рамках класса интерпретаций. Еще одним важным свойством логических теорий является свойство их разрешимости. Теория считается разрешимой, если существует некоторая алгоритмическая процедура, которая дает ответ на вопрос, является некоторое утверждение теоремой теории или нет. Свойством разрешимости обладает классическое исчисление высказываний. В качестве разрешающей процедуры здесь применяется процедура построения таблиц истинности. Свойством разрешимости обладают и некоторые простые математические теории. Однако, как доказал А. Чёрч, уже классическое первопорядковое исчисление предикатов не является разрешимой теорией. Отметим еще один важный ограничительный результат металогики, полученный А. Тарским. Для достаточно широкого класса теорий, в том числе логических, им была доказана ме- татеорема о неопределимости предиката «истина» логическими средствами, формализуемыми в данных теориях. Этот результат аналогичен результату К. Геделя о недоказуемости утверждения о непротиворечивости формальной арифметики теми средствами, которые формализуются этой теорией. Еще одним часто проверяемым свойством логических теорий является свойство независимости друг от друга их дедуктивных принципов. Значение этих исследований в металогике можно уяснить из аналогии с проверкой независимости 5-ого постулата в геометрии Евклида. Как известно, эти исследования привели к созданию неевклидовых геометрий. В общем случае построение доказательств является творческим процессом. Однако в последнее время в связи с исследо-
539
МЕТАМОРФОЗАваниями в области искусственного интеллекта в металогике озникла насущная задача доказательства метатеорем о нормализации выводов, устранимости особого правила — сечения — в секвенциальных исчислениях, алгоритмизации на этой основе процессов доказательств в различных логических системах и построения компьютерных реализации этих алгоритмов для осуществления автоматического поиска теорем. В настоящее время построены весьма разнообразные и достаточно мощные компьютерные реализации алгоритмов автоматического поиска доказательств теорем. Так как теории представляют собой классы предложений, над ними можно производить все операции, которые производятся и над множествами. Единственное условие состоит в том, что результатом этих операции должна быть опять теория. Так, напр., пересечение двух теорий Т, и Т2 всегда является теорией. Однако в общем случае объединение двух теорий Т, и Т2 не обязательно является теорией. Тем не менее, Сп(Т, и Т2) всегда есть теория, где Сп — операция замыкания относительно выводимости. Можно особым образом ввести и другие теоретико-множественные операции над теориями. А^ Тарским было показано, что класс всех теорий, сформулированных на одном и том же языке на базе классической логики, образует брауэрову алгебру. С другой стороны, если ограничиться рассмотрением только конечно-аксиоматизир уемых теорий, то класс всех таких теорий образует булеву алгебру. К проблемам металогики относится и вопрос рассмотрения различныхотношений, существующихмеждулогическимите- ориями. В настоящее время выделено и исследовано огромное количество таких отношений. Наиболее важными являются отношения дедуктивной эквивалентности двух теорий (напр., различные формулировки классического исчисления высказываний, задаваемых различным набором аксиом, являются эквивалентными теориями), отношение «быть под- теорией» (интуиционистская логика высказывании является подтеорией классической логики высказываний), отношение некреативного расширения (классическое первопорядковое исчисление предикатов является некреативным (от греч. кре- ация — творение) расширением классического исчисления высказываний), отношение дефинициального расширения и многие другие. Чрезвычайно важным способом сравнения теорий, применимым даже в том случае, когда теории построены не только в разных языках, но и строятся с использованием различных логик, является понятие переводимости одной теории в другую. На основе последнего понятия вводятся различные отношения между теориями, в частности понятие погружаемости одной теории в другую. В настоящее время доказано большое число метатеорем, обосновывающих погружаемость одной теории в другую. В частности, известен результат о погружаемости классического исчисления высказываний в интуиционистскую логику. Лет.: ЧёрчА. Введение в математическую логику. М., I960; Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. В. А. Бочаров
МЕТАМОРФОЗА(от греч. ретацорсрсэоц — превращение) — в философии и культуре превращение одних вещей, процессов, явлений в другие. Метаморфоза предполагает изменение в форме, виде и/или субстанции объекта, но включает в себя также и постоянство, поскольку превращающийся объект не исчезает, а переходит в другую форму. В мифологическом мышлении метаморфоза выражала всеобщую изменчивость вещей и их единство во взаимопревращениях. Членами таких взаимопревращений могли быть неодушевленные предметы, растения, "животные, люди, боги. Как метаморфоза трактовалось возникновение мира (напр., превращение хаоса в космос), смерть (переход в царство мертвых). Формой метаморфозы выступало переселение душ (метемпсихоз) в древнеиндийской философии, орфизме, пифагореизме, неоплатонизме. Смысловая специфика метаморфозы заключается прежде всего в выражении неизменного через меняющееся, в передаче единого в своей основе явления через многообразие его превращающиеся форм. М. А. Иванов
МЕТАТЕОРИЯ(от греч. цета — после и теория; букв, теория о некоторой другой теории) — одно из важнейших понятий современной логики, математики, философии и методологии науки; теория, анализирующая структуру, методы и свойства некоторой другой теории — предметной, или объектной, теории. В самом общем смысле метатеорией является любой метаязык, описывающий структуру, свойства и т. п. какого-либо языка-объекта. Согласно выработанным в 20 в. представлениям (Э. Сепир, Б. Уорф, К. Поппер и др.), каждый язык является концептуализацией мира или его фрагментов, т. е. теорией (возможно, не очень богатой, как, напр., язык знаков светофора, или очень богатой в случае естественного языка). Поэтому соответствующий метаязык выступает в качестве метатеории по отношению к теории, сформулированной в языке-объекте. Исторически термин «метатеория» был первоначально введен в начале 20 в. в исследованиях по основаниям математики и логики (Д. Гильберт, К. Гедель, А. Тарский, Р. Карнап, А. Чёрч, С. Клини и др.) применительно к изучению математических и логических теорий, результатом чего явились программы построения метаматематики и металогики. Именно в этой области в метатеоретических исследованиях были получены важные результаты. Основная задача построения метатеории состоит в уточнении (экспликации) соответствующих предметных теорий и анализе их свойств. При этом в рамках общей программы проведения метатеоретических исследований на предметные теории и метатеории не накладывается никаких ограничений: они могут быть содержательными, дедуктивными, частично или полностью формализованными и могут использовать любые логические средства. Результатами таких исследований явились попытки построения метабиологии, метахимии, метатеории физического знания, метатеории теорий систем и даже метанауки, однако в них пока не получены значительные метатеоретические достижения, сравнимые с теми, которые имеются в метаматематике и металогике. Одной из исходных посылок метаматематической программы Гильберта является утверждение о том, что в качестве предметной теории, для которой будет строиться соответствующая метатеория, следует брать не некую содержательную теорию, напр., содержательную математику, а ее формализованное представление в виде исчисления или формальной системы (теории). Такая формальная система строится по явно сформулированным, четким правилам; она может состоять из не- интерпретированных знаков и знакосочетаний (формул, выражений) — в этом случае она является синтаксической (см. Логический синтаксис), или ее элементам приписывается определенная интерпретация, то есть фиксируется их смысл или значение, — и в этом случае она является семантической (см.
540
МЕТАФИЗИКАЛогическая семантика). Метатеория, которая строится по отношению кт. о. представленной предметной теории, является содержательной теорией, т. е. она состоит из содержательно понимаемых элементов естественного языка. В ней формулируются метатеоремы — теоремы о теоремах, которые описывают синтаксические и семантические свойства соответствующей предметной (формализованной) теории. Для того, чтобы метаматематика выполнила свою основную функцию — обоснования содержательной математики, она, согласно Гильберту, должна пользоваться только т. н. финитными методами, то есть использовать лишь конечные конструкции и конструктивные доказательства, не допускающие применения абстракции актуальной бесконечности, которая играет важную роль в содержательной математике и в ее формализованном представлении. В рамках этой программы был полученрядважньиметатеоретических результатов. Так, была доказана синтаксическая метатеорема о дедукции, которая устанавливает связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (напр., в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в алфавит данной предметной теории. Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой его интерпретации, совпадают. Некоторые понятия метаматематики носят смешанный — синтаксически-се мантический характер. Таково, напр., понятие непротиворечивости, которое синтаксически определяется как невыводимость в предметной теории противоречия, т. е. конъюнкции некоторой формулы и ее отрицания, а в семантическом плане означает соответствие данной предметной теории