Итак, мы установили конечность действительного в двух направлениях: в отношении бесконечно малого и бесконечно большого. Всё же может случиться, что бесконечное в нашем мышлении занимает полноправное место и является необходимым понятием. Мы посмотрим, как с этим обстоит в математической науке, и первым делом опросим чистейшее и наивнейшее дитя человеческого духа — теорию чисел. Из имеющейся здесь богатой совокупности элементарных формул возьмём какую-либо одну, например:
12+ 22 + 32 + ...+ n2 = (1/6)п(n + 1)(2n + 1).
Так как мы можем подставить в неё вместо п какое-либо целое число, например, положить п = 2 или п = 5, то эта формула содержит бесчисленное множество высказываний; в этом, очевидно, и заключается её суть, благодаря чему только она и представляет решение арифметической проблемы и требует собственно доказательства, между тем как частные числовые равенства
12+ 22 = (1/6)*2*3*5,
12+ 22+ 32+ 42+ 52 = (1/6)*5*6*11
могут быть проверены с помощью вычислений и потому в отдельности не представляют, по существу, никакого интереса.
С абсолютно другим, совершенно своеобразным толкованием и принципиальным пониманием идеи бесконечного мы знакомимся благодаря чрезвычайно важному и плодотворному методу идеальных элементов. Метод идеальных элементов находит себе применение уже в элементарной геометрии плоскости. Здесь реальными, действительно существующими предметами являются вначале только точки и прямые плоскости. Для них имеет место, между прочим, аксиома соединения: через две точки проходит всегда одна и только одна прямая. Отсюда получается, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке. Но теорема, утверждающая, что две прямые всегда пересекаются в одной точке, несправедлива; две прямые могут быть параллельными. Однако известно, что с помощью идеальных элементов, а именно с помощью бесконечно удалённых точек и с помощью одной бесконечно удалённой прямой можно достичь того, что теорема, согласно которой две прямые всегда пересекаются в одной и только одной точке, окажется справедливой во всех случаях.
Идеальные «бесконечно удалённые» элементы приносят ту пользу, что они делают систему законов соединения возможно более простой и обозримой. Вследствие симметрии между точкой и прямой, отсюда, как известно, получается оказавшийся столь плодотворным принцип двойственности в геометрии.
Обычные комплексно-мнимые величины алгебры также являются примером использования идеальных элементов; они служат здесь для упрощения теорем о существовании корней уравнения и их числе.
Подобно тому как в геометрии бесконечное множество прямых, именно параллельные друг другу прямые, используется для определения идеальной прямой, так и в высшей арифметике определённые бесконечные системы чисел объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит, пожалуй, самое гениальное применение принципа идеальных элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого алгебраического числового поля, то мы находим в этом поле простые и хорошо известные законы делимости, аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных целых чисел. Здесь мы уже попали в область высшей арифметики.
Мы подошли теперь к анализу, этой искуснейшей и тончайшим образом разветвлённой отрасли математических наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там бесконечное; математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного.
Громадные успехи, достигнутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с математическими системами, состоящими из бесконечного числа элементов. Так как очень легко напрашивалось отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре возникли несогласованности, так называемые парадоксы исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в древности известна софистам. Основным шагом вперёд явилось обнаружение того факта, что многие положения, справедливые для конечного, — часть меньше целого, существование минимума и максимума, перемена мест слагаемых или сомножителей — не могут быть непосредственно перенесены на бесконечное. В начале своего доклада я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в своей области стал безошибочным наставлением и практическим инструментом для пользования бесконечным.
Однако сам анализ ещё не ведёт нас к глубочайшему проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефилософским приёмам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, создателем которой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только то, поистине единственное в своём роде и оригинальное, что составляет собственно ядро канторовского учения, — его теорию трансфинитных чисел, она представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это такое?
Если хотят кратко характеризовать новое понимание бесконечного, которому положил начало Кантор, можно, пожалуй, сказать следующее: в анализе мы имеем дело с бесконечно малым и бесконечно большим только как с предельным понятием, как с чем-то становящимся, образующимся, производящимся, т.е., как говорят, с потенциальной бесконечностью. Но это не есть само собственно бесконечное. Таковое мы имеем, например, рассматривая самую совокупность чисел 1, 2, 3, 4, ... как некое законченное единство или точки отрезка как совокупность вещей, предстоящую перед нами в законченном виде. Этого рода бесконечность мы будем называть актуальной бесконечностью.
Уже Фреге и Дедекинд, сделавшие очень многое для обоснования математики, оба, независимо друг от друга, применили актуальную бесконечность для того, чтобы обосновать арифметику независимо от всякого наглядного представления и опыта, на чистой логике и развивать её дедуктивным путём только посредством логики. Их стремление состояло в том, чтобы конечное число не брать из наглядного представления, а вывести чисто логически, существенно используя при этом понятие бесконечных множеств. Кантор же разработал понятие бесконечного систематически. Рассмотрим оба упомянутых примера бесконечного:
1) 1, 2, 3, 4, ...
2) Точки отрезка [0, 1] или, что то же, совокупность действительных чисел, заключённую между 0 и 1 [включая их].
Во-первых, их надо исследовать с точки зрения многочисленности; при этом мы приходим к поразительным фактам, которые теперь хорошо известны каждому математику. Именно, если рассматривать множество всех рациональных чисел, т. е. все дроби 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, ... , 3/7, ... , то оказывается, что это множество, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества целых чисел; мы говорим, что рациональные числа могут быть обычным способом пересчитаны, или что их множество счётно.
То же справедливо и относительно множества всех чисел, выражающихся с помощью радикалов и, даже более того, — для множества всех алгебраических чисел. Аналогично обстоит дело и с нашим вторым примером: неожиданным образом оказывается, что множество точек квадрата или куба, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества точек отрезка [0, 1]; даже для множества всех непрерывных функций справедливо ещё такое же утверждение. Кто узнаёт это впервые, может подумать, что с точки зрения многочисленности существует вообще одна только бесконечность. Но это неверно: множества наших двух примеров, — 1-го и 2-го — как говорят, не «равномощны»; напротив того, множество 2-го примера не может быть пересчитано, — оно больше множества 1-го примера. Здесь наступает характерная перемена в образовании идей Кантора. Точки отрезка нельзя пересчитать обычным способом с помощью чисел 1, 2, 3, ... Но, допуская существование актуальной бесконечности, мы отнюдь не ограничиваем себя этим обычным способом счёта, и ничто нас не принуждает прекратить счёт. Когда мы пересчитали 1, 2, 3, ..., то мы можем пересчитанные предметы рассматривать как некое в этом определённом порядке законченное бесконечное множество. Обозначим, как это делает Кантор, этот порядок по его типу через ω; тогда счёт естественно продолжается с помощью ω + 1 ,ω + 2 ,... до ω + ω или ω*2, а затем он продолжается дальше с помощью ω*2 + 1, ω*2 + 2, ω*2 + 3, ..., ω*2 + ω = ω*3 и далее с помощью ω*2, ω*3, ω*4, ..., ω*ω = ω2, ω2 + 1, ...
Таким образом, мы получаем следующую таблицу:
1, 2, 3 ...
ω, ω + 1, ω + 2 ...
ω*2, ω*2 + 1, ω*2 + 2 ...
ω*3, ω*3 + 1, ω*3 + 2 ...
ω2, ω2 + 1, ...
ω2 + ω, ω2 + ω*2, ω2 + ω*3 ...
ω2*2, ...
ω2*2 + ω, ...
ω3, ...
ω4, ...
ωω, ...
Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса, как их называет Кантор. К ним мы подходим просто посредством продолжения счёта за пределы обыкновенной счётной бесконечности, т.е. с помощью вполне естественного, однозначно определённого последовательного продолжения обычного счёта в конечном. Подобно тому как мы до сих пор считали лишь 1-ю, 2-ю, 3-ю, ... вещь множества, так теперь мы считаем ω-ю, (ω + 1)-ю, ωω-ю вещь. При таком положении вещей тотчас же сам собою напрашивается вопрос: нельзя ли при помощи этих трансфинитных чисел пересчитать множества, которые в обычном смысле несчётны?
Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление. Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своём дерзком полёте достигло головокружительной высоты успеха.