие составные части, некотором перечне допустимых потенциально осуществимых элементарных действий над конфигурациями определенного типа, составленными из копий знаков исходного списка, и на специально указываемых правилах, регулирующих (т. е. разрешающих или предписывающих) выполнение определенных действий на отдельных шагах конструктивного процесса. В типичном случае правила носят индуктивный характер: указываются элементарные действия, которые могут быть выполнены на первом шаге конструктивного процесса, а кроме того, указываются действия, которые могут быть выполнены на