е определения через постулат, но постулатом здесь является некоторое отношение между определяемым объектом и всеми индивидуумами класса, к которому по предположению принадлежит определяемый объект (или же к которому по предположению принадлежат объекты, которые сами могут быть определены через определяемый объект). Это происходит, когда мы устанавливаем следующие два постулата:
X (определяемый объект) так-то связан со всеми индивидуумами рода G,
X входит в состав рода G.
Или же следующие три постулата:
X так-то связан со всеми индивидуумами рода G,
Y так-то связан с X,
Y входит в состав G.
С точки зрения прагматистов подобное определение вовлекает в порочный круг. Нельзя определить X, не зная всех индивидуумов рода G и, следовательно, не зная X, которое является одним из этих индивидуумов. Канторианцы смотрят иначе: род G нам дан, следовательно, мы знаем все индивидуумы; определение имеет целью только выделить из этих индивидуумов тот, который находится со всеми своими товарищами в указанной зависимости. Нет, отвечают их противники, знание вида и рода не дает вам знания всех его индивидуумов, оно дает вам только возможность построить их все или — лучше — построить их столько, сколько вы пожелаете. Они будут существовать не ранее, чем вы их построите, т. е. после того, как они будут определены; X существует только после определения, которое имеет смысл только после того, как мы наперед знаем все индивидуумы G и, в частности, X. Не имеет никакого значения, прибавляют они, утверждение, что определять X через его зависимость с X не будет порочным кругом и что эта зависимость в итоге не является постулатом, который может служить для определения Х; необходимо предварительно доказать, что этот постулат не содержит в себе противоречия, но этого обыкновенно не делают в определениях такого рода. Прежде всего доказывают, что, каков бы ни был род G, все индивидуумы которого предполагаются известными, существует сущность X, которая связана с видом рассматриваемой зависимостью, т. е. что существование этой сущности не влечет за собой противоречия. Остается показать, что нет противоречий между существованием этой сущности и гипотезой, что эта сущность сама входит в состав рода.
Спор мог бы длиться долго, но вопрос, который я хочу выяснить, заключается в том, что если бы этот род определений был принят, логика уже не была бы бесплодной, и доказательством этого служит то, что было построено много рассуждений с целью доказать предложения, которые вовсе не были тавтологиями уже потому, что есть люди, которые задаются вопросом, не ложны ли они. И вот тогда удивляешься силе, которую может иметь одно слово.
Вот объект, о котором ничего нельзя было сказать, пока он не был окрещен; достаточно было дать ему имя, чтобы произошло чудо. Каким образом это происходит? Это происходит потому, что, давая ему имя, мы тем самым неявно утверждаем, что объект существует (т. е. свободен от всех противоречий) и что он полностью определен. Но это нам ничего не даст из того, что требуют прагматисты. Каков же механизм, делающий доказательство плодотворным? Очень простой: отвергают доказываемое предложение и показывают, что в таком случае получается противоречие с существованием объекта Х; но это правильно только в том случае, когда уверены в его существовании и, с другой стороны, когда знают, что объект полностью определен. Действительно, если X вывести из рода G по определению и если затем дополнить род G, прибавляя к нему объект X и другие индивидуумы того же рода, которые могут быть из него произведены, если назвать G', дополненный таким способом род и назвать X' то, что получится из G' по определению тем же способом, каким X выводится из G, то необходимо, чтобы была уверенность в тождественности X' с X. Если бы это было не так, то, отвергнув доказываемое предложение, пришли бы к двум противоречащим формулировкам:
φ1(Х) = 0, φ2(Х) = 0.
Каким образом можно убедиться, что как в одной, так и в другой X совершенно одно и то же? Если бы в одном выражении фигурировало X, а в другом X', то оба утверждения записались бы в виде
φ1(Х) = 0, φ2(Х') = 0.
и не были бы противоречащими друг другу.
Почему же прагматисты делают такое возражение? Потому, что род G представляется только как совокупность, которая может бесконечно увеличиваться по мере того, как будут строиться новые индивидуумы, обладающие необходимыми свойствами. Таким образом, никогда нельзя считать, что G ne varietur (неизменно), как это делают канторианцы, и никогда нельзя быть уверенным в том, что путем новых прибавлений оно не превратится в G'.
Я старался объяснить, как только мог, ясно и беспристрастно, в чем заключается расхождение между двумя школами математиков, и мне кажется, что мы уже замечаем действительную причину. Ученые этих двух школ имеют противоположное направление мыслей: те, которых я назвал прагматистами, — идеалисты, канторианцы же — реалисты.
Одно обстоятельство укрепит нас в нашей точке зрения. Мы видим, что канторианцы (да простят мне это удобное название, хотя я и хочу говорить здесь не о математиках, следующих взглядам Кантора, может быть, даже не о философах, ссылающихся на него, но только о тех, кто независимо от него имеет те же тенденции), что канторианцы, говорю я, постоянно говорят об эпистемологии[95], т. е. об учении о науках, и хорошо известно, что эта эпистемология совершенно независима от психологии, т. е. что она учит нас, чем бы была наука, если бы не было ученых. Мы должны изучать эту науку, конечно, не предполагая, что ученых нет, но по крайней мере не предполагая, что они есть. Таким образом, не только природа есть реальность, независимая от физика, который стремится ее изучить, но и сама физика есть реальность, которая существовала бы и тогда, когда не было бы физика. В этом ведь и заключается реализм.
Почему прагматисты отказываются признавать объекты, которые нельзя определить конечным числом слов? Потому что они считают, что объект существует, только когда о нем подумали, и что нельзя сознавать мыслимый объект независимо от мыслящего. А в этом-то и заключается идеализм. И так как мыслящим является человек или что-либо похожее на человека, следовательно, существо конечное, то бесконечность и не может иметь другого смысла, кроме возможности создать столько конечных предметов, сколько нам угодно.
В этом случае можно сделать довольно любопытное замечание. Реалисты обычно встают на физическую точку зрения: независимое существование они приписывают материальным объектам или индивидуальным душам, или тому, что они называют субстанциями. Мир для них существовал до сотворения человека и даже ранее всех живых существ и существовал бы и в том случае, если бы не было ни бога и никакой другой мыслящей сущности. Это точка зрения здравого смысла, и только размышление может заставить отказаться от нее. Сторонники физического реализма — обычно финитисты; в вопросе о канторовских антиномиях они принимают тезы, они считают, что мир ограничен. Таков, например, взгляд Эвеллина. Напротив, идеалисты не имеют таких предрассудков и близки к тому, чтобы подписаться под антитезами.
Но канторианцы — реалисты именно в том, что относится к сущностям математики; эти сущности кажутся им имеющими независимое существование; геометр их не создает, он их открывает. Эти объекты, так сказать, существуют, не существуя, так как они сводятся к чистым отвлечениям; но поскольку по природе своей эти объекты бесконечны числом, то сторонники математического реализма — гораздо более инфинитисты, чем идеалисты; их бесконечность не есть будущее, так как она предшествует в своем существовании открывшему ее уму; принимают ли они ее или отрицают, они должны верить в действительную бесконечность.
Мы узнаем в этом теорию идей Платона. Может показаться странным видеть Платона среди реалистов, однако пока нет ничего более противоположного современному идеализму, чем платонизм, хотя эта доктрина в то же время очень далека от физического реализма.
Я никогда не знал математика, большего реалиста в платоновском смысле, чем Эрмит, и, однако, я должен признаться, что я не встречал человека, более непокорного учению Кантора. В этом есть кажущееся противоречие, тем более, что он часто повторял: я антиканторианец, потому что я реалист. Он упрекал Кантора за то, что тот создавал объекты вместо того, чтобы удовлетворяться тем, чтобы их открывать. Без сомнения, вследствие своих религиозных убеждений, он считал грешным желание в полной мере проникнуть в область, объять которую может один бог, и не дожидаться, пока он сам откроет нам эти тайны поодиночке. Он сравнивал математические науки с естественными науками. Натуралист, который попытался бы отгадать секрет бога, вместо того, чтобы обратиться к опыту, казался ему не только самонадеянным, но и не почтительным к божественному величию. Канторианты, казалось ему, стремятся действовать именно так в математике. Поэтому-то он, реалист в теории, был идеалистом на практике. Существует познаваемая реальность, она вне нас и не зависит от нас; но все то, что мы можем о ней знать, зависит от нас — это не что иное, как будущее, некоторого рода наслаивание последовательных побед. Остаток реален, но вечно непознаваем.
Однако случай Эрмита особый, и я о нем не буду больше говорить. Во все времена в философии были противоположные течения, и не видно, чтобы эти течения стремились примириться. Без сомнения, существуют различные души, и мы ничего не можем в них изменить. Нет никакой надежды увидеть установившееся согласие между прагматистами и канторианцами. Люди не понимают друг друга потому, что они не говорят на одном и том же языке, и потому, что есть языки, которые не могут быть изучены.