Давид ГильбертО Бесконечном
Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с мастерской остротой, положил твёрдые основания математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий, понятия минимума, функции, производной, он тем самым устранил недочёты, имевшие место в исчислении бесконечно малых, очистил его от всех расплывчатых представлений о бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности, вытекающие из понятия «бесконечно малое». Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит в анализе полное единодушие и уверенность — даже в самых запутанных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений, — если, несмотря на самые смелые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, всё же имеется совпадение всех результатов, то это — существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.
Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась.
Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики ещё не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Но бесконечное всё же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность.
Формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, — когда, например, идёт речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что существуют действительные числа, обладающие известным свойством, — суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейерштрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.
Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики; отсюда следует, что проблема бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо ещё выяснить до конца. Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах ещё и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, т.е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем.
В этом и заключается замысел моей теории. Эта теория ставит своей целью установить определённую надёжность математического метода, которой критический период исчисления бесконечно малых ещё не достиг; она должна, таким образом, завершить то, к чему стремился Вейерштрасс в своём обосновании анализа и к достижению чего им был сделан необходимый и существенный шаг.
Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия бесконечности, приходится принимать во внимание ещё более общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то оказывается, что математическая литература наводнена нелепостями и бессмыслицами, в которых большей частью повинна бесконечность. Так например, иногда в качестве ограничительного требования подчёркивают, что в строгой математике в доказательстве допускается только конечное число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.
Также и старые возражения, которые долгое время считались похороненными, выступают опять в новом одеянии. Недавно, например, было высказано следующее: если даже введение какого-либо понятия может быть произведено без опасений, т.е. без получения противоречий, и это может быть доказано, то всё же это понятие не является в достаточной мере оправданным. Не является ли это в точности тем возражением, которое в своё время выдвигали против комплексных (мнимых) чисел, говоря: правда, из-за них не получается никаких противоречий, но их введение всё же незаконно, так как мнимые величины всё-таки не существуют. Нет, если помимо доказательства непротиворечивости может иметь смысл ещё вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый.
Другой автор, по-видимому, усматривает противоречия, подобно привидениям, даже и там, где никто вообще никаких утверждений не делал, именно в самом конкретном, чувственном мире, «непротиворечивое функционирование» которого усматривается как особая гипотеза. Я, по крайней мере, думал, что противоречить друг другу могут только высказывания и предположения, поскольку они через умозаключения ведут к новым высказываниям, и мне кажется, что мнение, будто сами факты и события могут оказаться в противоречии друг с другом, является классическим примером бессмыслицы.
Этими замечаниями я хочу только показать, что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума.
С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность.
Обращаясь к задаче о выяснении сущности бесконечного, мы должны по возможности кратко представить себе, какое содержательное значение соответствует бесконечному в действительности; мы посмотрим сначала, что нам даёт в этом отношении физика.
Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый объём жидкости, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в физике материи достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «natura non facit saltus» (природа не делает скачков) противопоставить антитезу: «природа делает скачки».
Известно, что вся материя составлена из маленьких кирпичиков — из атомов, — и что их комбинации и соединения образуют всё многообразие макроскопических веществ. Однако физика не останавливается перед учением об атомном строении материи. Рядом с ним в конце прошлого столетия выступает, сначала очень непривычно действующее, учение об атомном строении электричества. В то время как раньше электричество считалось жидкостью и было примером непрерывно действующего агента, теперь оказалось, что и оно построено из положительных ядер и отрицательных электронов.
Помимо материи и электричества, в физике имеется ещё и другая реальность, для которой также имеет место закон сохранения, именно — энергия. Но, как установлено теперь, и энергия не допускает простого и неограниченного деления на части: Планк открыл кванты энергии.
И каждый раз получается тот итог, что однородный континуум, который должен был бы допускать неограниченное деление и тем самым реализовать бесконечное в малом, в действительности нигде не встречается. Бесконечная делимость континуума — это операция, существующая только в человеческом представлении, это только идея, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытами физики и химии.
Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении вселенной в целом. Мы должны теперь исследовать протяжённость вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины.
Мнение, что вселенная бесконечна, долгое время господствовало; до Канта и даже после него вопрос о бесконечности вселенной не вызывал никаких сомнений.
Но опять-таки современная наука, и в частности астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить его не с помощью недостаточных методов метафизического умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся на применении законов природы. При этом выявились веские возражения против бесконечности. Предполагать, что пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида. Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, непротиворечивой в самой себе, но отсюда, однако, ещё не следует, что она выполняется в действительности. Имеет ли это место — это может решить только наблюдение и опыт. При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию — естественную модель конечного Мира. Отказ от евклидовой геометрии является теперь не только чисто математическим или философским умозрением, но мы пришли к этому отказу также и с другой стороны, которая первоначально не имела ничего общего с вопросом о конечности вселенной. Эйнштейн показал необходимость отойти от геометрии Евклида. На основании своей гравитационной теории он берётся и за космологические вопросы и показывает возможность конечности вселенной, причём все найденные астрономами результаты вполне согласуются с предположением об эллиптическом мире.