Однакос многозначной логикой дело обстоит совсем по-другому. Оказалось, что имеются существенные различия между классической двузначной логикой и многозначной, говорящие о принципиальной несводимости второй к первой. В отличие от /ущя всякого n > 3 существует в Ря замкнутый класс, не имеющий базиса, а такте для всякого n > 3 существует в Рв замкнутый класс со счетным базисом. Непосредственно к этому примыкает следующий результат: для всякого n > 3 Ря содержит континуум различных замкнутых классов, т. е. уже Р3 содержит континуум различных замкнутых классов. Вообще говоря, точная природа такого различия между двузначной и трехзначной логиками неясна. Особый интерес в силу их различных приложений представляют собой бесконечнозначные логики. Исторически первой такой логикой была бесконечнозначная логика Лукасевича Lw (1929), которая определяется следующей матрицей: М = <[0,1];^,~,{1}>,где х —> у = min(l, 1 — х + у), ~х = 1 — х. Почти через тридцать лет L была аксиоматизирована следующим образом: аксиома Йайсберга (4) заменяется аксиомой ((р —> q) —> q)) —> ((q —> p) —> p). Последние десятилетия алгебраические исследования Ьш приобрели исключительный масштаб и можно говорить о новом направлении в алгебраической логике. Другим интересным и весьма важным примером бесконечнозначной логики является интуиционистская логика Н. Еще К, Педель в 1932 показал, что никакая конеч- нозначная матрица не может быть для нее характеристической. В заключение заметим, что ни одно из направлений некласси- ческихлогиктж бурно не развивается, как многозначная логика. Это объясняется всевозможными приложениями и применениями многозначных логик в различных областях науки и техники и особенно в компьютерных науках. Поэтому вопрос о библиографии по многозначной логике заслуживает специального рассмотрения. Литература здесь совершенно необозрима и, по-видимому, имеет тенденцию к экспоненциальному росту. Тем не менее имеется хронологическая, а также хорошо тематизированная библиография в монографии Н. Решера (1969). Р. Вольф (1977) дополнил и довел ее до 1974 с указанием некоторых работ, которые должны были выйти в ближайшем времени. Обширная библиография, включая работы последних лет, содержится в монографии А. С. Карпенко (1997). Важнейшим и основным источником современной литературы по многозначной логике, и в особенности их применению к компьютерным наукам, служат материалы ежегодного международного симпозиума по многозначным логикам (International Symposium on Multiple-\folued Logic), которые проводятся начиная с 1971. В материалах 22-го симпозиума дается обзор и анализ работы первых 21 симпозиумов и приводятся различные статистические данные. Разработана также база данных статей, авторов и тем. Лет.: БочварДА., Финн В. К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий, 1.— В кн.: Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972; Они оке. Некоторые дополнения к статьям о многозначных логиках.— В кн.: Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М., 1976; Зиновьев А. А. Философские проблемы многозначной логики. М., 1960; Карпенко А. С. Многозначные логики (монография), в серии «Логика и компьютер», вып. 4. М., 1997; Он оке. Логики Лукасевича и простые числа. М., 2000; Кудрявцев В. Б. О функциональных системах. М., 1981; Он оке. Многозначная логика.— В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1982; Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике.— В кн.: Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 51, 1958; Bok L, Borowik P. Many-valued logics: Theoretical foundations, v. 1. В., 1992; Butler S. W., Butler J. T. Profiles of topics and authors of the International Symposium on Multiple-Wued Logic for 1971 - 1991.- ISMVL, 22th, Sendai., 1992; Computer science and multiple-valued logic: Theory and applications. Amst., 1977 (2nd revised ed. 1984); Epstein G. Multiple-valued logic design: an introduction. Bristol, 1993; KarpenkoA. S. Factor-semantics for n-valued logics.— «Studia Logica», 1983, v. 42, N 2/3; Mahnowski G. Many-valued logics. Oxf., 1993; RescherN. Many-valued logic. N. Y, 1969; Rosser J. A, Turquette A. R. Many-valued logics. Amst., 1952 (2nd ed. 1958); WofR. G. A survey of many-valued logics (1966—1974), in: Modern uses of multiple-valued ю-
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ— учение о множествах Г. Кантора — наука, зародившаяся в середине 19 в. и изучающая свойства множеств произвольной природы. Создание теории мно-
588
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯжеств было подготовлено работами математиков 19 в., ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Балъцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномощность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики. В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение — принадлежность одного множества другому. Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе, в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя» и т. д. Т. о., «наивная» теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки «ремонта» теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики: логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зрения логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистичес- кое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъ- емное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа У. Куайна (W. Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (ко- нечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх Vy(ye х <=> ф(у))> где q> — стратифицируемая формула, т. е. формула, получающаяся из формулы языка теории типов «стиранием» типов (в системе Куайна существует, напр., множество всех множеств). Логицизм не смог конструктивным путем достичь своей цели. В интуиционистской математике Л. Брауэр (L. Brouwer) ограничил использование исключенного третьего закона и ввел новую трактовку логических связок и кванторов. Была построена новая математика, включая теорию континуума. Однако эта другая математика в корне отличалась от той, которая развивалась в течение почти трех тысяч лет. Этот путь также оказался далек от решения вопроса обоснования математики. Наконец, выход был предложен Д. Гильбертом в виде «финитной установки» (см. Фанатизм), однако и этот путь оказался неудовлетворительным. Тем не менее именно на этом пути были сделаны, может быть, самые плодотворные и приемлемые для большинства математиков попытки преодолеть кризис. В 1904—08 Э. Цермело (Е. Zermelo) предложил первую систему аксиом, которой оказалось достаточно, чтобы получить все важные для математики результаты и в которой не получалось ни одно из известных противоречий. В настоящее время существуют несколько общепринятых систем аксиоматической теории множеств, из которых наиболее известной является система Цермело—Френкеля. К последней часто добавляют аксиому выбора, которая носит крайне