выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой. Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии к «Handbook of mathematical logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD- 1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются ч- астью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики, Философская логика). Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Геделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т. е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т. е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Геделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т. е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен! Поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика? Дело в том, что в отличие от математики рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик (см., напр., Интуиционистская логика, Многозначные логики, Паранепроти- воречивая логика). Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в возможных миров семантике в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов. Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат 21 веку. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic». Лит.: Математическая логика (Адян С. И.). — В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1912; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики: М., 1979; Они же. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982;
430
логицизм Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М, 1979; Клипы С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Колмогоров А. Н, ДрагалинА. Г. Введение в математическую логику. М, 1982; Колмогоров А. Я., ДрагалинА. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М.. 1984; Марков А. А. Элементы математической логики. М.. 1984; Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. М., 1984; Непейвода H. H Прикладная логика. Ижевск, 1997; Новиков П. С. Элементы математической логики, 2-е изд. М., 1973; Справочная книга по математической логике, т. 1—4. М., 1982—83; Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; Bochenski J. A history of fonnal logic, 2d. ed. Chelsea, 1970; Church A. A bibliography of symbolic logic. Providence, 1938; Copi I. M. Symbolic logic, 5th ed. Prentice Hall, 1979; From Dedkind to Godel: Essys on the development of the foundations of mathematics, Ed. J. Hintikka. Dordrecht, 1995; Klenk V. Understanding symbolic logic. 3rd ed., 1994; MostowskiA. Thirty years of foundational studies. Oxf., 1966. А. С. Карпенко
ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ- см. Логика. «ЛОГИКА ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ» - понятие и термин, введенные И. Кантом в «Критике чистого разума» для обозначения «науки о чистом, происходящем из рассудка и разума, знании, посредством которого предметы мыслятся вполне a priori» и определяющей происхождение, объем и объективное значение подобных знаний. В кантовской классификации логик трансцендентальная логика—это по существу частная логика для метафизики. В «Критике чистого разума» трансцендентальная логика делится на трансцендентальную аналитику и трансцендентальную диалектику. Первая — это «логика истины». Она представляет собой теорию понятий (категорий) и суждений (основоположений чистого рассудка), которые описывают структуры чистого знания, его принципы и способы применения этих структур к предметам опыта. Материал для построения новой — трансцендентальной — логики у Канта дает уже существующая и, по его мнению, завершенная наука чистого разума — общая логика, классификация суждений которой (с некоторыми модификациями, напр., введением бесконечных суждений) используется в роли образца для формирования системы категорий. Трансцендентальная аналитика описывает систему категорий и условия применения их к предметам опыта. Трансцендентальная аналитика рассматривает чистые понятия как функции синтеза многообразия чистого априорного созерцания. Из этого вытекает их связь с априорными условиями опыта и невозможность их применения за пределами опыта. Вторая часть трансцендентальной аналитики — аналитика основоположений — содержит правила объективного (т. е. не выводящего за пределы возможного опыта) применения категорий. Основоположения являются описанием априорной структуры возможного опыта, с которой должно согласовываться любое эмпирическое суждение, претендующее на истину (напр., закон физики или биологии). Трансцендентальная диалектика есть логика трансцендентальной иллюзии, т. е. иллюзии необходимым образом возникающей в ходе деятельности разума. Такие иллюзии порождаются разумом, если его принципы, которые относятся только к понятиям рассудка, применяются непосредственно к предметам. Напр., необходимость поиска условий для каждого обусловленного превращается в необходимость существования безусловного. Тогда возникают трансцендентные основоположения и трансцендентальные идеи, с необходимостью влекущие нас за пределы возможного опыта. Всего таких идей три: психологическая идея (душа), космологическая идея (мир), теологическая идея (Бог). Однако эти идеи, выводя разум за пределы опыта, порождают диалектические (т. е. ошибочные) умозаключения: трансцендентальные паралогизмы, антиномии космологической идеи и идеал чистого разума (В 398). Однако трансцендентальные идеи имеют и «превосходное» регулятивное применение как основания для синтеза понятий рассудка, приводящие к расширению и единству знания. В таком случае трансцендентальные идеи рассматриваются как эвристические принципы и могут плодотворно применяться в науке в виде принципов однородности, спецификации и сродства форм. Трансцендентальная аналитика является каноном оценки эмпирического применения рассудка и способности суждения, трансцендентальная диалектика есть дисциплина чистого разума в его теоретическом применении. После Канта трансцендентальная логика развивалась в немецком идеализме (Фихте, Гегель) как альтернатива формальной логике, включающая (в отличие от кантовского подхода) принципы, противоречащие принципам формальной логики (напр., утверждение противоречия). В неокантианстве (марбургская школа) трансцендентальная диалектика развивалась в русле, более близком к кантовскому замыслу. В 20 в. Э. Гуссерль пытался развить трансцендентальную логику как учение о последних, глубочайших и универсальнейших принципах и нормах всей науки. В настоящее время