семантических понятий: 1) семантические понятия (напр., понятие истинного высказывания) вводятся в метаязык как первичные, исходные, а их свойства определяются системой аксиом; 2) семантические понятия вводятся посредством определений. В первом случае семантическая теория строится как самостоятельная дедуктивная теория с собственной системой аксиом и требуются специальные доказательства непротиворечивости и полноты построенной теории. Согласно второму подходу, метатеория в качестве первичных, неопределяемых терминов не содержит никаких семантических терминов, относящихся к объектному языку. К метаязыку данного объектного языка предъявляются следующие требования: 1) в нем имеются средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности имеются средства для построения имен выражений объектного языка; 2) метаязык должен быть настолько богат, чтобы для каждой формулы (предложения) существовала формула (предложение) метаязыка, являющаяся переводом первой, другими словами, все то, что можно утверждать в терминах объектного языка, может быть сказано в метаязыке; 3) метаязык должен содержать логико-математическую часть. Сам факт возможности определения семантических понятий на базе несемантических понятий имеет важный философский смысл и, кроме того, играет особо существенную роль в разработке методологии дедуктивных наук. Преимущество указанного пути построения семантики состоит в том, что мы получаем своего рода «гарантию», что связанные с употреблением семантических терминов парадоксы не появятся в этом случае. Если несемантическая часть метаязыка непротиворечива, то добавление семантических терминов, вводи-
434
ЛОГИЧЕСКАЯ СИМАНТИКАмых указанным путем по определению, не ведет к противоречию. Но задача построения непротиворечивой системы таких определений сложная. В частности, указанный способ введения семантических терминов возможен лишь при условии, что метаязык существенно богаче объектного языка в том смысле, что метаязык дополнительно содержит переменные категорий более высокого порядка. Этот список условий далеко не полон. Уточнение классического, аристотелевского понятия истинности применительно к языкам с точно заданной структурой было предложено А. Тарским. Согласно Тарскому, предикат «быть истинным» должен удовлетворять следующей схеме (I): X — истинно тогда и только тогда, когда /?, где вместо р подставляется некоторое высказывание, а вместо X— его имя. Примерами такого рода подстановок будут эквивалентности: 1. «Der Schnee ist wei?» истинно = Снег бел; 2. «23 > 3» истинно = 23 > 3 и т. д. (I) представляет собой общую схему такого рода эквивален- тностей, которые устанавливают условия истинности конкретных высказываний языка. Схема (I) не является определением понятия истинности (истинного высказывания). Но она устанавливает условие адекватности вводимого семантического понятия. Введенное строгим образом семантическое понятие истинности будет адекватным, если оно охватывает все случаи применения исходного интуитивного понятия истинного высказывания, а это имеет место, если для него верны (могут быть доказаны) все случаи подстановки в схему (I). Подстановки в схему не являются тавтологиями: в левой части эквивалентности речь идет о высказывании (дается определенная его оценка), а в правой — об определенном положении дел, утверждаемом этим высказыванием. Понятие истинности является одним из центральных понятий логической семантики. Но для логических систем различного типа (модальных, интуиционистских, временных, эпистемических и т. д.) оно уточняется с учетом предпосылок и характера этих систем. На базе понятия истинности может быть определено понятие семантической определимости свойств, отношений, операций в языке рассматриваемой теории (см. Определимость). Это понятие связано с анализом выразительных возможностей языков и теорий. Синтаксис достаточно богатых систем (содержащих рекурсивную арифметику) выразим в самом объектном языке. Согласно теореме Тарского, понятие истинности (класс всех истинных высказываний) непротиворечивой формализованной теории, содержащей рекурсивную арифметику, не определимо в языке этой теории. Т. о., теорема говорит об ограниченности выразительных возможностей достаточно богатых систем со стандартной формализацией. С другой стороны, теорема позволяет выявить важные характеристики самого понятия истинности. Так, любой эффективно порождаемый (рекурсивно перечислимый) предикат семантически определим в первопорядковой арифметике Р. Соответственно, предикат, не определимый в Р (или системах, содержащих Р), не является рекурсивно перечислимым. Т. о., класс истинных утверждений первопорядковой арифметики в принципе неформализуем. Для уточнения логических понятий (L-истинность, [сложность, общезначимость, L-эквивалентность и т. д.), а также модальных понятий недостаточно обращения к положениям Дел в действительности (в данном мире) — как это имело место в случае классического понятия истинности. Необходимо обращение к альтернативным положениям дел. Так возникают семантики возможных миров: описания состояний (Р. Карнап), модельные множества (Я. Хинтикка), реляционные семантики (С. Крипке), окрестностные семантики (Р. Монтегю) (см. Возможных миров семантика). Понятие логической истинности для интерпретированной языковой системы может быть уточнено как истинность во всех возможных реализациях (т. е. истинность во всех возможных областях при любых интерпретациях). В отличие от истинности предполагается, что предложение логически (или аналитически) истинно, если его истинность может быть установлена на основе одних лишь семантических правил, без обращения к внеязыковым фактам. В логической семантике различают теорию референции, базирующуюся на понятии истинности, и теорию смысла. Уточнение понятия смысла наталкивается на принципиальные трудности, вызванные многогранностью и неоднозначностью этого понятия. Существуют различные методы семантического анализа смысла и значения выражений языка, рассматриваемые в логической семантике: метод отношения именования (Г. Фреге), метод экстенсионала и интенсиона- ла (Р. Карнап, Р. Монтегю), теория неполных символов (Б. Рассел), концепция жестких десигнаторов (С. Крипке) и др. Отношение именования имеет место между выражением языка и конкретным или абстрактным объектом, именем которого оно выступает. Метод отношения именования базируется на принципах: предметности, однозначности и взаимозаменимости (см. Именования теория). Однако замена тождественных по значению выражений в неэкстенсиональных контекстах приводит к противоречиям (см. Антиномия отношения именования). Метод экстенсионала и интенсионала предполагает обращение к семантикам возможных миров (см. Интенсионал, Интенсиональный контекст). Тождества интенсионалов двух выражений достаточно для их замены в модальных контекстах, но недостаточно для взаимозаменимости в иных неэкстенсиональных контекстах. Согласно концепции неполныхсимволов Б. Рассела, не всякое выражение, имеющее структуру обозначающего выражения, действительно является десигнативным выражением (именем). К числу неполных символов относятся определенные дескрипции (автор «Гамлета», нынешний король Франции, т. е. выражения вида (• х)А(х)), неопределенные дескрипции, выражения для классов. Значения приписываются не самим неполным символам, а контекстам, в которые они входят. Неполные символы вводятся (и устраняются) посредством контекстуальных определений. Для определенных дескрипций, напр.: B((vc)A(x)) <^> 3x(Vy(A(y) = {y = х))&В(х)). Введение дескрипций, выражений для классов в качестве неполных символов не предполагает включения в универсум рассмотрения теории описываемых ими сущностей. Высказывания, в которых встречаются выражения, относящиеся к такого рода вызывающим возражения сущностям как воображаемые объекты, классы, числа и т. п., могут быть заменены посредством контекстуальных определений высказываниями, в которых встречаются лишь собственные имена и предикатные знаки. Отметим несколько направлений в разработке логической семантики. По идейной, философской установке, положенной в основу семантических исследований, можно выделить следующие подходы:
435
«ЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» 1) номиналистический (Ст. Лесьневский, Р. Мартин и др.), 2) конструктивный (А. А. Марков, Р. Гудстейн, Н. А. Шанин, работы Ст. Клини по реализуемости и др.), 3) экстенсиональный (теоретико-множественный) (подавляющее большинство работ, включающее работы А. Тарского и его школы), 4) интенсиональный (Г. Фреге, А. Чёрч, Р. Монтегю и др.). Именно логическая семантика, опирающаяся на теорию познания, дает ключ к пониманию феномена многообразия логических систем (принимаемых типов рассуждений). Можно выделить два рода предпосылок, от которых зависят логики. Во-первых, это предпосылки — назовем их предпосылками онтологического характера, — налагаемые на миры, на объекты универсума рассмотрения (напр., «воображаемые миры» Н. А. Васильева или идеальные и реальные объекты Д. Гильберта). Во-вторых, это предпосылки, связанные с концептуальным аппаратом познающего субъекта: принимаемыми понятиями истинности, ложности, логического следования, отрицания, суждения и т. д. Кроме того, построение семантик все более богатых логических систем предполагает введение в семантику все более сильных абстракций и идеализации. Вводятся такие объекты, как истинностные значения, возможные миры, мыслимые положения дел, отношения, заданные на возможных мирах и семействах возможных миров, невозможные возможные миры и т. д. Выявление, как и порождение, такого рода конструктов, «идеальных образов» в логической семантике, анализ их правильности и границ использования позволяет вскрывать философские аспекты логики, ее связь с теорией познания. Следует различать вопросы семантики логических языков и вопросы применения средств и методов логической семантики к анализу естественных языков, поскольку методы семантического анализа смысла и значения выражений, разработанные в логической семантике, могут