предпринимаются попытки интерпретировать трансцендентальную логику как вид логики, взаимодействующей с аппаратом формальной логики при построении логических выводов (трансцендентальной дедукции). Лит.: Кант И. Критика чистого разума.— Соч. б 6 т., т. 3. М., 1964; Husserl Е. Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Venunft.— Gesammelte Schriften. Hrcg. von Elisabeth Stroeker, Bd. 7, Hamb., 1992; Stulman-Laeisz R. Kants Logik: Eine Interpretation auf der Grundlage von \fariesungen, veroffentlichten Werken und Nachla?, B.-N. Y, 1976: Reich K. Die Vollstandigkeit der Kantischen Urteilstafel, 3 Aufl., Hamb., 1986: Baum M. Deduktion und Beweis in Kants Transzendentalphilosophie: Untersuchungen zur«Kritikderreinen\fernunft». Konigstein/Ts., 1986; Kants transzendentale Deduktion und die Moglichkeit von Transzendentalphilosop hie. Fr./M., 1988; Tonelli G. Kant's critique of pure reason within the tradition of modern logic. A Commentary on its History. Hildesheim, 1994; Bryushinkin V. The Interaction of Fonnal and Transcendental Logic— Proceedings of the Eighth International Kant Congress. Memphis, 1995, p. 553— 566. B. H. Брюшинкин
ЛОГИКА ФОРМАЛЬНАЯ- см. Логика.
ЛОГИЦИЗМ— одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основополагающим фактором в становлении философии логицизма явилось развитие на рубеже 19—20 вв. логики символической, которую логицизм рассматривает, как органон математики, а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г. Фреге первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее использовались в дальнейшем. По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм все больше сближается с формализмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое на-
431
логицизм правление. И все же отметим принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абатршхлвшш о&вои и понятия — не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, а для платониста математические понятия уже существуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия — плод мощных и фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится. Логицизм конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений — принадлежности элемента классу «g », применения функции к аргументу именования и «часть—целое». За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении «Е » и свободной от парадоксов, взялись УЫмхеди его ученик К Рассел, написавшие энциклопедический и скрупулезный труд. Этот труд до сих пор остается непревзойденным в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований. Во-первых, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества — объектами первого типа, а множества объектов п-го типа — объектами п + 1 -го типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности teu — тип объекта /должен быть на 1 меньше типа объекта и. Эта концепция строгой типизации была затем использована в Х-исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: X'. При таком ограничении языка принцип свертки BY^'Vx^x g Y <=> А(х)), введенный Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввел польский логик Л. Хвистек в 1921. Далее, они заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности: Vxy(x = y « VZ*'(xe Z <=> ye Z)). Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно: VXi+,YI+,(x = y <=> VzTzeX » zeY)). Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук. Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в А, приводит к изменению объема Y**1. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вешмъ, верхняя грань множества действительных чисел порядка к может быть порядка к +1. К* Гёдель показал, что для некоторого ординала а совокупность множеств порядка а образует модель аксиомы свертки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка п существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф. П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид t*e Х^, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов. Линия логицизма была продолжена X Драпом, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие х = х, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NE При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа п быть членами множеств типа п + 1 и п + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории. Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н. Н. Не- пейвода). Т. о., NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категория всех категорий. Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились Х-исчисление и комбтилторша ло- гшка. Их идея — построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции Ах. Kapp* показал, что добавление импликации к неограниченному Х-исчислению приводит к противоречию, но ^.-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и
432
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКАв информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта — бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы Х-исчисленпя с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей. Л. Хвистек и С Леамжкшт развивали другие логические основания для общей теории. Теория именования (онтологии) имеет следующий исходный принцип: VxX(x€ ХоЗу(у€ xAVyz(ye x&z€ х=>уе z)& Vy(ye x=>ye X))). Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система- ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующаяся на соотношении «часть—целое». Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому. Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер. П. Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.