дополнительной связкой отрицания детально исследуется в книге И. Д. Заславского (1978). В 1999 H. H. Непейвода установил, что любая арифметика с конечнозначной суперинтуиционистской логикой и правилом Карнапа является классической, т. е. в ней выводим исключенного третьего закон. Отметим еще несколько оригинальных результатов: в 1971 ученик А. В. Кузнецова М. Ф. Раца формулирует критерий функциональной полноты для интуиционистской логики. В связи с этим обратим внимание на результат, стоящий высочайшего признания: А. В. Кузнецов и М. Ф. Раца доказывают теорему о функциональной полноте классической логики предикатов. В. А. Смирнов (1972) впервые строит натуральное интуиционистское исчисление с е-термами и только прямыми правилами вывода для кванторов. О. М. Аншаков осуществляет конструктивизацию многозначных логик (1980, 1983). Д. П. Скворцовым и В. Б. Шехтманом (1993) предложено максимальное (в некотором точном смысле) обобщение семантики Крипке для суперинтуиционистских и модальных логик — так называемая семантика меташкал Крипке. Наконец, алгебраическим исследованиям интуиционистской логики посвящена монография Л. Л. Эсакиа (1985).
МОДАЛЬНАЯЛОГИКА. Развитие модальных логик в рассматриваемый период в первую очередь инициировалось разносторонним изучением центрального семантического понятия «истина». Может быть, в этом кроется какой-то подсознательный глубинный смысл, учитывая тот идеологический фон, на котором происходило развитие науки в целом. Для специалистов в области модальной логики большим событием было издание перевода книги Р. Фейса «Модальная логика» (1974) под редакцией и с существенными дополнениями Г. Е. Минца. Затем стали появляться отечественные монографии: Я. А. Слинин (1976), В. Н. Костюк (1978), О. А. Соло- духин (1989), Ю. В. Ивлев (1985, 1991), который предложил квазифункциональную интерпретацию модальных логик. В. И. Маркиным (1984) проведен логический анализ модальностей de re. О. Ф. Серебрянникову удается доказать теорему об устранимости сечения для кванторных расширений хорошо известных модальных систем S5 и брауэровой, а П. И. Быстрое распространяет этот результат на нормальные расширения S4. А. В. Чагровым обнаружено, что существуют антитабличные (т. е. не имеющие конечных моделей) расширения S3. Этим свойством не обладают расширения S4. Т. о., дано характеристическое отличие S3 от S4. Наконец, в 1997 выходит фундаментальный труд по модальной логике М. В. Захарьящева и А. В. Чагрова (на англ. языке). Ряд результатов, получивших мировую известность, принадлежит также Л. Л. Эсакиа, Л. Л. Максимовой, Г. Е. Минцу (точность перевода Геделя — Тарского для арифметики), А. А. Мучнику, Д. П. Скворцову, В. Б. Шехтману. А. Д. Яшину, В. В. Рыбакову, М. К. Валиеву, С. И. Мардаеву, Л. А. Чагровой, А. А. Шуму и др. Выделим результат Л. Л. Эсакиа и В. Ю. Месхи (1974, 1977) и Л. Л. Максимовой (1975) о существовании пяти пред- табличных логик в нормальных расширениях S4, а таких расширений континуум (Максимова, Рыбаков, 1974). Еще один результат мирового класса принадлежит Л. Л. Эсакиа ( 1976), который одновременноинезависимоотамериканского логика В. Дж. Блокаустановил изоморфизм решеток класса суперинтуиционистских логик и нормальных расширений модальной логики Гжегорчика Grz. Целым направлением в области модальных логик является «логика доказуемости», где гёделевский предикат доказуемости интерпретируется как модальный оператор: Л. Л. Эсакиа, С. Н. Артемов, Г. Джапаридзе, Л. Д. Беклемишев, В. Ю. Шавруков, В. Варданян и др. Работы этих авторов получили признание на международном уровне, и в итоге появился термин «Japaridze's polymodal logic» («полимодальная логика Джапаридзе»).
РЕЛЕВАНТНЫЕЛОГИКИ. Про пионерскую работу в этой области И. Е. Орлова (1928) уже говорилось. В 1963 В. В. Дон- ченко независимо от Н. Д. Белнапа (I960) формулирует принцип релевантности. Расцвет исследований в этой области приходится на 70-е гг. В книге В. А. Смирнова «Формальный вывод и логические исчисления» (1972) построена система логики, названная им «абсолютной», которая является подсистемой кванторного варианта системы R Андерсона и Белнапа. Оказалось, что импликативный фрагмент этой системы совпадает с импликативным фрагментом системы R, т. е. была переоткрыта слабая импликация Чёрча. Абсолютная система положена в основание иерархии целого ряда логических систем и представлена в форме секвенциальных исчислений ив форме натурального вывода. В этом фундаментальном труде исследуются также логики без правил сокращения (независимо и одновременно к этой проблематике приходит и В. Н. Гришин, но первая в мире публикация принадлежит Смирнову, 1971). Эта тема превратилась в самостоятельное направление, которое сейчас бурно развивается. От построения иерархии логических систем Смирнов приходит к глобальной идее классификации логических исчислений, в том числе и имплика- тивных. В результате, начиная с 1992 А. С. Карпенко строит классы конечных булевых решеток, элементами которых являются различные импликативные логики, в том числе и релевантные. Е. К. Войшвилло предлагает натуральные варианты некоторых систем релевантной логики и развивает семантику обобщенных описаний состояний (основное отличие этой семантики от классической — отказ от требований непротиворечивости и полноты описаний состояний), а также «семантику ослаблений» для системы Е. Л. Л. Максимова строит алгебраическую семантику для ряда систем; в последние годы в семантическом направлении работают Е. А. Сидоренко и Д. В. Зайцев. Г. Е. Минц (1972) и В. М. Попов (1977) доказывают разрешимость некоторых подсистем релевантной логики, а В. И. Шалак (1985) доказывает теорему о функциональной полноте для пропозициональной логики R с одной-един- ственной связкой. Исследования в области расширений Е до R привели к результату о счетности класса релевантных логик, лежащих между Е и R (E. А. Сидоренко, 1970). Л. Л. Максимовой: принадлежит гипотеза о континуальности этого класса. В 80-е гг. появляются первые отечественные монографии по релевантной логике: Е. А. Сидоренко (1983) и Е. К. Войшвилло (1988).
411
ЛОГИКА В РОССИИ
ДРУГИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИЕЛОГИКИ. Исследования в области неклассических логик приняли весьма широкий размах в стране. Это связано с расширением концептуального и технического аппарата, позволяющего подойти к анализу логической и философской проблематики, недоступной для рассмотрения средствами только классической логики. Начиная с 80-х гг. появляются монографии по временной логике: А. Т Ишмуратов (1981), Э. Ф. Караваев (1983), А. С. Карпенко (1990), А. М. Анисов (1991). Один из результатов Ишмуратова состоит в построении временной логики на основе трехзначной логики Бочвара Вг Начиная с 1978 (В. А. Смирнов и др.) начинает развиваться модально-временная логика, в которой происходит синтез модальных и временных операторов. А. А. Ивиным (монографии в 1970 и 1973), В. Н. Костюком, И. А. Герасимовой и др. изучаются также деонтические модальности (см. Деонтическая логика), эписте- мические (см. Эпистемическая логика). А. Л. Блиновым разработана теоретико-игровая семантика для логики действий (книга в 1983). Е. К. Войшвилло и Ю. А. Петров (1974) получают некоторые результаты в области логики вопросов. В. К. Финн (1976) предложил логическую теорию вопросов в связи с формализацией отношения «вопрос-ответ» в информационных системах. Логика квантовой механики (см. Квантовая логика) исследуется Г. П. Дишкантом, Б. Г. Кузнецовым, Б. Н. Пятницыным, В. С. Меськовым, В. Л. Васюковым, В.И. Аршиновым и др. В 1986 в МГУ проходит Межвузовская конференция «Логика квантовой механики». В 1983 в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) проходит координационное совещание по релевантным и паранепротиворечивым логикам. Последняя привлекает исключительное внимание во всем мире, в т. ч. и у нас, в особенности в 90-е гг. Предтечей работ в этой области был казанский логик Н. А. Васильев (1910), который, как и польский логик Ян Лукасевич (при создании многозначной логики), ссылается на неевклидовы геометрии Лобачевского. В 1997 в Бельгии проходит I Международный конгресс по паранепротиворечивости и в нем принимают участие В. Л. Васюков, А. С. Карпенко, С. П. Одинцов, В. М. Попов, А. В. Смирнов и Е. Д. Смирнова. В этой связи отметим результат Васюкова, который построил теоретико-категорную семантику для паранепротиворечивых логик Н. да Косты. Первые серьезные отечественные работы по паранепроти- воречивой логике принадлежат Л. И. Розоноэру (1983), который исходил из идей Д. А. Бочвара. Общепринято, что первая система пропозициональной паранепротиворечивой логики была построена польским логиком С. Яськовским в 1948; 50-летию этого события в Польше в 1998 была посвящена Международная конференция. Однако обратим внимание на совсем малоизвестный факт, что А. Н. Колмогоров, исходя из идей Л. Э. Брауэра, еще в 1925 строит первую аксиоматическую систему, которую (в свете современных представлений) можно назвать паранепротиворечивой. Более того, Колмогоров дал ее предикатный вариант.
ЛОГИКА ПРАВДОПОДОБНЫХ ВЫВОДОВ И РАССУЖДЕНИЙ. Ряд работ посвящено индуктивной логике: Н. А. Алешина, С. П. Будбаева, В. И. Метлов, В. С. Меськов, Б. Н. Пят- ницын, В. К. Финн и др.; причем развиваются различные подходы. С 1974 В. К. Финн (а затем О. М. Аншаков, Д. П. Скворцов, Д. В. Виноградов, С. О. Кузнецов и др.) начинает исследовать индуктивные методы Д. С. Милля средствами неклассических логик, и в первую очередь средствами многозначных логик. Складывается направление в теории правдоподобных рассуждений, названное ДСМ-методом. Удается формализовать индуктивные схемы Милля, аналогию и абдукцию и показать взаимодействие между индукцией, абдукцией и дедукцией. Исследуется и метод автоматического порождения гипотез. В 80-е и 90-е гг. в основном на страницах журналов «Семиотика и информатика» и «Научно-техническая информация» публикуется серия работ по ДСМ-методу. Т. о., разрабатывается логический аппарат для создания