То же относится и к погоде. Она-то уж от чего только не зависит! От времени года, от климата, от силы ветра, от его направления... И так далее и тому подобное. Неудивительно, что бюро прогнозов так часто ошибается!
Всё это мы узнали от капитана, который, к счастью, не слишком долго задерживался на функциях сложных и предложил нам заняться функциями попроще. Такими, которые зависят только от одного аргумента.
Тогда-то я и придумал про насморк и про двойку в дневнике. Но капитану про двойку не понравилось. Ведь функция - понятие переменное, а двойка в дневнике лодыря увы, штука постоянная! Сказав это, он подмигнул, да так выразительно, что я даже обиделся, но тут же об этом позабыл, засмотревшись на берег, где четверо юнцов развлекались странной игрой.
Сперва они притащили откуда-то резиновый канат с крепко-накрепко сваренными концами. Потом разделили его на четыре равные части меловыми чёрточками, и каждый ухватился обеими руками за свою отметину. Канат натянул и принял форму квадрата.
Тогда игроки стали меряться силами. Каждый тянул на себя и при этом понемножку отступал назад. Резина растягивалась, квадрат увеличивался, хотя и оставался по-прежнему квадратом. Видно, силы у игроков были равные.
Я спросил: во что они играют? Но капитан сказал, что вовсе они не играют, а работают. Это, мол, дети функционариев, которые с малолетства привыкли трудиться. Получив аргумент от аргументариев, они тут же начинают функционировать.
- Что-то я не вижу здесь ни аргументариев, ни аргументов,- сказал я.
- Неправда,- возразил капитан.- Разве ты не замечаешь, что площадь квадрата всё время растёт?
Действительно, вначале квадратик был совсем небольшой, потом - с боксёрский ринг, а теперь бы в нём свободно разместилась добрая сотня грузовиков.
- Так вот,- продолжал капитан,- площадь квадрата -это функция, а сторона квадрата, точнее, длина её -аргумент. Кроме того, здесь есть и ещё одна функция.
- Где, где? - заволновались мы с Пи.
- Да тут же! - пояснил капитан.- Это периметр. Ведь периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны! Ясно?
- Ясно,- сказал Пи.- Но ведь площадь квадрата тоже как будто пропорциональна его стороне?
- Уж конечно,- подтвердил Единица.- Но вот растёт она куда быстрее, так как пропорциональна не первой, а второй степени стороны. Увеличьте сторону квадрата вдвое -площадь мигом возрастёт в четыре раза.
Он говорил, а юнцы всё растягивали и растягивали свой квадрат, но мы на них уже не смотрели. Нас заинтересовали маленькие функционята, которые выдували через соломинки мыльные пузыри самых разных размеров.
- Как ты думаешь,- спросил я у Пи,- где здесь аргумент, а где функция?
- Наверное, аргумент мыльного пузыря - это его радиус,- сказал он, немного подумав,- а функция - его объём.
- А ещё площадь мыльной плёнки,-добавил я.
- Ты хочешь сказать - поверхность шара,- уточнил капитан.- Математики называют это сферической поверхностью, а короче - просто сферой.
- Выходит, и здесь от одного аргумента зависят сразу две функции: объём шара и его сфера,- гордо заявил я.
- А зависимость от радиуса у обеих, наверное, квадратная,- предположил Пи.
- Так, да не так,- поморщился Капитан.- Поверхность в самом деле зависит от второй степени радиуса, а насчёт объёма - подымай выше! Объём зависит от третьей степени радиуса.
- Ого! - задохнулся Пи.- Значит, если радиус увеличить втрое, поверхность шара возрастёт в девять раз, а объём...
- А объём - в целых 27 раз! - хвастливо ввернул я.
- Молодцы!-растрогался капитан.- Уж не податься ли вам в функционарии?
- Ну уж нет,- запротестовал я.- Очень надо всё время от кого-нибудь зависеть. То ли дело стать аргументарием! Тут я бы ещё подумал...
Но капитан сказал, что всё на свете относительно. Аргумент в математике запросто превращается в функцию, и наоборот: функция - в аргумент. Это уж как выгоднее для данной задачи.
- А мама говорит, что думать о выгоде нехорошо,-сказал я.
- Смотря где и когда,-возразил капитан.- Искать, к примеру, выгоды в дружбе - дело последнее, а искать выгоды в математике - первое... Задачу, во всяком случае, надо решать самым выгодным способом. Иногда выгоднее, чтобы аргументом был радиус шара, а функцией - его объём. Иногда - наоборот: чтобы аргументом был объём, а функцией -радиус шара.
- А что от этого меняется? - спросил Пи.
- Очень даже многое,- ответил капитан.- Меняется функциональная зависимость. Поверхность шара, например, есть функция второй степени его радиуса. А вот радиус шара - это уже функция корня квадратного из величины поверхности. Впрочем, иногда зависимость в обоих случаях сохраняется. И происходит это тогда, когда функция прямо пропорциональна аргументу. Тогда и аргумент прямо пропорционален функции.
- А пример? - сейчас же прицепился я.
- Сколько угодно,- ответил капитан.- Периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны. Но и сама сторона квадрата тоже прямо пропорциональна его периметру. Так что, в данном случае, что мы приняли за аргумент, а что - за функцию, значения не имеет. Ведь характер функциональной зависимости при этом не изменится.
Тут на берегу появились ещё два малыша, у каждого в руках по котёнку. Малыши подошли к тем, что выдували мыльные пузыри, и стали сажать на эти самые пузыри котят Один посадил котёнка на радужный шарик величиной с апельсин, другой - на шар размером с большой мяч.
Ну, с шарика поменьше котёнок тут же свалился, зато другой котёнок сидел себе на своём 'большом шаре как ни в чём не бывало.
Нечего и говорить, что мы с Пи от изумления рты разинули. Где это видано, чтобы котят сажали на мыльные пузыри? И что это за мыльные пузыри, которые при этом не лопаются? Но капитан сказал, что, путешествуя на таком Фрегате, как наш, и не такое увидишь!
- Нет, вы лучше над другим подумайте,-предложил он.- Почему это один котёнок на шаре не удержался, а другой - наоборот?
- Наверное, потому, что у маленького шарика поверхность крутая, а у большого - пологая, - догадался Пи.
- Отлично! - обрадовался капитан. - Правда, математики выражаются чуть иначе. Они говорят, что у одних поверхностей кривизна большая, а у других - маленькая. Чем больше радиус шара, тем меньше его кривизна. Вот и выходит, что котята познакомили вас ещё с одной функцией радиуса. И функция эта не прямо, а обратно пропорциональная.
- Совсем как у земного шара,- сообразил я.- У Земли радиус огромный, а кривизна такая маленькая, что её почти и не заметно.
Но тут капитана вызвали в рубку, и он так и не успел похвалить меня за отличный пример, зато, уходя, велел нам вычислить, сколько диагоналей у выпуклого многоугольника. Так, мол, мы выясним, какова функциональная зависимость между числом его диагоналей и числом сторон.
По правде говоря, мы приступили к делу не сразу, а после порядочной разминки. Как говорится, функция не волк, в лес не убежит. Кроме того, надо было хорошенько вспомнить всё, что нам известно о многоугольнике.
Признаться, меня очень смущало слово "выпуклый". То, что многоугольник - замкнутая геометрическая фигура, состоящая из отрезков прямой, ясно каждому. То, что диагональ - это отрезок прямой, соединяющий вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне, тоже ни для кого не секрет. Но что такое выпуклый многоугольник?
К счастью, Пи оказался образованнее меня. Он уже где-то читал, что многоугольники бывают выпуклые и звёздчатые И первые отличаются от вторых тем, что все их диагонали находятся внутри многоугольника.
Теперь можно было заняться решением. Не скажу, что оно далось нам сразу, но всё-таки далось. А вот что за функция у нас получилась, рассказывать не стану. Над этим поразмыслите сами.
Полный назад!
Вот уже четвёртый день идём в сплошном тумане. Дальше борта не видать ни зги. Ползём как улитки, а капитану вроде и горя мало. Знай себе мурлычет под нос: "На заре туманной юности..."
- Этак мы далеко не уплывём,- не выдержал я.
- Ну, это ещё не известно,- усмехнулся Единица.- За ночь мы уплыли почти на четыре тысячи...
- ...миллиметров,- сострил я.
- На четыре тысячи лет! - внушительно заявил он.- Я ещё с вечера дал команду: "Полный назад". И сейчас мы находимся примерно в двадцатом веке до нашей эры. В Древнем Египте. Должны же вы, наконец, познакомиться с родиной геометрии!
В это время туман стал быстро редеть, и мы увидели берег, где копошились какие-то полуобнажённые фигуры.
- Смотрите, смотрите! - возбуждённо закричал Пи.- Кто это там верёвкой размахивает?
- Вероятно, гарпедонапт,- небрежно сказал капитан.
- Кто-кто? - переспросил я.
- Гар-пе-до-напт,- повторил Единица раздельно.- А по-нашему - землемер. Древнеегипетские землемеры измеряли землю верёвкой с узелками, что не помешало им стать неплохими геометрами. Некоторые учёные считают гарпедо-наптов первыми геометрами в истории человечества.
- Дорогу! Дорогу Ахмесу! Дорогу писцу фараона! -донеслось до нас с берега, и мы увидели странное шествие.
Четверо дюжих чернокожих молодцов несли какую-то будочку, со всех сторон обвешанную богато расшитыми занавесками. Молодцы были совсем голые, если не считать коротких, раздувающихся на ветру юбочек. Их глянцевые, будто смазанные жиром, тела так и сверкали на солнце!
Я спросил, что за будочка такая? Уж не киоск ли для мороженого? Но капитан сказал, что это не киоск, а носилки. Носилки Ахмеса.
- Разве этот Ахмес болен? - удивился я.
- Не думаю,- возразил Единица.- Это в наши дни на носилках переносят больных. А когда-то таким способом путешествовали важные персоны.
Пи посмотрел на него с явным недоверием.
- При чём тут важные персоны? Насколько я понимаю, это всего-навсего носилки придворного писца.
- Думаешь, писец не может быть важной персоной? -усмехнулся капитан.- Как бы не так. Писцы в древности - это ведь не просто переписчики, а весьма образованны и уважаемые люди. К тому же, как правило, прекрасны математики. В Египте было даже целое сословие царски писцов.