Мы все же попробуем обрисовать некоторые характерные особенности интуиции. Для иллюстрации воспользуемся любопытной геометрической теоремой, анализ которой прямо сталкивает с действием интуиции или силы воображения, повинующейся тому оригинальному ощущению, которое называется ощущением красоты… Оригинальность этой теоремы, занимавшей в свое время ум Декарта, заключается в том, что чисто формальные доказательства оказываются здесь абсолютно бессильными, если они лишаются опоры на интуитивное соображение, имеющее ярко выраженный эстетический характер, на соображение', вернее, на довод непосредственного чувства, который сам по себе опять-таки никакому формально логическому доказательству не поддается и тем не менее лежит в основе исследований такого строгого математика, каким был, например, Кеплер.
Речь идет о так называемой «изопериметрической теореме». Суть теоремы, сформулированная Декартом, состоит в следующем. Сравнивая круг с другими геометрическими фигурами, равными ему по площади, мы убеждаемся, что он имеет наименьший периметр. Декарт составил соответствующую таблицу, которая выглядит так: Периметры фигур равной площади:
Круг — 3,55
Квадрат — 4,00
Полукруг — 4,10
Равносторонний треугольник — 4,56 и т. д.
Не будем продолжать таблицу Декарта, где приведены десять фигур.
Далее представим слово автору книги «Математика и правдоподобные рассуждения». «Можем ли мы отсюда посредством индукции вывести, как, по-видимому, предлагает Декарт, что круг имеет наименьший периметр не только среди десяти перечисленных фигур, но и среди всех возможных фигур? Никоим образом», — говорит Пойа. Обобщение, полученное из десяти случаев, никогда не дает гарантии в том, что в одиннадцатом случае будет то же самое. Мы имеем дело все с той же проблемой всеобщности и необходимости вывода, базирующегося на ограниченном числе фактов. Кант, как известно, «решил» ее, заключив, что ни одно понятие, выражающее «общее» в фактически наблюдаемых явлениях, не может претендовать на всеобщность и необходимость и всегда находится под угрозой той судьбы, которая постигла знаменитое суждение «все лебеди — белы».
Тем не менее, продолжает Пойа, Декарт, как и мы, рассматривающие изопериметрическую теорему, был почему-то убежден, что круг есть фигура с наименьшим отношением периметра к площади не только по сравнению с десятью перечисленными, но и по сравнению «со всеми возможными» фигурами.
В самом деле, наше убеждение настолько сильно, что мы не нуждаемся в продолжении ряда, в дальнейших сравнениях.
В чем тут дело? В чем отличие от другой сходной ситуации, например от такой: пойдем в лес, выберем наугад десять деревьев разных пород, измерим удельный вес древесины каждого из них и выберем дерево с наименьшим удельным весом. Иными словами, мы сделали то же самое, что и с геометрическими фигурами… Разумно ли отсюда заключать, что мы нашли дерево, удельный вес которого меньше удельного веса всех существующих и возможных деревьев, а не только тех, которые мы измерили и взвесили?
«Верить этому было бы не только не разумно, но глупо. В чем же отличие от случая круга? Мы расположены в пользу круга. Круг — наиболее совершенная фигура; мы охотно верим, что вместе с другими своими совершенствами круг для данной площади имеет наименьший периметр. Индуктивный аргумент, высказанный Декартом, кажется таким убедительным потому, что он подтверждает предположение, правдоподобное с самого начала».
Вот все, что может сказать в обоснование правильности изопериметрической теоремы строгий математик. Если он хочет сказать что-то большее, он вынужден обратиться за помощью к эстетическим категориям. И Пойа приводит ряд высказываний, в том числе Данте, который (вслед за Платоном) называл круг «совершеннейшей», «прекраснейшей» и «благороднейшей» фигурой…
Факт есть факт. Теорема держится как на «тайном» фундаменте на доводе чувства эстетического характера, чувства «красоты», «совершенства», «благородства» и пр. Лишенная подобного фундамента, теорема разваливается. Интуиция, то есть довод эстетически развитого воображения, здесь включается в строгий ход математического формализма, даже задает ему содержание.
Дальше — больше. Теорема убедительна даже для человека, который и не тренировал свое восприятие созерцанием геометрических фигур. Если ту же теорему сформулировать не на плоскости, а в пространстве, то мы будем иметь дело с шаром, который, по тому же Платону, еще «прекраснее», еще «благороднее», чем круг…
«В пользу шара мы расположены, пожалуй, даже больше, чем в пользу круга, — пишет Пойа. — В самом деле, кажется, что сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны».
Не потому ли шар кажется нам «прекрасной фигурой», что он — тот естественный предел, к которому «расположены» — а почему, — неизвестно — не только мы, а и сама природа? Не потому ли, что он — нечто вроде цели (или идеала), к которой тяготеют другие природные формы? Тогда что это за цель? Опять неясно. Ясно одно: все попытки определить цель или причину, по которой сама природа «расположена» к форме шара, должны потерпеть неудачу. И не только потому, что природе вообще нелепо приписывать цели, «расположение» и тому подобные категории, взятые из сугубо человеческого обихода, не только потому, что антропоморфизм вообще плохой принцип объяснения природы. Даже если на секунду допустить наличие цели, попытки объяснения все равно остаются неудачными. Искусственно наложив категорию цели на такого рода факты, мы сразу же убедимся, что цели тут не только разные, но и прямо противоположные.
Шар оказывается формой, которая почему-то «выгодна» для самых разнообразных, ничего общего не имеющих между собой целей. Одно дело — мыльный пузырь, а другое — кот, который, как шутит Пойа, тоже может научить нас изопериметрической теореме… «Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность… По-видимому, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».
У кота, как у живого существа, еще можно с грехом пополам допустить «желание» и «действие по цели». Но если мы (по примеру Канта) гипотетически допустим, что понятие цели применимо и к дождевой капле и к Солнцу, то сразу же убедимся, что невозможно понять и выразить в понятии ту цель, которую одинаково преследует и кот, и дождевая капля, и мыльный пузырь… Мы не найдем между их целями ровно ничего общего. Иными словами, предположив здесь наличие цели, мы придем к кантовскому определению красоты как целесообразности, но целесообразности, не охватываемой понятием и не дающей никакого понятия о себе; целесообразности, которая может осознаваться лишь эстетически, интуитивно, но никак не рационально… Мы «чувствуем» наличие цели, наше восприятие свидетельствует о «целесообразности», но все рациональные доводы говорят за то, что никакой цели мы допустить не имеем права.
Так и остается описанная теорема загадкой, в наши дни такой же, по-видимому, темной, как и во времена Кеплера и Декарта. И для односторонне-математического (формального) подхода она останется темной навсегда. Ибо связана ее тайна уже не с математическим анализом, а с той действительностью, которую исследует эстетика.
Математик может из ее анализа сделать только тот вывод, который и делает Д. Пойа: «Изопериметрическая теорема, глубоко коренящаяся в нашем опыте и интуиции, которую так легко предположить, но не так легко доказать, является неисчерпаемым источником вдохновения».
Как же быть? Поддается ли эта тайна объяснению в материалистической эстетике? Можно ли материалистически объяснить интуицию, действие воображения, связанное с ощущением красоты? Или факты, с ее действием связанные, навсегда останутся лакомым кусочком для иррационализма и мистики в эстетике?
Как все другие проблемы и трудности, связанные с духовной жизнью человека, наша проблема решается лишь на той почве, которую вспахал Маркс. На почве понимания предметно-человеческого отношения к природе как предметной деятельности, природу изменяющей, преобразующей и преображающей.
Преображение мира в фантазии, то есть действие, воображения, связанное с ощущением красоты, есть способность, рождающаяся на основе реального, предметно-практического преображения мира и одновременно обеспечивающая такое преображение. В предметно-практической деятельности общественного человека, изменяющего и природу и самого себя, как раз и заключается тайна рождения фантазии, интуиции, воображения.
Воображение, развитое на продуктах человеческой деятельности и ими организованное, как раз и связывает в себе ощущение целесообразности с красотой, делает его субъективным критерием правильности своих действий даже в том случае, если они направлены на природу, еще не обработанную трудом человека, на природу, не заключающую в себе, следовательно, никаких целей. Интуиция (то есть действие культурно развитого, свободного воображения) действительно схватывает любой предмет (в том числе природный) «под формой целесообразности».
Такой оборот специфически человеческой категории (цели) на природу есть, конечно, антропоморфизм. В науке подобный прием запрещен: категории, выражающие специфику человеческого существа, нелепо переносить на природу вне человека, нелепо приписывать ей.
Однако дело обстоит хитрее, чем может показаться на первый взгляд. Прежде всего, определения природы самой по себе наука вырабатывает не на основе пассивного созерцания явлений природы, а только на почве и на основе активного изменения природы, на основе практики общественного человека. Формы мышления и формы созерцания (то есть формы работы воображения) возникают лишь на основе «оч