неконструктивный характер и утверждает существование функции выбора для любого семейства непустых попарно дизъюнктных множеств (формулировка впервые дана Цермело в 1904, и он использовал аксиому выбора для доказательства теоремы о возможности вполне упорядочения любого множества). Попытки доказать или опровергнуть аксиому выбора в рамках системы Цермело—Френкеля оказались тщетными (в 1940 К. Гедель доказал, что аксиома выбора совместна с этой системой (при условии непротиворечивости последней)), а в 1963 П. Коэн (R Cohen) доказан совместность отрицания аксиомы выбора с системой (при том же условии непротиворечивости последней). Т. о., одной из попыток выхода из кризиса явилось создание аксиоматической теории множеств, которая занимается изучением фрагментов «наивной» теории множеств, применяя методы математической логики. Для ряда существующих систем аксиоматической теории множеств характерно ограничение схемы аксиом свертывания так, чтобы избежать возникновения противоречий. Это системы Цермело и Цермело—Френкеля. Другой ряд систем характеризуется тем, что в них противоречия устраняются как следствия непредикативных определений. Пример — теория типов Рассела. Наконец, ряд систем преследуют специфические цели (конечность числа аксиом, нестандартные логические средства вывода и т. д.). Это системы Неймана—Геделя—Бернай- са, Куайна и появившиеся за последние 25 лет системы, ос-
589
МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВнованные на неклассических логиках (в первую очередь — на интуиционистской логике). Аксиоматический подход позволил решить ряд вопросов о соотношении различных аксиоматических систем теории множеств, придать точный смысл вопросам неразрешимости ряда математических проблем (континуум-проблемы, в частности), решить некоторые трудные классические проблемы топологии, теории кардинальных и ординальных чисел. Тем не менее вопрос о непротиворечивости всех этих систем остается открытым. Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации этой теории. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать теорию множеств, имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты этой теории в большинстве разделов математики и твердо верят в то, что усилия по устранению противоречий приведут к ее реабилитации. «Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще» (Френкель А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 416). Лит.: Хаудорф Ф. Теория множеств. М.—Л., 1937; Бурбаки Н. Теория множеств. М, 1965; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-ги- потеза^М., 1969; Куратовский К., МостовскийА. Теория множеств. М, 1970; Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973; Александров П. С Введение в теорию множеств и общую топологию. М, 1977; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. В. X. Хаханян
МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВ- идея, зародившаяся в Античности в связи с критикой геоцентрических воззрений на природу (Демокрит). В эпоху Возрождения получила развитие в работах Д. Бруно (16 в.). Концепция естественнонаучного (в частности, астрономического) негеоцентризма сыграла в истории науки важную эвристическую роль, позволив преодолеть гелиоцентризм Коперника: переход от «мира» Коперника к «миру» Д. Тершеля, в котором Солнце оказывается одной из звезд в нашей Галактике. Под влиянием этой концепции был осуществлен (уже в 20 в.) переход от «мира» Гершеля к «миру» Хаббла: наша Галактика в свою очередь оказалась не центром Вселенной, а лишь «небольшим» островком в гигантском множестве галактик (Метагалактике). Идея множественности миров в астрономическом смысле на этом не останавливается: в конце 20 в. она побуждает исследователей выдвинуть гипотезу о существовании множества Метагалактик, в котором уже и Метагалактика теряет свое привилегированное положение. В 20 в. идея множественности миров получила дальнейшее развитие не только в мега-, но и в микронаправлении: возникло представление о качественном многообразии материи не только «вширь», но и «вглубь». В результате всех этих процессов первоначальный астрономический негеоцентризм принял более общую форму естественнонаучного негеоцентризма (концепция структурных уровней материи). Суть естественнонаучного негеоцентризма — борьба против абсолютизации «земного» (макроскопического) мира, являющегося естественной средой обитания человека, против произвольной экстраполяции любых конкретных свойств и законов этого мира на другие формы объективной реальности без учета специфики последних. Между тем создание в 19 в. неевклидовой геометрии и теории множеств и открытие в 20 в. теории относительности и квантовой механики показали ограниченность концепции естественнонаучного негеоцентризма и поставили проблему развития и обобщения идеи множественности миров в совершенно новом и весьма неожиданном направлении. Такое обобщение оказалось необходимым в связи с потребностью понять своеобразие перехода от мира обычных «земных», объектов, с которыми человек имеет дело в своей повседневной практике («макромир»), к миру объектов гигантского масштаба («мегамир»), с одной стороны, и к миру микрообъектов («микромир») — с другой. Очевидно, что обобщение идеи множественности миров требует, прежде всего, уточнения понятия «мир». «Мир» выступает как некоторая материальная система, реализующаяся через систему взаимосвязанных атрибутов. Эта взаимосвязь имеет столь же объективный и универсальный характер, как сами атрибуты. Атрибутивный характер движения, пространства, времени, взаимодействия и т. п. и взаимосвязи между ними обусловлен тем, что они выражают то общее, что присуще не одной из сфер бытия, а всем трем сферам бытия (неорганическим, биологическим и социальным системам). Эти общие черты указанных трех сфер бытия фактически представляют собой не что иное, как объективные условия принципиальной наблюдаемости объекта исследования. Очевидно, что объект не может быть принципиально наблюдаемым, если он не обладает таким атрибутом, как взаимодействие. Но взаимодействие предполагает движение, движение — пространство и время и т. п. Т. о., если в качестве единственного необходимого и достаточного критерия объективного существования постулируется принципиальная (т. е. прямая или косвенная, актуальная или потенциальная) наблюдаемость, то необходимые объективные условия этой наблюдаемости должны быть присущи любому объекту. Отказ от одного из этих условий неизбежно должен привести к отказу от принципиальной наблюдаемости и, следовательно, к заключению о невозможности объективного существования соответствующего объекта. Так как атрибуты материального мира являются универсальными характеристиками любого из составляющих его материальных объектов, то все особенности каждого атрибута (в отличие от других атрибутов) универсальны. Эти особенности фиксируются в процессе познания в форме соответствующих «аксиом» (напр., аксиома Архимеда о непрерывности пространства, аксиома Лейбница о неаддитивности целого и т. п.). Развитие математики и физики за последнее столетие показало, что всеобщее содержание таких атрибутов, как пространство, время и пространственное изменение, неоднородно. Положение о неоднородности всеобщего содержания атрибутов материального мира имеет принципиальное значение: оно свидетельствует о том, что в основе самого «здания» материи лежит фундаментальное противоречие между абсолютно и относительно всеобщим содержанием атрибутов, за пределы которого исследователь не в состоянии выйти (как бы это ни хотелось исследователю). Из этого следует важный вывод о многообразии типов каждого атрибута в онтологическом смысле. При наличии взаимозависимости между атрибутами материального мира, если модифицируется какой-то всеобщий признак у одного атрибута, то это затрагивает какие-то признаки у всех других атрибутов. В результате материальная система, реализующаяся через систему соответствующих атрибу-
590
МНОЖЕСТВОтов подвергается в целом существенной модификации, и наш исследователь «вступает» в новый «мир» (онтологический негеоцентризм). Хотя концепция множественности материальных миров в онтологическом смысле является гораздо более обшей и абстрактной, чем старая концепция множественности материальных миров в естественнонаучном смысле, тем не менее она обладает еще более развитой и потому более глубокой эвристической функцией, чем это было в случае концепции естественнонаучного негеоцентризма. В области релятивистской космологии она делает понятным, почему релятивистские космологические модели не ограничиваются, подобно классическим, модификацией только «модусов» материи, но затрагивают фундаментальные характеристики таких атрибутов, как пространство и время. Более того, концепция онтологического негеоцентризма ориентирует научное исследование в области космогонии и космологии на модификацию не только фундаментальных характеристик пространства и времени, но и таких атрибутов материи, как движение, структура, причинность, взаимодействие и т. п. В области нерелятивистской квантовой механики онтологический негеоцентризм позволяет обнаружить двойственный характер боровского принципа дополнительности; 1) взаимо- исключаемость макроскопического, пространственно-временного и макроскопического причинного описания поведения микрообъектов: и 2) взаимоисключаемость пространственно- временного и причинного описания вообще. Он показывает правильность первой формулировки и ошибочность второй. В области релятивистской квантовой механики (теория элементарных частиц) концепция онтологического негеоцентризма позволяет наметить новую стратегию научного поиска. Оказывается, что наряду с квантово-полевым подходом к объединению известных физических взаимодействий возможен иной (не полевой) подход. Этот подход приводит к