k-го порядка будет a fortiori целым k–1-го порядка. Таким образом, мы приходим к определению ряда все более и более ограниченных классов целых 1-го, 2-го, … n-го порядков, каждый из которых содержится в предыдущем. Я назову целым порядка ω всякое число, принадлежащее сразу всем этим классам; и это определение целого порядка со будет иметь смысл и может быть рассматриваемо как равнозначное первоначально предложенному определению целого числа, не имевшему смысла. Не в этом ли заключается правильное применение аксиомы сводимости, как ее понимает Рассел? Я предлагаю этот пример очень неуверенно.
Примем его пока что и вернемся к теореме относительно суммы целых. Мы выяснили, что сумма двух целых k-го порядка есть целое k–1-го порядка, и мы хотим вывести из этого, что если x и n — два целых порядка со, то сумма n + х также целое порядка ω. Фактически для этого достаточно доказать, что оно будет целым порядка k, как бы велико ни было это k. Но если n и x — целые порядка со, они a fortiori (тем более) будут целыми порядка k+1; итак, вследствие уже доказанной теоремы n + x будет целым порядка k, что и требовалось доказать.
Не таким ли образом можно пользоваться аксиомой Рассела? Я чувствую, что это не совсем то и что Рассел придал бы рассуждению совершенно иную форму, но суть осталась бы прежней. Я не хочу разбирать здесь законность этого способа доказательства; ограничусь пока следующими замечаниями. Мы ввели, кроме понятия объектов порядка n, объекты порядка со и думается, что нам удалось определить это новое понятие в отношении целых чисел. Но это удается не всегда; например, это вовсе не получится для примера Эпименида. Успех обеспечивало следующее обстоятельство. Изученная классификация не была предикативной, и прибавление новых элементов заставляло изменять классификацию элементов, уже введенных и классифицированных. Однако это изменение могло происходить только в одном направлении: могло оказаться необходимым переносить объекты из класса A в класс B (именно из класса целых в класс нецелых), но никогда из класса B в класс А. Для определения порядка ω необходимо новое соглашение в тех случаях, когда изменение должно происходить как в одном направлении, так и в другом. Далее, определение целых порядка со не то же самое, что и определение целых порядка ω, где k конечное. Целые порядка k определяют посредством рекуррентности, выводя понятие целого порядка k из понятия целого порядка k–1. Целые порядка со определяют переходом к пределу, вводя зависимость этого нового понятия от бесконечного числа предыдущих понятий целых всех конечных порядков. Два определения могли бы быть непонятными для того, кто не знает еще, что такое конечное число; эти определения предполагают различие между конечными и бесконечными числами. Следовательно, нельзя надеяться основать на них это различие.
Совершенно в другом направлении ищет Цермело разрешения тех затруднений, которые мы отметили. Он пытается установить систему аксиом a priori, которые позволили бы ему выяснить все истины математики без противоречий. Можно по-разному понимать роль аксиом; их можно рассматривать как произвольные предписания, которые являются не чем иным, как скрытыми определениями основных положений. Таким способом Гильберт в своей геометрии вводит вначале «предметы», которые он называет точками, прямыми, плоскостями, и, забывая или делая вид, что забывает на один момент житейский смысл этих слов, он устанавливает между этими предметами различные зависимости, которые их определяют. Чтобы это было законно, необходимо доказать, что аксиомы, введенные таким образом, не противоречат друг другу, и Гильберт вполне преуспел в том, что касается геометрии, так как он предполагал анализ уже созданным и мог пользоваться им в этом доказательстве. Цермело не доказал, что его аксиомы свободны от противоречий, и не мог этого сделать, так как для этого ему было бы необходимо опираться на другие истины, уже установленные. Но при наличии уже установленных истин, при уже образованной науке он предполагает, что их еще нет; он начинает с чистой доски и хочет, чтобы его аксиомы полностью удовлетворялись друг другом.
Но нельзя произвольно снабжать смыслом постулаты; необходимо, чтобы они были очевидны сами по себе. Поэтому нам не нужно доказывать эту очевидность, так как она недоказуема, но нужно стараться проникнуть в тот психологический механизм, который вызвал это ощущение очевидности. Здесь-то и возникает затруднение: Цермело принимает ряд аксиом и отбрасывает другие, которые на первый взгляд могут казаться столь же очевидными, как и те, которые он сохраняет. Если бы он сохранил их все, то он впал бы в противоречия, следовательно, ему необходимо было сделать выбор; но можно спросить, каковы основания его выбора, и это-то требует некоторого внимания.
Он начинает с того, что отбрасывает определение Кантора: множество есть собрание каких-либо различных объектов, образующих нечто целое. Я, конечно, не имею права говорить о множестве всех объектов, удовлетворяющих тем или иным условиям. Эти объекты не образуют множества, Menge, но вместо отбрасываемого определения необходимо принять какое-нибудь другое. Цермело ограничивается словами: рассмотрим область (Bereich) каких-либо объектов; может случиться, что между двумя из этих объектов x и y существует зависимость вида x ∈ y; мы скажем в таком случае, что x есть элемент y и что y есть множество, Menge.
Очевидно, что это не является определением; кто-либо, не знающий, что такое Menge, не узнает ничего, если ему скажут, что оно изображается символом ∈, так как он не знает, что такое ∈. Это могло бы еще сойти, если бы этот символ ∈ в будущем определялся самими аксиомами, рассматриваемыми как произвольные предписания. Но мы только что видели, что эта точка зрения недопустима. Необходимо, чтобы мы знали заранее, что такое Menge, чтобы имели его интуицию, и именно эта интуиция позволит нам понять, что такое ∈, которое без этого будет только лишенным смысла символом, относительно которого нельзя будет утверждать никаких очевидных самих по себе свойств. Но чем же может быть эта интуиция, как не тем определением Кантора, которое мы презрительно отбросили? Оставим это затруднение, которое мы попытаемся осветить несколько дальше, и перечислим аксиомы, принятые Цермело; их семь:
1. Два Menge, имеющие одни и те же элементы, тождественны.
2. Существует одно Menge, не содержащее ни одного элемента, — это Nullmenge; если существует один объект a, то существует Menge(a), единственным элементом которого является этот объект; если существуют два объекта a и b, то существует Menge(a, b), единственными элементами которого являются эти объекты.
3. Множество всех элементов какого-либо Menge M, удовлетворяющих условию x, образуют подмножество Untermenge М.
4. Каждому Menge T соответствует другое Menge UT, образованное из всех Untermengen Т.
5. Рассмотрим Menge T, все элементы которого сами являются Mengen; существует Menge ST, элементы которого являются элементами элементов Т. Если, например, Т имеет три элемента A, B, C, которые сами являются Mengen, и если A имеет два элемента a и a', B — два элемента b и b', C — два элемента c и c', то ST будет иметь шесть элементов a, b, c, a', b', c'.
6. Если имеется Menge T, все элементы которого сами является Mengen, то можно выбрать в каждом из этих элементарных Mengen по элементу, и множество выбранных таким образом элементов образует Untermenge ST.
7. Существует по крайней мере одно бесконечное Menge.
Прежде чем разбирать эти аксиомы, я должен ответить на один вопрос: почему в их формулировке я сохранил немецкое слово Menge вместо того» чтобы перевести его по-французски словом ensemble (множество)? Потому что я не уверен в том, что слово Menge сохраняет свой интуитивный смысл, без которого было бы затруднительно отбросить определение Кантора; французское же слово ensemble внушает этот интуитивный смысл чересчур навязчиво, чтобы его можно было употреблять без помехи и в том случае, когда смысл изменялся.
На седьмой аксиоме я остановлюсь лишь немного; при этом я должен сказать несколько слов, чтобы отметить весьма оригинальный способ, которым Цермело ее высказывает. Он в действительности не удовлетворился данной мною формулировкой и говорит: существует Menge M, которое не может содержать элемента a, не включая в себя в то же время в качестве элемента Menge(a), т. е. такое, единственным элементом которого является a. И тогда, если M содержит элемент a, то оно будет содержать еще и ряд других элементов, а именно: Menge, единственным элементом которого является a, Menge, единственным элементом которого является Menge, единственным элементом которого является a, и т. д. Достаточно хорошо видно, что число этих элементов должно быть бесконечным. На первый взгляд, этот обходной путь кажется очень странным и очень искусственным; так оно в действительности и есть. Но Цермело хотел избежать слова «бесконечный», так как он рассматривает свои аксиомы как предшествующие отличению конечного от бесконечного.
Перейдем к шести первым аксиомам. Их можно рассматривать как очевидные, если только слову Menge будет дан его интуитивный смысл и если при этом будут рассматриваться предметы только в конечном числе. Но они являются таковыми не больше чем следующая аксиома, откровенно отброшенная автором:
8. Какие бы то ни было объекты образуют Menge.
В таком случае нам приходится задать вопрос: почему очевидность 8-й аксиомы исчезает, как только дело касается бесконечных совокупностей, в то время как очевидность шести первых имеет место?