имеем дело с геометрической интуицией в чистом виде. Я не хочу сказать, что метрическая геометрия основана на чистой логике, что в ней вовсе не играют роли интуитивные истины. Но это — интуиции совсем другого рода, они аналогичны тем, которые играют значительную роль в арифметике и в алгебре.
Основное положение Analysis situs состоит в том, что пространство есть непрерывность трех измерений. Каково происхождение этого положения, я уже рассмотрел в другом месте, но очень кратко, и мне кажется не лишним остановиться на нем еще раз несколько подробнее, чтобы разъяснить некоторые пункты.
Пространство относительно. Я хочу этим сказать не только то, что мы можем быть перенесены в другую область пространства и не заметим этого (фактически это и происходит, ибо мы не замечаем переносного движения Земли), и не только то, что размеры всех предметов могут быть увеличены в одном и том же отношении, и мы не сможем этого заметить, если наши измерительные инструменты подвергнутся такому же увеличению; но я хочу сказать также, что пространство может быть деформировано по любому закону, лишь бы и наши измерительные инструменты были деформированы в точности по тому же самому закону.
Эта деформация может быть любой, однако она должна быть непрерывной, т. е. быть такой, которая преобразует какую-либо фигуру в другую, эквивалентную ей с точки зрения Analysis situs. Следовательно, пространство, рассматриваемое независимо от наших измерительных инструментов, не имеет ни метрических, ни проективных свойств. Оно имеет лишь топологические свойства (т. е. свойства, которые изучает Analysis situs). Оно аморфно, т. е. оно не отличается от такого пространства, которое может быть выведено из него произвольной непрерывной деформацией. Чтобы пояснить свою мысль, я воспользуюсь математическим способом выражения. Рассмотрим два пространства E и Е'. Точка M в пространстве E соответствует точке М' в пространстве Е'. Точка M имеет прямоугольные координаты x, y и z; точка М' имеет прямоугольные координаты в виде трех каких-либо непрерывных функций x, y и z. С интересующей нас точки зрения оба эти пространства не отличаются друг от друга.
В другом месте я подробно разъяснил, как введение наших измерительных инструментов и в особенности твердых тел позволяет уму определить и более полно организовать это аморфное пространство, как оно позволяет проективной геометрии провести в нем сеть прямых линий, а метрической геометрии измерить расстояния между его точками, какую существенную роль играет в этом процессе основное понятие группы. Я считаю все эти вопросы разобранными и не буду к ним возвращаться.
Единственным нашим предметом здесь является аморфное пространство, изучаемое Analysis situs, единственное пространство, не зависящее от наших измерительных инструментов, и его основное свойство (я чуть было не сказал, его единственное свойство) быть непрерывностью трех измерений.
Но что такое непрерывность n измерений? Чем отличается она от непрерывности с меньшим или большим числом измерений? Напомним сначала некоторые результаты, полученные учениками Кантора. Можно установить однозначное соответствие между точками какой-нибудь прямой и точками какой-нибудь плоскости или, более общо, между точками непрерывности n измерений и точками непрерывности р измерений. Это возможно, пока мы не связываем себя условием, чтобы двум бесконечно близким точкам этой прямой соответствовали две бесконечно близкие точки плоскости, т. е. пока мы не придерживаемся условия непрерывности.
Следовательно, можно, деформируя плоскость, получить прямую, лишь бы эта деформация не была непрерывной. Наоборот, это было бы невозможно при непрерывной деформации. Таким образом, вопрос о числе измерений тесно связан с понятием непрерывности и теряет всякий смысл для того, кто отвлекся бы от этого понятия.
Для определения непрерывности n измерений мы имеем прежде всего аналитическое определение: непрерывность n измерений — это совокупность n координат, т. е. совокупность n величин, которые могут изменяться независимо друг от друга и принимать все вещественные значения, удовлетворяющие некоторым неравенствам.
Хотя это определение безупречно с математической точки зрения, однако оно не может нас вполне удовлетворить. В непрерывности различные координаты не просто расположены, так сказать, одна около другой; они связаны между собой, образуя различные аспекты одного целого. Изучая пространство, мы в каждый момент производим то, что называется изменением координат. Например, мы изменяем прямоугольные оси координат или даже переходим к криволинейным координатам. Изучая другую непрерывность, мы также изменяем координаты, т. е. заменяем наши n координат какими-либо n непрерывными функциями этих координат. Для нас, извлекающих понятие о непрерывности n измерений не из указанного выше аналитического определения, а из некоторого более глубокого источника, эта операция вполне естественна; мы чувствуем, что она не искажает того, что существенно в непрерывности. Наоборот, для тех, кто знал бы непрерывность из ее аналитического определения, эта операция была бы, без сомнения, допустимой, но странной и непонятной.
Наконец, это определение с легкостью жертвует интуитивным происхождением понятия непрерывности и всеми богатствами, заключающимися в этом понятии. Оно относится к категории тех определений, которые стали столь частыми в математике с тех пор, как стремятся «арифметизировать» эту науку. Эти определения, как мы сказали, безупречные с точки зрения математика, не могут удовлетворить философа. Они заменяют определяемый предмет и интуитивное понятие этого предмета конструкцией, сделанной из более простых материалов. Мы видим, что действительно из этих материалов можно выполнить такую конструкцию, но в то же время видно, что из них можно было бы сделать и множество других конструкций. Из самой конструкции непонятно, в силу каких глубоких соображений собрали эти материалы именно таким, а не каким-нибудь иным образом. Я не хочу сказать, что эта «арифметизация» математики — плохая вещь, я утверждаю лишь, что она не составляет всего.
Я попытаюсь обосновать определение числа измерений на понятии сечения. Представим себе замкнутую кривую, т. е. непрерывность одного измерения. Если мы отметим на этой кривой две какие-нибудь точки, через которые мы запретим себе переступать, то кривая окажется разделенной на две части, и невозможно будет перейти из одной части в другую, оставаясь на кривой и не переходя через запретные точки. Возьмем, наоборот, замкнутую поверхность, образующую непрерывность двух измерений. Мы можем отметить на этой поверхности одну, две, любое число запретных точек, поверхность от этого не окажется разбитой на две части. Можно будет перейти от одной ее точки к другой, не встречая препятствий, так как всегда можно будет обойти запретные точки.
Но если мы проведем на нашей поверхности одну или несколько замкнутых кривых и если мы будем рассматривать их как сечения, которые нельзя переступать, то поверхность может быть рассечена на несколько частей
Перейдем теперь к случаю пространства. Его невозможно разделить на несколько частей, запрещая переступать через отдельные точки или через отдельные линии: эти препятствия всегда можно обогнуть. Здесь следует запретить переступать через определенные поверхности, т. е. через сечения двух измерений. Вот почему мы говорим, что пространство имеет три измерения.
Мы теперь знаем, что такое непрерывность n измерений. Непрерывность имеет n измерений, когда ее можно разбить на несколько частей, произведя в ней одно или несколько сечений, которые сами являются непрерывностями n–1 измерений. Таким образом, непрерывность n измерений определяется через непрерывность n–1 измерений. Это — рекуррентное определение.
Что мне внушает доверие к этому определению и показывает, что именно таким образом вещи естественно представляются уму, это прежде всего то, что многие авторы элементарных учебников, не мудрствуя лукаво, поступают аналогичным образом в начале своих сочинений. Объемы они определяют как части пространства, поверхности — как границы объемов, линии — как границы поверхностей, точки — как границы линий. После этого они останавливаются, и аналогия очевидна. Лишь впоследствии в других частях Analysis situs мы встречаемся снова с понятием сечения, имеющим огромное значение. Все здесь основано на сечении. Что, например, по Риману, отличает тор от сферы? То, что на сфере нельзя провести замкнутую кривую, не рассекая эту поверхность на две части, в то время как существуют замкнутые кривые, которые не рассекают тор на две части; на нем нужно провести два замкнутых сечения, не имеющих общей точки, чтобы быть уверенным в том, что тор разделен.
Остается рассмотреть еще один вопрос. Непрерывности, о которых мы только что говорили, — это математические непрерывности; каждая из их точек абсолютно отлична от других и к тому же абсолютно неделима. Непрерывности же, которые даются нам непосредственно нашими чувствами и которые я назвал бы физическими непрерывностями, совсем иного рода. Законом этих непрерывностей служит закон Фехнера, который я освобожу от украшающего его пышного математического наряда и сведу к простой формулировке лежащих в его основе экспериментальных данных. Взвешивая на руке, можно отличить вес в 10 граммов от веса в 12 граммов, но нельзя отличить вес в 11 граммов ни от веса в 10 граммов, ни от веса в 12 граммов. Возьмем более общий случай: могут быть две совокупности ощущений, которые мы отличаем друг от друга, но которые мы не можем отличить от некоторой третьей подобной же совокупности ощущений. В таком случае мы можем вообразить себе непрерывную цепь совокупностей ощущений такого рода, что каждая из них неотличима от следующей, хотя оба конца цепи легко отличимы. Это будет физическая непрерывность одного измерения. Мы можем также представить себе более сложные физические непрерывности. Элементами этих физических непрерывностей будут по-прежнему совокупности ощущений (но предпочитаю употреблять более простое слово «элемент»). Когда, в этом случае, вправе мы будем сказать, что система