которых организует А. А. Зиновьев. Т. о., налаживается контакт между логиками-философами и логиками-математиками. В противостоянии с «диалектиками» первые обратились за помощью ко вторым и получили ее. Семинары А. А. Маркова и С. А. Яновской на механико-математическом факультете МГУ стали «первыми университетами» для многих философов, ставших на стезю логической науки. Тем не менее развитие формальной логики все еще не было ее «внутренним делом». Ученые, в особенности работавшие на стыке логики, философии (а единственно верной философией была тогда марксистско-ленинская) и методологии наук (а всеобщим методом была только материалистическая диалектика) сталкивались с большими трудностями в своей деятельности. К примеру, до нач. 60-х гг. доступ к иностранной литературе был сильно ограничен, а для публикации на иностранном языке вплоть до сер. 80-х гг. требовалось унизительное специальное разрешение. В работах, в особенности диссертационных, если уж они не были совершенно формальными или математическими, требовались ссылки на классиков марксизма. Поэтому приходилось пользоваться «эзоповским языком», переходившим порой в имманентную ложь. И все же в то время формальная логика была отдушиной для многих мыслящих философов. А ответом на усиление идеологического и политического террора после «Пражской весны» 1968 явился возросший интерес к формальной логике со стороны молодых философов, тяготевших к символической и технической стороне дела. По существу только в 70-е тт. в СССР философская логика как самостоятельная дисциплина выходит на всесоюзный и международный уровень. В 1974 в Институте философии проводится Всесоюзное совещание по теории логического вывода (с привлечением зарубежных ученых). В 1978 там же проводится Всесоюзное совещание по модальным и интенсиональным логикам, а в следующем году проходит 2-й Советско-финский коллоквиум по логике (первый проходил в Финляндии в 1976). Главным событием для логиков всего мира является проведение Международных конгрессов по логике, методологии и философии науки, первый из которых прошел в Стэнфорде в 1960. И если на третьем в Амстердаме (1967) было всего несколько профессиональных логиков из России (А. А. Марков был приглашенным докладчиком), то начиная с 1971 (Бухарест) делегация становится весьма представительной. А в 1987 очередной конгресс (восьмой) проводится в Москве, что, помимо прочего, говорит и об авторитете отечественной логики, которая к тому времени имела уже немалый «послужной
409
ЛОГИКА В РОССИИсписок» выдающихся результатов. Начиная с работ новосибирского математика А. И. Мальцева (30-е гг.), складывается школа моделей теории, получившая международное признание (Ю. Л. Ершов, Ю. Ш. Гуревич, С. Р. Когаловский, И. А. Лавров, А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин, С. С. Гончаров и др.), а в кон. 40-х гг. А. А. Марковым создается школа русского конструктивизма (см. Конструктивное направление). Им же в 1947 (одновременно и независимо от американского логика Э. Л. Поста) был указан первый пример «внутрима- тематической» алгоритмически неразрешимой массовой проблемы, а именно проблемы А. Туэ (проблема равенства для полугрупп). В 1970 Ю. В. Матиясевичем получен другой результат мирового значения — доказана алгоритмическая неразрешимость 10-й проблемы Гильберта. На современном этапе развития логики порой трудно отделить, что принадлежит к математической (символической логике), а что к философской логике.
МНОГОЗНАЧНЫЕЛОГИКИ. В России сложилась одна из лучших в мире школ по многозначной логике. Первая оригинальная работа принадлежит Д А. Бочвару ( 1938), который (независимо от Я. Лукасевича и Э. Поста) создает аппарат трехзначной логики В3 изначально пригодный для прикладных целей: логика Бочвара предназначалась для анализа парадокса Рассела (см. Парадокс логический). Идея разрешения парадоксов, предложенная Бочваром, оказала определенное влияние и на мировую логику. Система В3, ставшая первой в мире трехзначной «логикой бессмысленности», была впоследствии обобщена В. К. Финном методом, позволяющим аксиоматизировать любую конечнозначимую логику (О. М. Аншаков и С. В. Рычков, 1982). Ряд работ по трехзначным логикам принадлежит В. И. Шестакову, который впервые дал сравнительный анализ их взаимоотношения (1964). Р. Ш. Григолия и В. К. Финн предложили алгебраическую семантику (квази-решетки) для логик типа В3 и доказали теорему представления ( 1979,1993). Впервые было обнаружено, что существует логика, в данном случае В3, алгебраической структурой которой является квази-решетка (В. К. Финн, 1974). В 50-е гг. А. В. Кузнецов, развивая идеи американского логика Э. Поста, закладывает аппарат для изучения функциональных свойств многозначных логик. Им также формулируется критерий функциональной полноты для них. В этом же направлении работает и С. В. Яблонский, который в 1958 публикует фундаментальную работу о функциональных построениях в многозначной логике. Важный результат здесь принадлежит А. А. Мучнику и Ю. И. Янову (1959), которые показали, что переход от счетного множества различных замкнутых классов функций двузначной логики к континууму этих классов происходит за счет добавления всего лишь одного нового истинностного значения. Кроме всего прочего этим устанавливается уникальность классической логики. Стоит также отметить работы В. Б. Кудрявцева, Г. П. Гаврилова, Н. Р. Емельянова, Р. Ш. Григолия и др. В 1970 В. К. Финн обнаруживает связь между функциональными свойствами конечнозначных логик Лукасевича Ln и простыми числами: Ln функционально предполна тогда и только тогда, когда п-1 есть простое число. Т. о., дано новое определение (в данном случае логическое) простого числа. Начиная с 1982 различные следствия из этого результата были получены А. С. Карпенко: структурализация простых чисел в виде корневых деревьев, построение такой n-значной логики, которая имеет класс тавтологий только и только тогда, когда п-1 есть простое число (еще одно определение простого числа), разработка различных алгоритмов для порождения классов простых чисел. Причем доказано, что порождаются все простые числа. Для построения соответствующих деревьев и порождения классов простых чисел В. И. Шалаком написаны компьютерные программы. В 1960 вышла первая книга по многозначной логике, посвященная ее философским проблемам (А. А. Зиновьев), а в 1997 в монографии А. С. Карпенко подводится определенный итог развития многозначной логики в России и за рубежом. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, КОНСТРУКТИВНАЯ И
СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИЕЛОГИКИ. Первая работа по интуиционистской логике появилась в России в 1925. Это была статья А. Н. Колмогорова «О принципе tertium non datur». В ней впервые формально представлена аксиоматика минимальной логики высказываний и предикатов. Позднее (1932) Колмогоров возвращается уже собственно к интуиционистскому исчислению, предложив интерпретацию интуиционистской логики предикатов как «исчисления задач». Эта интерпретация предвосхитила «семантику реализуемости» Клини — Нельсона. В свою очередь в работе В, И. Гливенко ( 1929; рус. пер. 1998) впервые приведен пример перевода одной логики в другую, а именно классической логики в интуиционистскую. Так было положено начало целому направлению: переводам и погружению одних логических систем в другие. Возникновение и развитие конструктивного направления (на базе конструктивной логики) связано в первую очередь с работами А. А. Маркова, Н. А. Шанина, H. M. Нагорного, А. Г. Драгалина, H. H. Непейводы и др. Самостоятельно та же тема представлена в работах П. С. Новикова. Новым результатом явилось построение Марковым ступенчатой системы логических языков с одновременным определением их семантики «снизу вверх» (серия публикаций в 1974 г.). Конструктивный подход Маркова был развит до уровня машинной эвристики (автоматизированного поиска логического вывода) в школе Н. А. Шанина и его учеников (особенно С. Ю. Маслова). В рамках классического подхода к логике теорию рекурсивных функций разрабатывает В. А. Успенский. А. Г. Драгалин показал, что нестандартное расширение арифметики позволяет существенно сократить выводы многих формул. С кон. 60-х гг. А. С. Есенин-Вольпин начинает развивать ультраинтуиционистскую программу оснований математики и естественно-научных теорий; свои исследования в этом направлении он продолжил в США, куда был вынужден иммигрировать в 1972 по политическим мотивам. После предложения Ю. П. Медведевым (1962) рассматривать логику финитных задач начинают изучать суперинтуиционистские логики, получающиеся расширением интуиционистской логики некоторыми аксиомами. Важный результат был получен В. А. Янковым (1968): множество всех суперинтуиционистских логик континуально. Почти сразу же А. В. Кузнецов (1971) доказывает теорему о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и ее собственным расширением. М. В. Захарьящевым (1996) установлено, что количество им- пликативных логик, расширяющих импликативный фрагмент интуиционистской логики, тоже континуально. Л. Л. Максимова (1997) доказала, что существует континуум предикатных суперинтуиционистских логик с равенством имеющих интерполяционное свойство и, следовательно, свойство Бета. Ученики Л. Л. Максимовой С. И. Мардаев (1994,1997) и П. А. Шрайнер (1988) получают целый ряд результатов о континуальных классах логик.
410
ЛОГИКА В РОССИИХотя континуум невозможно классифицировать (континуальность — это тайна человеческого разума), А. В. Кузнецов (1974) начинает классифицировать наиболее «интересные» классы суперинтуиционистских логик, а еще ранее (1971) он доказал, что всякая предтабличная суперинтуиционистская логика финитно аппроксимируема. Л. Л. Максимова, используя этот результат, показала, что их ровно три, а затем «выловила» из континуума (см. ниже результат Л. Л. Эсакиа и В. Ю. Месхи) семь пропозициональных суперинтуиционистских логик, для которых верна интерполяционная теорема (1977). Других суперинтуиционистских логик с такими свойствами не существует. Отметим также, что интуиционистская логика с