И тогда пришли к выводу, что сначала нужно объяснить детям действительно общую природу числа, а уже потом показывать два частных случая его применения.
Но само собой ясно, что ребенку не сообщишь «понятия» числа, очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», от связи с каким-нибудь одним частным случаем. Поэтому надо искать и найти такой частный (а потому чувственно-предметный) случай, где число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде. Нужно искать такое частное, которое выражало бы прежде всего именно общую природу числа, а не подсовывало бы опять лишь и только частное ее проявление.
Пытаясь решить эту задачу – отчасти психологическую, отчасти логическую и математическую, психологи поняли, что неправильно вообще начинать обучение детей математике с числа, то есть с операции счета, сосчитывания, безразлично – единичных вещей или их составных частей[9].[203] Есть все основания полагать, что действия с числами, составляющие традиционную арифметику, – далеко не самые простые, а арифметика вовсе не составляет самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким этажом оказываются некоторые понятия, обычно относимые к алгебре.
Опять парадокс. Ведь по традиции считается издавна, что алгебра – вещь более сложная, чем арифметика, посильная лишь шестикласснику и в «истории математики» оформившаяся позже. Анализ, однако, показывает, что и в истории знания алгебра необходимо должна была возникнуть не позже арифметики. Конечно, речь идет о действительной истории математического развития людей, а не об истории математических трактатов, которая отражала подлинную историю лишь «задним числом», а потому – вверх ногами.
Как показывают исследования, простейшие количественные соотношения, которые описывает алгебра, и в истории были осознаны раньше, чем человек вообще изобрел число и счет. В самом деле, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, деление и умножение чисел, они по необходимости должны были пользоваться такими словами, как «больше», «меньше», «дальше», «ближе», «потом», «раньше», «равно», «неравно» и т.п. Именно в них нашли свое выражение общие количественные (пространственно-временные) соотношения между вещами, явлениями, событиями.
Но в специально математических трактатах самая ранняя стадия математического развития мышления, естественно, зафиксирована не была. И если реальная история развития математического мышления[204] началась раньше, чем появились первые теоретические трактаты по математике, то и логическая последовательность преподавания математики (=развития математической способности) должна начинать с действительного «начала». С правильной ориентировки человека в количественном плане реальной действительности, а не с числа, которое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества, лишь частный случай количества.
Поэтому надо начинать с действий, выделяющих для человека этот количественный план рассмотрения окружающего мира, чтобы потом прийти к числу как к развитой форме выражения количества, как к более позднему и сложному умственному отвлечению.
Принцип совпадения логического с историческим – великий принцип диалектической логики. Но его проведение предполагает одну опять-таки диалектически-коварную деталь. А именно: логическое должно соответствовать действительной истории предмета, а не истории теоретических представлений о его развитии.
Анализируя историю политической экономии, Карл Маркс отметил важнейшее (с точки зрения диалектики) обстоятельство: «...Историческое развитие всех наук приводит к их действительным исходным пунктам лишь через множество перекрещивающихся и окольных путей. В отличие от других архитекторов, наука не только рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем заложить его фундамент». Да, действительный логический фундамент, на котором держатся верхние[205] этажи, наука «открывает» в своем предмете лишь задним числом.
И фундамент всегда предполагался верхними этажами, но не был ясно понят, показан и проанализирован. Он предполагался в смутном, неотчетливо сформулированном виде, часто в качестве «мистических» представлений. Так случилось, например, и с дифференциальным исчислением. Ньютон и Лейбниц это исчисление «открыли», научили людей им пользоваться, но сами не могли понять, почему, на каких реальных основаниях держится вся его сложная конструкция, какие более «простые» понятия и действия она реально предполагает. Последнее было установлено лишь позже – Лагранжем, Эйлером и другими теоретиками.
Число и счет в действительности предполагали и предполагают в качестве своих реальных предпосылок ряд представлений, до понимания коих математика (как и все науки) докопалась лишь задним числом. Здесь идет речь как раз об общих предпосылках и того и другого. О тех понятиях, которые должны быть развиты (и усвоены) раньше, чем число и счет. Потому, что они имеют более общий характер, и потому логически более просты.
Если же говорить о тех математических знаках, с помощью которых фиксируются наиболее общие и простые понятия, то они вовсе не цифры, а скорее те знаки, которые давно использует алгебра: буквы, знаки равенства, неравенства, «больше», «меньше». И все они обозначают отношения величин (неважно каких, в частности), выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных. Отношения величин вообще. Само собой понятно, что представление о величине и в истории мышления появилось у людей раньше, чем[206] умение точно измерять величины тем или иным способом и выражать их числом. А уж затем, когда обнаружилось, что умения просто сравнивать величины недостаточно, чтобы действовать в мире на их основе, возник вопрос, а на сколько именно больше (меньше). И только здесь, собственно, возникла и потребность в числе и счете, и сами число и счет.
По той причине, что без них, более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже нельзя было бы решить сложных и конкретных предметно-практических задач, связанных с отражением количественной определенности окружающего мира.
Человек изобрел число вовсе не путем абстрагирования от всех и всяких качеств, не благодаря тому, что научился «не обращать внимание» на разницу камня и мяса, палки и огня. Как раз наоборот, в числе и счете он нашел средство более глубокого и конкретного выражения именно качественной (самой важной и первой) определенности. Число «понадобилось» человеку там и только там, где жизнь поставила его перед необходимостью сказать другому человеку (или самому себе) – не просто больше (меньше), а насколько больше (меньше).
Число предполагает меру, как более сложную, чем качество и количество, категорию, которая позволяет отражать количественную сторону выделенного качества точнее (конкретнее), чем прежде. И точно фиксировать более конкретное представление с помощью цифр, а не просто словечек «больше», «меньше», «равно», «неравно». От общего диффузно-нерасчлененного представления о количестве человек шел к более совершенному, точному, то есть конкретному представлению о том же количестве, – к числу. И пришел.
И поэтому число для него имело с самого начала[207] вполне конкретный, то есть предметно-практический, смысл и значение; было действительным понятием числа, хотя еще и не проанализированным теоретически ни одним профессионалом-математиком. Это случилось гораздо позже, тогда, когда началось уже не только математическое мышление, а и его теоретическое самосознание. Вначале превратно-мистическое, как у пифагорейцев. А до подлинного теоретического понимания числа математика добралась лишь тысячелетия спустя.
Вот с подлинного начала и в подлинной исторической последовательности, которую математика как наука открыла лишь задним числом, и следует, по-видимому, начинать логическое развитие ума ребенка в области математики. С того, что сначала нужно научить его ориентироваться самым общим и абстрактным образом в плане количества и овладеть самыми общими и абстрактными отношениями вещей как «величин». И записывать их на бумаге с помощью знаков «больше», «меньше», «равно», «неравно».
Но ориентироваться в плане количества ребенок обучается вовсе не путем «абстрактных рассуждений», а на самых что ни на есть реальных и понятных ему ситуациях. На «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т.д. Для ребенка такое занятие – понятно и интересно.
Для ума ребенка это хорошая тренировка умения самостоятельно выделять количественно-математический аспект реальных вещей окружающего его многокачественного мира. А не попугайски повторять слово «один», когда ему в нос суют единичную чувственно воспринимаемую вещь, или слово «два», когда ему суют в нос две таких вещи.
И тогда ребенок уже не ответит бездумно на[208] абстрактно-провокационный вопрос «сколько?», когда ему покажут одну чувственно воспринимаемую вещь, словом «одна». Он предварительно осведомится: «А чего сколько?» И такой вопрос – показатель того, что в данном случае ребенок мыслит конкретно.
Если ему отвечают на его законный вопрос: «Я спрашиваю, сколько здесь вещей», – он уверенно и точно ответит: «Одна». Если же уточнят: «Сколько сантиметров?» – он ответит: «Два», «Примерно два» – или же скажет: «Нужно измерить». Он понимает, что выражение через число (цифру) предполагает измерение, меру...
Здесь воспитано разом два важных признака ума. Во-первых, умение правильно относиться к вопросу («сколько?») и умение самому задавать вопрос, уточняющий задачу настолько конкретно, чтобы стал возможен точный и однозначный ответ («сколько чего?»). И, во-вторых, умение правильно соотносить числовой знак с реальностью в ее математическом аспекте.
Здесь ум ребенка идет не от наглядных частностей к абстрактно-общему (совершенно неестественный и бесплодный в науке путь), а от действительно всеобщего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию частностей (то есть к конкретному). Ибо так развивается и сама наука, усваивающая в свете исходных принципов все новые и новые «частности». А не наоборот, не уходящая от «частностей» в заоблачные выси тощих абстракций... Здесь мышление движется все время в чувственно-предметном (а потому и в «наглядном») материале, движется по фактам, ни на миг не обрывая связи