с кванторной приставкой 3 а, 3 о^... 3 ап может быть сведен к вопросу о ее общезначимости на одноэлементном множестве, подобный вопрос о формулах с приставками Vo^Vo^... VanH VOjVOj... Van3?,3f^,... 3?n сводится к вопросу об общезначимости на множестве из п элементов. Создание логики предикатов связано с именами Г, Фреге, Б. Ршсселт и А УЫмхедш, Современные формулировки клас- сическогопервопорядковогоисчисленияпредикатовиегоде- тальный анализ был осуществлен Д Гтмбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом. Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики лотки предикатовсыграли работы А Терского. Значительный вклад в установление метатеоретическихсвойствлогики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гсдель, А Чёр% Ж. Эрб- ран, Л. Генкин. Серьезные научные результаты в данной области были получены также П Геяцешом, Л. Кальмаром, С Кмиаац В. Крейгом, У. Дротом, А А Мшрковъш, А. И. Мальцевым, Я. С Новшковылц К А Смяршшыщ К. Шютге и многими другими исследователями. Лп: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Предикатов исчисление (Ееенин-Вояышн А. С.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 4. М., 1967; Киши С. К. Введение в метаматематику М, 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику М, 1976; Новиков П. С. Элементы математической логики. М.
428
ЛОГАКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ1973; Смирнов A А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; A philosophical companion to first-order logic, ed. R. I. G. Hughe, 1993; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879—1931, Harvard University Press, 1967; SmuUyon Я M. First-order Logic. N. Y, 1968. A Я. Маркин
ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ— математическая логика, теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислении на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880. Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в 17 в. L Летающем. Однако только к сер. 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, необычайные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа^ родоначальником которой можно считать А. де Моргана (Augustus de Morgan, 1806—71 ), который в 1847 опубликовал книгу «Formal logic; or the calculus of inference, necessary and probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля (1815—64). В 1847 он публикует брошюру «Mathematical analaysis of logic», а в 1854 опубликовал свой главный труд по логике «An Investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 можно считать началом алгебры логшкш, первоначальный этап развития которой был завершен Е. Шредером в трехтомной монографии «\brlesungugen uber die Algebra der Logik (1890-1905)». С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге (1848—1925) и ?. С. Пар- са (1839—1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begrinsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика аредалааюш). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день. Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеаао (1858—1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathematiques», опубликованный в 1894—1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А И. УЫтиедоми R Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematjca» (1910—1913), а затем воспринята Д Гшлбертюж Т. о., был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания ~, конъюнкции &, дизъюнкции V, импликации Z) , кванторов всеобщности V и существования 3. Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 а возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами. Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Т. о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V). Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логшческшм) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логшшшзм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), шнтушштоишзм (нужна новая логика), теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теориимножеств2Р(вводятсяофаничениянаобразованиемно- жеств) (см. Множеств теоршя) и формалшш (программа Гильберта). Как отмечает Э. Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М., 1984, с. 11). Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гиль-
429
ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т. е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используятолькофинитныеметоды (см. Финитизм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т. о. решить проблему оснований математики. Однако результат К. Геделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т. е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Гениеном (1936). Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча—Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма