Мария Изабель Бинимелис Басса«Мир математики»№ 10«Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия»
Моему доверенному лицу в мире фракталов Антони Бенсени и в память о Хуане Фемениасе
Предисловие
40 лет назад никто не слышал о фракталах. Ученые имели определенное представление о них, но даже самого понятия «фрактал» тогда еще не существовало. В своей книге «Новый ум короля» профессор Роджер Пенроуз придерживается мнения, что математика — это череда открытий уже существующего, а не изобретений нового. Математические объекты — это некие идеальные представления, которые отражают кажущийся порядок в определенных аспектах окружающего нас мира.
Облака, деревья, молнии, сталактиты и даже павлиний хвост — все эти объекты можно описать с помощью фрактальной геометрии подобно тому, как Землю можно представить в форме шара, а моллюсков-наутилусов — в виде спирали. Земля не является идеальной сферой или идеальным эллипсоидом. Однако подобная модель очень полезна, например, при вычислении времени и места затмений, и обеспечивает достаточную точность.
Перелом в описании Вселенной произошел, когда ученые обратили внимание на новые геометрические объекты, ранее считавшиеся случайными или не имеющими особого значения. Эти новые объекты имели неравномерную, а порой и хаотичную структуру. В попытках структурировать этот «беспорядок» были найдены правила, которые до этого игнорировались, шаблоны, которые повторялись при разном масштабе наблюдений. Именно тогда, как объясняет Нассим Николас Талеб в своей книге «Черный лебедь», все элементы головоломки, известные еще Платону, Ципфу и Юлу, сошлись в руках Бенуа Мандельброта. Согласно Талебу, именно Мандельброт связал случайность (на поверку оказавшуюся мнимой) и геометрию и тем самым привел вопрос к логическому завершению. Чтобы подтвердить свою теорию, ему пришлось обратиться к работам никому не известных на тот момент математиков.
Спустя некоторое время обнаружились множественные взаимосвязи между этим новым разделом математики и другими науками: биологией, геологией, урбанистикой, технологией и даже искусством. Почти одновременно с этим на свет появилось гак называемое множество Мандельброта, где в результате простого последовательного возведения числа в квадрат появляется удивительное по красоте и сложности изображение. Оно не только является порождением нашего разума, но и содержит в себе особый мир.
Математические обозначения находятся вне времени: они описывают реальность, в которой мы живем, и одновременно выходят далеко за рамки материального мира. С момента зарождения цивилизации человек стремился познать законы Вселенной. Фракталы — это новый взгляд на мир, который мы только-только начали постигать.
Глава 1Развитие геометрии: Мандельброт против Евклида
«Прямые, те, что параллельны, на бесконечности сходятся!» —
Так непрестанно, упорно Евклид утверждал.
Но вот умер он и лишь после смерти узнал,
Что две параллельных прямых расходятся.
Черт бы всех их побрал!
Пит Хейн. Груки
С давних пор люди пытались понять строение космоса. Они стремились найти законы Вселенной, которым подчиняется движение планет и форма галактик, искали формулы, позволяющие предсказать падение предметов, старались понять полет птиц, изучали анатомию живых существ и строение человеческого разума.
В целом космос делится на две части: микрокосмос и макрокосмос. Макрокосмосом называют множество объектов Вселенной, которые по размерам сопоставимы с нашей планетой, Солнечной системой, галактикой или созвездиями. Микрокосмос, напротив, образуют все объекты, которые по размерам сопоставимы с человеком или даже меньше его. Например, сюда относятся органы нашего тела, вирусы и молекулы. Человеку всегда было интересно то, что нельзя увидеть или предсказать, и это любопытство двигало его в дали макрокосмоса и в глубины микрокосмоса.
Еще с древних времен считалось, что между микрокосмосом и макрокосмосом есть взаимосвязь. В Древней Греции верили, что элементы всего сущего, начиная от макрокосмоса и заканчивая микрокосмосом, воспроизводятся по одним и тем же схемам и правилам. Древнегреческие философы, увидев, что соотношение 1,6180…, позднее названное золотым сечением, присутствует во всех явлениях природы, попытались дать этому рациональное объяснение и тем самым совершили первый шаг к унификации микро- и макрокосмоса. В арабских источниках 650 г. встречаются переведенные тексты изумрудной скрижали, которую, по легенде, написал Гермес Трисмегист (от его имени происходит слово «герметичный»). В изумрудной скрижали раскрываются тайны «первичнои материи» и ее видоизменении, описывается «великое делание» — основной рецепт алхимии. Вторая заповедь скрижали гласит: «То, что находится внизу, соответствует тому, что пребывает вверху; и то, что пребывает вверху, соответствует тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единой вещи». Основная цель алхимии — понять таинственную связь между микрокосмосом и макрокосмосом и тем самым обрести мудрость.
Желание греков унифицировать микро- и макромиры нашло отражение в недавно появившемся разделе математики. В одной из многочисленных областей геометрии рассматриваются два основных понятия: самоподобие и непрерывность. Оба эти понятия со временем постепенно уточнялись и дополнялись. Именно о них мы подробно поговорим далее и расскажем о некоторых весьма интересных математических конструкциях.
МАКРОКОСМОС И МИКРОКОСМОС
* * *
В основе практически всей современной науки лежит математика, поэтому не зря степень развития науки или цивилизации оценивают по тому, насколько она «математична». Основным инструментом научного и технического прогресса во всех цивилизациях была геометрия, и в то же время она развивалась благодаря растущим потребностям науки и техники.
Наглядный пример подобного симбиоза являет собой китайская цивилизация. Китайцы бесстрашно пересекали океаны, не боясь затеряться в открытом море, так как имели в своем распоряжении очень точные карты. Геометрию также использовали египтяне при постройке пирамид. В свою очередь, математик и астроном Аристарх Самосский (310–230 гг. до н. э.) с высокой точностью рассчитал расстояние от Земли до Луны. Еще один математик и астроном, Эратосфен (276–194 гг. до н. э.) родом из Кирены, располагая крайне примитивными средствами измерений, тем не менее очень точно вычислил диаметр Земли. Значительно позднее благодаря телескопам-рефлекторам были открыты миллионы звезд, а при помощи параллакса стало возможным найти расстояние до некоторых ближайших звезд.
Согласно историку и географу Геродоту Галикарнасскому, в Древнем Египте была очень развита геометрия и греки считали именно египтян своими учителями и создателями геометрии. Хотя сохранилось лишь несколько чисто практических формул для вычисления длин, площадей и объемов, нам известно, что с их помощью египтяне вычисляли размеры земельных участков, чтобы восстанавливать их после ежегодных разливов Нила. Отсюда происходит слово γεωμετρια — геометрия, измерение Земли» (от древнегреческого γη — Земля и μετρε'ω — измеряю). Слово «геометрия» уже было известно во времена Эратосфена, и когда он поистине гениальным способом вычислил диаметр Земли, то придал словам «измерение Земли» новый смысл.
Геометрия изучает свойства пространства и способы измерения длин, углов и поверхностей различных объектов, которые встречаются в повседневной жизни. Она тесно связана с тем, как мы познаем реальность. Вся информация, которую мы получаем из окружающего мира, все, что мы видим, слышим и ощущаем, выражается в первую очередь в терминах геометрии, и это влияет на все, что мы делаем. Комнаты в домах и земельные участки издавна имеют прямоугольную форму. Траектория падения предметов, орбиты вращения планет, форма моллюсков-наутилусов, форма, которую принимает провисший электрический провод, — все это примеры фигур, изучаемых в классической геометрии. Другие фигуры были неизвестны науке вплоть до начала XIX века.
ЭРАТОСФЕН И ВЫЧИСЛЕНИЕ РАДИУСА ЗЕМЛИ
Люди поняли, что Земля имеет форму шара, очень давно. На это указывали следующие факты: на севере и на юге видимое положение звезд на небе заметно отличалось; когда корабли пропадали из виду на горизонте, последними виднелись мачты; тень Земли на Луне во время затмений имела круглую форму и так далее. Эратосфен, который возглавлял Александрийскую библиотеку (за несколько лет до него эту должность занимал сам Евклид), изобрел очень простой метод для вычисления земного радиуса.
Из папирусов его библиотеки нам известно, что в Сиене (в настоящее время — Асуан) в день летнего солнцестояния предметы не отбрасывали тени и свет проникал на дно колодцев. Предположив, что Александрия находится точно на север от Сиены (в действительности Александрия расположена немного северо-восточнее) и Солнце настолько далеко от Земли, что его лучи параллельны друг другу, Эратосфен измерил длину теней в Александрии в день летнего солнцестояния. Так он показал, что Сиена отстоит от Александрии на 7°12′. Позднее он уточнил расстояние, которое проходили между этими городами караваны торговцев. Оно оказалось равным 5 000 стадиев (хотя точная цифра содержалась и в книгах Александрийской библиотеки). На основе этих данных он произвел нужные вычисления с помощью тригонометрических методов. Приняв один стадий Эратосфена за 185 м, получим вычисленное им значение радиуса Земли в 6 616 км (ошибка составила примерно 17 %). Однако некоторые исследователи считают, что Эратосфен использовал в расчетах египетские стадии — 300 локтей по 52,4 см каждый. В этом случае найденная им длина окружности, проходящей через полюса, равняется 39 614,4 км, что отличается от современного значения в 40 008 км менее чем на 1 %.