Новая философская энциклопедия. Том второй Е—М — страница 283 из 426

формула R(b,a) — значение Л, посколысу 3 не находится в указанном отношении к 2. Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к и <р) такими же, как в классической логике высказываний. Семантические определения для кванторных формул таковы: V аА (соответственно 3 аА) истинна в модели при распределении <р, если и только если ее подкванторная часть А принимает значение И в той же модели при любом (при некотором) распределении у значений предметных переменных, отличающемся от ф не более, чем значением gl Другими словами: формула V аА истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной а (сохранив при этом значения остальных переменных), а В аА истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной а формула А оказывается истинной. Завершающим этапом в построении логики предикатов является введение понятии закона этой теории (общезначимой формулы) и различных логических отношений между формулами. Наиболее важным из них является отношение логического следования (см. Следование логическое), поскольку его наличие составляет критерий корректности дедуктивных умо- Говорят, что формула значима (истинна) в модели при некотором распределении <р значений предметных переменных, если и только если данная формула принимает значение И в этой модели при этом распределении. Формулу называют значимой (истинной) в модели , если она значима в ней при любом распределении элементов U предметным переменным. Формула называется общезначимой на множестве U (U-общезначимой), если она значима в каждой модели с универсумом U. Формула называется универсально общезначимой (или просто — общезначимой), если она общезначима на любом (непустом) множестве. Факт общезначимости формулы А обычно выражается в метаязыке следующей записью: |==А. Общезначимые формулы — это законы логики предикатов, поскольку они истинны при любых допустимых в данной теории интерпретациях нелогических символов. Конкретизация понятия логического следования в логике предикатов осуществляется следующим образом: из множества формул Г логически следует формула В (Г |= В), если и только если в любой модели и при любом распределении значений предметных переменных, при которых истинна каждая формула из Г, формула В также примет значение «истина». В сформулированном выше семантическом варианте правила установления значений формул имеют отчетливо выраженную объектную направленность: они предполагают, что при решении вопроса об истинности или ложности происходит соотнесение выражений языка с нелингвистическими сущностями (индивидами, свойствами, отношениями, функциями, связанными с некоторой предметной областью). Альтернативой объектной интерпретации формул языка логики предикатов является т. н. подстановочная интерпретация. Смысл ее состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые бы не предполагали соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опирались бы только на информацию о значениях элементарных, атомарных предложений (в подобном стиле обычно строится логика высказываний, где при установлении значений формул необходимо лишь, чтобы каким-то — неважно каким—образом былоосуществленораспределение значений для пропозициональных переменных). Т. о., при подстановочной интерпретации мы, скорее, имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается, по существу, в синтаксическом аспекте — как дедуктивно замкнутое множество предложений языка. Технически «подстановочная» семантика логики предикатов может быть сформулирована следующим образом. Значения здесь естественно сопоставлять лишь замкнутым формулам, поскольку именно эти формулы представляют собой предложения теории и могут оцениваться как истинные или ложные в ней. Задается функция оценки V, отображающая множество замкнутых формул вида n(t(, t^..., tn) на множество {И J1} (содержательно — Ураспределяет значения для элементарных предложений языка теории). Правила установления значений замкнутых формул видов -А, Ал В, A v В, А=> В — стандартные. Формула V аА (соответственно ЗаА) примет значение И при оценке V, если и только если данное значение при V имеет любой (соответственно по крайней мере один) результат подстановки в формулу А замкнутого терма t вместо всех свободных вхождений переменной а (содержательно — общее (частное) предложение истинно в теории, если и только если соответствующее бескванторное утверждение справедливо дли любого (хотя бы для одного) сингулярного термина, принадлежащего словарю данной теории). Класс замкнутых формул, принимающих при оценке V значение И, как раз и представляет собой некоторую теорию в описанном выше

424

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВсмысле. Можно далее ввести понятия закона логики предикатов (логически истинного предложения теории): |= А тогда и только тогда, когда при любой оценке V (т. е. в любой теории) А принимает значение И. Множество формул, являющихся законами классической логики предикатов первого порядка, вообще говоря, бесконечно. Среди них — каждый подстановочный случай произвольной тавтологии логики высказываний (т. е. результат замещения в ней пропозициональных переменных формулами языка логики предикатов). Вот некоторые другие наиболее важные типы общезначимых формул. Законы удаления квантора общности и введения квантора су- шествования: VoAz>A(t), A(t)=>3aA, где A(t) — результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений предметной переменной а в формулу А (подобная подстановка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений а в А не находится в области действия квантора по переменной, входящей в состав терма t). Законы взаимовыразимости кванторов: VaA=-За-А, ЗаА=-• Va-A (где = — знак эквиваленции, которую можно ввести посредством определения (А = В) = w (A z> В) л (В z> A)). Законы перестановочности кванторов: VaV?A => V?VaA, ЗоЗрА => ЗрЗаА, 3aV?A z> V?3aA Законы пронесения и вынесения кванторов: Va-тА = Заа-А, За-А^Va-A, Va(A л В) = ( VaAA л VaB), За(А v В) = (aaA v ЗаВ), (ЗаА з VaB) з Va(A з В), За(А з В) = (VaA з ЗаВ), Va(A v В) = (AvVaB), За(А л В) = (А л ЗаВ), Va(A з В) = (А з VaB), 3a(A з В) = (А з ЗаВ), Va(Bz>A) = (3aBz>A), 3a(Bz>A) = (VaBz>A) (в формулах последних шести типов переменная a не должна содержаться свободно в формуле А). Как известно, помимо семантического представления логических теорий имеется другой, синтаксический метод их построения — в виде логических исчислений. Суть этого метода состоит в формулировании точных правил оперирования со знаками (формулами языка), позволяющими без использования каких-либо семантических понятий («интерпретация», «модель», «истина») осуществлять обоснование логических законов и форм корректных рассуждений. При этом в исчислениях постулируется лишь некоторый минимум дедуктивных средств, дающий тем не менее возможность обозреть все бесконечное множество законов и модусов правильных рассуждений соответствующей логической теории. Существует много различных способов построения логических исчислений (Иотслате irwimw, Натуральный вывод, Аналитические таблицы), в том числе и классического исчисления предикатов первого порядка. Исторически первыми появились аксиоматические исчисления (исчисления гильбертовского типа), в которых, как и при аксиоматическом представлении логики высказываний, статусом аксиом наделяется конечное число общезначимых формул и постулируется некоторый набор правил вывода. Однако в силу сложности формулировок правил подстановки, используемых в этом случае, удобнее строить аксиоматическое исчисление предикатов со схемами аксиом, каждой из которых соответствует бесконечное число аксиом одного и того же типа. Примером одной из возможных аксиоматизаций логики предикатов может служить следующая: в качестве исходного логического символа алфавита, наряду с пропозициональными связками -I, л, v, з, выбирается лишь KBamopV. Постулируется некоторый полный набор схем аксиом классического исчисления высказываний (они задают смысл -ц л, v, з. Дополнительно вводятся две схемы аксиом, задающих смысл квантора V: закон удаления квантора Vaz> A(t) и один из законов пронесения квантора Va(A з В) з (А з VaB) с указанными ранее ограничениями. В исчислении имеется также два правила вывода: АЕ? ? (modusponens), —^- (генерализация). В VaA Квантор существования вводится по определению: ЗаА =^-1 Va-A Следующий этап в построении исчисления — введение понятий доказательства и вывода, а также синтаксических аналогов понятия общезначимой формулы и отношения логического следования — понятия теоремы и отношения выводимости. Доказательством называют непустую конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой исчисления, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из исходных правил вывода. Последняя формула доказательства называется теоремой или доказуемой в исчислении формулой (метаугверждение «А — теорема» принято записывать так: |—А). Вывод из множества допущений Г отличается от доказательства тем, что в нем разрешено дополнительно использовать формулы из Г. Однако, если ставится задача адекватного воспроизведения отношения логического следования, понятие вывода должно быть дополнено наложением некоторых ограничений на применение правила генерализации (дело в том, что—в отличие от modus ponens—из посылки А данного правила не следует логически его заключение VaA). Указанная проблема может быть решена различными способами, напр., введением понятия вывода с варьируемыми переменными. Довольно естественным представляется другой путь, основанный на понятии зависимости формул вывода от допущений: каждое допущение зависит от самого себя; аксиома не зависит от допущений; результат применения modus ponens зависит от тех допущений, от которых зависит