Словом, остается объяснить, почему зрительное и осязательное пространства представляют собой одно и то же пространство.
По-видимому, нельзя построить пространство, рассматривая совокупности одновременных ощущений, и нужно рассмотреть последовательности ощущений. Необходимо вернуться к тому, что мною уже было сказано. Почему некоторые изменения представляются нам как изменения положения, в то время как другие изменения представляются изменениями состояния, не имеющими геометрического характера? Чтобы понять это, мы должны сначала различать изменения внешние, не произвольные и не сопровождаемые мускульными ощущениями, и внутренние изменения, которые являются движениями нашего тела и которые мы отличаем от других потому, что они произвольны и сопровождаются мускульными ощущениями. Внешнее изменение всегда может быть исправлено внутренним изменением, например, когда мы следим глазами за движущимся предметом и таким образом приводим всегда его изображение на одно и то же место сетчатки. Внешнее изменение, которое может быть исправлено подобным образом, представляет собой изменение положения; если оно недоступно такому исправлению, то это есть изменение состояния.
Два внешних изменения, которые с качественной точки зрения совершенно различны, считаются соответствующими одному и тому же изменению положения, если они могут быть исправлены одним и тем же внутренним изменением. Точно так же два внутренних изменения могут состоять из последовательных рядов совершенно различных мускульных ощущений и в то же время соответствовать одному и тому же изменению положения, если они могут исправить одно и то же внешнее изменение. Это то, что на нашем обычном языке мы выражаем словами: «из одной точки в другую можно прийти многими путями». Что в этом случае важно, так это те движения, которые необходимо произвести, чтобы достичь определенного объекта, причем сознание этих движений есть для нас не что иное, как совокупность сопутствующих им мускульных ощущений.
Теперь положим, что некоторый предмет касается одного из моих пальцев, например указательного пальца правой руки. Этот факт вызывает у меня осязательное ощущение T. Но в то же время я получаю от этого предмета и зрительное ощущение V. Предмет удаляется, ощущение Т исчезает, ощущение V заменяется новым зрительным ощущением V'. Это — внешнее изменение. Я хочу исправить отчасти это внешнее изменение, восстановив ощущение T, т. е. хочу привести мой указательный палец в соприкосновение с предметом. Для этого я должен выполнить определенные движения, которые выражаются для меня некоторой последовательностью мускульных ощущений S. Я это знаю, так как многочисленные опыты, произведенные частью мною самим, частью — моими предками, научили меня, что если ощущение T пропадает, а зрительное ощущение переходит из V в V', то можно восстановить ощущение Т движениями, соответствующими последовательному ряду S. Я знаю также, что мог бы получить тот же самый результат с помощью других движений, выражающихся для меня уже не последовательностью S, но другими последовательностями S' и S".
Все эти последовательные ряды мускульных ощущений S, S', S", … не имеют, может быть, ни одного общего элемента. Я сближаю их между собой потому, что и те и другие позволяют мне восстановить ощущение Т всякий раз, как ощущение V изменилось на V'. На нашем обычном языке, будучи знакомы с геометрией, мы скажем, что у различных последовательных рядов движений, соответствующих последовательным рядам мускульных ощущений S, S', S", общим будет то, что у всех у них начальное и конечное положения моего указательного пальца одинаковы. Во всем остальном могут быть различия.
Таким образом, я поневоле перестаю различать эти различные последовательности S, S', S", и начинаю рассматривать их как нечто одно. Точно таким же образом я перестаю различать последовательности мускульных ощущений, слишком мало от них отличающиеся. В таком случае у меня есть из чего строить физическую непрерывность. Действительно, я нашел элементы непрерывности, которые являются последовательностями мускульных ощущений, и я обладаю «основным соглашением», которое указывает мне, в каких случаях я должен считать два таких элемента тождественными. Именно эта непрерывность и обладает тремя измерениями.
Но это не все. Выше мы описали некоторую непрерывность, которая является настоящим пространством. Это — пространство, описанное одним из моих пальцев. Но у меня несколько пальцев (а с интересующей нас точки зрения любая точка моей кожи могла бы служить таким пальцем). Опишут ли мои различные пальцы одно и то же пространство? Конечно, да, но что, собственно, это значит? Это предполагает определенную совокупность свойств, которую было бы нелегко выразить на обычном языке, но я надеюсь ее объяснить, если мне позволят прибегнуть к некоторым символам. Я рассматриваю два пальца, которые я назову α и β. Пусть пальцем ее будет, например, указательный палец правой руки, которым мы воспользовались для определения последовательностей S, S', S", … Мы запишем это так:
S ≡ S' (mod α).
Это означает, что если движения, соответствующие S, восстанавливают осязательное ощущение пальца α, то то же самое действие окажут и движения, соответствующие S', и наоборот. Аналогичным образом я напишу:
S1 ≡ S'1 (mod β),
чтобы выразить этим, что если движения, соответствующие S1, восстанавливают осязательное ощущение пальца β, то то же самое произведут и движения, соответствующие S'1.
Теперь я предположу, что существуют две особенные последовательности мускульных ощущений s и s1 определяемые следующим образом: я предполагаю, что палец β испытывает осязательное ощущение от прикосновения к некоторому предмету; произведем движения, соответствующие s, это ощущение исчезнет, но в конце концов ощущение от прикосновения испытает палец α. Я знаю по опыту, что это будет иметь место всякий раз, когда перед тем, как произошли эти движения, палец β испытывал прикосновение, или по крайней мере почти всякий раз (я говорю «почти», ибо для удачи опыта необходимо, чтобы за время между двумя прикосновениями предмет не сдвинулся с места). На нашем обычном языке (который был бы понятнее для нас, но который я не смею употреблять, так как говорю о существах, не знающих еще геометрии) мы бы сказали, что движения, соответствующие s, привели палец α на место, занятое первоначально пальцем β. В случае s1, наоборот, соответствующие движения приводят палец β на место, первоначально занимаемое пальцем α. Если две эти последовательности s и s1 существуют, то соотношение
S ≡ S' (mod α).
будет иметь следствием соотношение
s + S + s1 ≡ s + S' + s1 (mod β).
В этом легко убедиться непосредственно, вспомнив смысл этих символов. Отсюда можно вывести без труда, что два пространства, образованные α и β, изоморфны и, в частности, они имеют одно и то же число измерений.
Дело обстояло бы иначе, если бы последовательности s и s1 не существовали. Действительно, допустим, что невозможно найти такую последовательность движений, при которой на смену ощущения прикосновения пальца β к некоторому предмету появлялось бы ощущение прикосновения пальца α к тому же предмету. Как бы мы стали рассуждать в этом случае? Мы сказали бы, что палец β ощущает предмет, не находясь с ним в одной и той же точке пространства, что он его ощущает на расстоянии. Если бы это было не так, то всякий раз, когда палец β ощущал бы предмет, последний должен был бы находиться в одной и той же с ним точке A пространства. В таком случае должна была бы существовать последовательность движений, приводящих палец α в точку А. И так как предмет находится в точке A, то палец α должен был бы ощущать предмет, и это должно было бы происходить всегда. Итак, предполагая, что нет последовательности движений, обладающей этим свойством, приходится допустить, что палец ощущает предмет на расстоянии, т. е. что ощущения, испытываемого этим пальцем, недостаточно для определения положения предмета в пространстве, т. е., наконец, что пространство должно обладать большим числом измерений, чем физическая непрерывность, полученная с помощью пальца β указанным нами способом.
Я предположу, например, что пространство имеет четыре измерения, и обозначу буквами x, y, z, t четыре координаты. Я предположу, что палец β ощущает прикосновение предмета всякий раз, когда три координаты x, y и z одни и те же для пальца и предмета, каково бы ни было значение четвертой координаты; с другой же стороны, я предположу, что палец α ощущает прикосновение предмета всякий раз, когда три координаты x, y, t одни и те же для предмета и для пальца, какова бы ни была при этом координата z. Воспользуемся теперь нашими правилами для построения физической непрерывности, образованной с помощью β. Так как координата t не играет никакой роли, то мы найдем у этой непрерывности лишь три измерения, соответствующие трем координатам x, y, z. Точно так же физическая непрерывность, полученная с помощью α, будет иметь три измерения, соответствующие координатам x, y и t. Но мы не сможем найти такой последовательности движений, соответствующей последовательности мускульных ощущений s, которая бы заменяла ощущение прикосновении α ощущением прикосновения β.
Действительно, пусть x1, y1, z1, t1 будут координаты предмета, x0, y0, z0, t0 — координаты пальца β до движения,