Действительно, не прошло и часа, как с дырками было покончено. Но главный архитектор, поглядев на нашу работу, только за голову схватился: ведь теперь наши прямоугольные плоскости торчали зубцами над крышей!
Пришлось застеклять проём в третий раз. Наученные горьким опытом, мы набрали полосок таких узких, что и не ухватишь. Получилось вроде бы неплохо, но главный сказал, что щели, хоть и незаметные, всё равно остались, и все спортсмены наверняка простудятся.
К тому времени мы с Пи совсем уже выдохлись и чуть не плакали от досады и усталости. И тут...
И тут появился наш дорогой, наш несравненный капитан Единица. И всё сразу пошло как по маслу. Оказывается, мы всё время отбирали полоски, годные только для прямоугольных проёмов, в то время как для полукруглых нужны особые, волшебные. Бесконечно малые по ширине.
Бесконечно малые? Стойте! Что-то такое мы об этом уже слышали...
- Ну конечно, - подтвердил Пи. - Вспомни задачу Зенона про Ахиллеса и черепаху.
- Молодцы, ребята! - обрадовался капитан. - Зенон был первым, кто представил себе бесконечно малую величину -иначе говоря, такую математическую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает. Именно таковы и наши волшебные полоски. Ширина их всё время сама по себе убывает и непрерывно стремится к нулю. Но самое интересное, что при этом изменяется и высота полоски. Выступающие уголки её постепенно скругляются, сглаживаются.
- Выходит, высота этого выступающего кусочка плоскости есть функция ширины полоски, - сообразил я.
И тут случилось нечто небывалое. Капитан, всегда такой! спокойный и рассудительный, бросился мне на шею и рас целовал в обе щеки.
- Ай спасибо! - повторял он, улыбаясь во весь рот. - Вот спасибо! Теперь я вижу, что труды мои не пропали даром. Вы таки кое-что усвоили из пройденного...
Когда он наконец чуток успокоился, мы пошли за волшебными полосками, и я спросил, много ли их понадобится? Оказалось, не просто много, а бесконечно много. Вот здорово! Значит, бесконечным множеством бесконечно малых по ширине полосок можно точно застеклить площадь любой формы?!
- Ну конечно! - подтвердил Единица. - А из этого, в свою очередь, нетрудно понять, что площадь есть не что иное, как сумма бесконечного числа волшебных полосок. И называется эта сумма интегралом. С помощью интеграла можно вычислить кучу интереснейших вещей: самые разнообразные площади, объёмы, орбиты, скорости огромных планет и крохотных электронов... В общем, там, где требуется вычислить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, без интеграла не обойдёшься.
- Всё это очень хорошо, - сказал Пи, - но почему у этого интеграла на гербе дракон?
- Не дракон, а что-то вроде латинского "эс" - S, - засмеялся капитан. - Недаром S - первая буква слова "сумма". Вот она и стала знаком интеграла.
- Интересно, а кто был первым интегральщиком на свете? - спросил Пи.
- Самым-самым? - Капитан почесал за ухом.- Самым первым можно, пожалуй, считать великого древнегреческого учёного Архимёда. Человечество обязано Архимеду многими открытиями в самых разных областях: в математике, механике, физике, инженерном и военном деле... Научное наследие Архимеда огромно. И немалое место занимает в нём трактат об исчислении песчинок.
- Об исчислении чего? - удивлённо переспросил я.
- Песчинок,- повторил капитан.- Архимеду захотелось узнать, сколько потребуется песчинок, чтобы заполнить ими шар - такой огромный, что в нём запросто может поместиться не только Солнце со всеми планетами, но и всё звёздное небесное пространство.
- И что же, удалось ему это? - полюбопытствовал Пи.
- Представь себе, удалось,- сказал капитан.- И раз так, значит, Архимед вычислил сумму огромного числа чрезвычайно малых слагаемых. А это хоть и не совсем, но почти интеграл. ,Вот почему Архимеда считают родоначальником интегрального исчисления, то есть математического метода, который по-настоящему стал развиваться только две тысячи лет спустя.
Пока Единица разглагольствовал, мы с коком времени зря не теряли. Полоски оказались и впрямь волшебными, и скоро проём был застеклён так аккуратно, что ни одной щёлочки и в микроскоп не углядишь.
- Что и говорить, проинтегрировано на славу! - сказал главный архитектор, придирчиво оглядев застеклённое пространство.
На радостях он подарил нам по медальке со знаком интеграла (мы тут же окрестили его драконом Архимеда) и сказал, что с этой минуты нас можно считать завзятыми интегральщиками.
Ну, мы, конечно, сделали серьёзные лица и вежливо поблагодарили, а потом не выдержали и со всех ног побежали на Фрегат.
Конический дуэт
Утром на Фрегате появилась завлекательная афиша:
Весь день я и Пи только и делали, что смотрели на часы, ожидая, когда наступит 18.00. Правда, при чём тут пергское время, мы не больно-то поняли. А ещё нас очень рассмешила ошибка в объявлении, где вместо слова "комический" значилось "конический". Хотя капитан Единица утверждал, что никакой ошибки нет, потому что дуэт, по всей вероятности, будет и комическим и коническим одновременно.
И вот наконец долгожданное пергское время настало.
Нечего и говорить, что мы с коком ворвались в кают-компанию раньше всех и уселись в первом ряду, аккурат против занавески, откуда должны были по нашим расчётам выходить артисты.
Но клоуны, вопреки нашим ожиданиям, появились прямо из публики, притом с разных сторон. Маленький, толстенький Ап был в белом балахоне с разноцветными блёстками, а длинный, тощий Ол - в кургузом пиджаке и длинноносых ботинках. Да, забыл сказать: у Апа на голове был шлем, очень похожий на те, что носят мотоциклисты, и Ол, взглянув на него, закричал:
- Эй, Ап, что это у тебя на голове? Сейчас же сними эту дурацкую полусферу!
- Ха-ха! - отвечал Ап. - А вот и не сниму!
- Ну и не надо! - сказал Ол и загнутым носком своего клоунского башмака сшиб шлем с головы Апа.
Ну, у того, как водится, брызнули из глаз фонтанчики. А Ол положил шлем на наковальню, взял большущий молоток и стал колотить, крича во всё горло:
- Я из него лепёшку сделаю!
Но сколько он ни колотил, шлем хоть и сплющился, а в лепёшку почему-то не превращался. И тут уже у Ола брызнули фонтанчики из глаз, а Ап, наоборот, захохотал, и мы с Пи тоже, да так громко, что капитану пришлось нас останавливать. Он сказал, что, во-первых, смеяться так громко неприлично. А во-вторых, клоуны показывают очень серьёзные вещи. И даже не столько показывают, сколько доказывают.
- Что, что доказывают? - сейчас же прицепился я.
- Да то, что сферу никаким способом в лепёшку, то есть в плоскость, не превратишь, - пояснил капитан. - На языке математики это означает, что сферическая поверхность в плоскость не развёртывается - стучи по ней молотком хоть до скончания века!
Честно говоря, мы слушали капитана вполуха: очень уж интересно было, что делается на сцене.
Ап начертил на полу окружность, затем достал из кармана красную нитку и аккуратно поставил её на окружность. А потом отнял руку, и, можете себе представить, ниточка так и осталась стоять вертикально. Как стальная!
- Скажи, пожалуйста, Ап, что ты там делаешь? - спросил Ол.
- Да вот, новую шляпу, - отвечал тот, - цилиндр!
- А ниточка зачем? Чтобы шить?
- Не угадал! Ниточка поможет мне образовать цилиндрическую поверхность.
- Уж не хочешь ли ты сказать, что ниточка будет образующей твоего цилиндра? - снова спросил Ол.
- Вот теперь угадал! - обрадовался Ап. - И сейчас я отправлю эту ниточку в кругосветное путешествие.
- В кругосветное? - удивился Ол.
- Ну да, по окружности, - пояснил Ап.
- А ниточка не заблудится? - испугался Ол.
- Уж конечно, не заблудится! - заверил его Ап. На путь истинный её будет направлять окружность.
- Выходит, окружность у тебя будет направляющей?
- Да, да, да! - захлопал в ладоши Ап.
И тут красная ниточка быстро побежала по окружности, по-прежнему сохраняя вертикальное положение. А вслед за ней, по всей её высоте, побежала блестящая красная полоса. Когда же ниточка вернулась к началу своего пути, на сцене стоял великолепный красный цилиндр - правда, без полей.
Ну, Ап, конечно, схватил его и тут же нахлобучил на голову. Но Олу новая шляпа не понравилась. Он сдёрнул её с головы приятеля, вытащил из цилиндра красную ниточку - образующую, и тогда цилиндр развернулся и превратился в красный прямоугольник. Одна сторона прямоугольника равнялась длине направляющей бывшего цилиндра, а другая - высоте образующей.
У Апа снова брызнули из глаз фонтанчики, а капитан сказал, что на сей раз клоуны наглядно убедили нас в том, что цилиндрическая поверхность - не сфера, и потому запросто развёртывается в плоскость.
К тому времени Ап уже утешился и придумал новую забаву. Он снова заставил красную ниточку путешествовать по окружности, но на сей раз не в вертикальном положении, а с наклоном. При этом верхний конец ниточки пришёлся точно над центром окружности. Ниточка бежала по окружности всё с тем же наклоном, а когда вернулась к месту своего старта, на сцене стоял остроконечный колпак. Да, да, самый настоящий клоунский колпак! А по-научному -конус.
Ап завизжал от восторга и хотел уже надеть его на голову, но тут Ол схватил турецкий ятаган, размахнулся - и хвать по колпаку! Видно, ему хотелось разрубить конус точно надвое. Но, вместо того чтобы пройти через ось конуса (капитан сказал, что так называется высота конуса, иначе говоря перпендикуляр, соединяющий вершину конуса и центр его основания), лезвие скользнуло где-то рядом, параллельно оси колпака.
Ну, Ол, понятно, рассердился и стал махать своим ятаганом как бешеный, а в это время Ап заменил рассечённый конус целым, и Ол снова рассек его, но уже в другом направлении. Ап опять заменил рассечённый конус новым...
Так продолжалось довольно долго, и всякий раз ятаган рассекал конус по-другому и от него отскакивал кусок другой формы. В конце концов мне это надоело.