То же самое можно доказать и для степеней этого числа, хотя по мере движения по натуральному ряду степени 3018 встречаются всё реже.
Признание этих занятных фактов привело к выводу, что бесконечное множество (допустим, натуральный ряд чисел) таково, что может быть разбито на другие бесконечные множества. (Точнее, чтобы избежать двусмысленности: бесконечное множество таково, что может быть равно своему подмножеству.) При колоссально больших количественных масштабах часть может не уступать по обильности целому: точное количество точек во Вселенной точно такое же, как и количество точек в одном её метре, дециметре или в траектории падающей звезды. Множество натуральных чисел упорядоченное, то есть числа следуют в нём одно за другим: 28 предшествует 29 и следует за 27. Точки пространства (или мгновения времени) не могут быть упорядочены подобным образом: ни одно число не имеет предшествующего и последующего числа. Это всё равно что пытаться последовательно расположить дроби. Какое число последует за 1/2? Разумеется, не 51/100, так как 101/200 к нему ближе. Но и не 101/200, так как 201/400 ещё ближе. Но и не 201/400 и т. д. По Кантору, то же самое касается и точек. Между двумя точками всегда можно вставить ещё точки, бесконечное их количество. Понятно, что мы не должны задумываться над необходимостью уменьшения размеров точек, так как каждая точка уже есть крайняя степень бесконечного деления.
Противоречие между столь милыми играми Кантора и Заратустры не в пользу последнего. Если Вселенная состоит из бесконечного числа слагаемых, она, безусловно, способна на бесконечное количество комбинаций, а посему необходимость возвращения опровергается. Остаётся только его вероятность, причём вероятность, равная нулю.
Почтение к математике, особенно у людей гуманитарного склада ума, общеизвестно. Если в отношении прочих наук скептические настроения вовсе не редкость, математика почитается за науку безгрешную. Что, разумеется, вовсе не так 23. Особенно в областях фундаментальных, чисто теоретических, куда относятся прежде всего «исследования бесконечности» и в первую очередь – теория множеств.
Заметим, что практические результаты, полученные с помощью математики прикладной, вовсе не служат, как часто считают, доказательством истинности математики фундаментальной. Для практических целей вовсе не нужны ни теоремы о бесконечностях, ни теория пределов, ни иррациональные числа, поскольку для расчётов даже самых сложных конструкций, машин, механизмов речь может идти лишь о большем или меньшем количестве знаков после запятой. То есть для расчёта, к примеру космических кораблей, вполне можно обойтись «исчислением малых» вместо «исчисления бесконечно малых» и, таким образом, более не считать эти самые корабли серьёзнейшим аргументом, подтверждающим абсурдные теории о бесконечностях.
Первая фраза абзаца – «Кантор разрушает самые основания гипотезы Ницше» – во всех отношениях неадекватна. Во-первых, как уже говорилось, основанием гипотезы Ницше вовсе не является атомизм, и, во-вторых, постулаты и теоремы Кантора не могут ничего разрушить, в том числе даже и атомизм, так как они суть построения чисто абстрактные и не имеют практически никакого отношения к реальности.
Понять это просто даже без рассуждений, достаточно обратить внимание на тот факт, что нынешние «исследователи бесконечности» не испытывают никакого ужаса перед ней. А это никак невозможно, поскольку подлинная бесконечность есть бездна, и взгляд в эту бездну – ужас и шок, остановка всех мыслей и чувств. Разве что они исследуют вовсе не бесконечность, а выдуманный ими самими абсурд.
В первом приближении математический ход рассуждений таков: сначала вводятся понятия, затем – определения и постулаты, после чего из них с помощью логики выводятся теоремы, кои считаются непререкаемой истиной, окончательным результатом.
Самое слабое место – понятия, то есть предмет исследования. Ни один математик не может сказать (а уж тем более безоговорочно определить), что есть число, что такое множество и чем оно отличается от единства, что значит случайное и как безо всяких причин оно обрело бытие, и так далее. Даже самые заумные объяснения этих исходных понятий, так или иначе, мало чем отличаются от объяснений, которые родители дают ребёнку, обучая его говорить. Причина сего заключается в том, что современная математика отстранилась от метафизики, где только и можно искать смысл этих понятий, а чисто формальное обоснование их невозможно: всегда получается лишь тавтология, замкнутый круг. Для нынешнего математика более не имеет значения, что единица связана с вечным и неделимым изначальным единством, а множество – с его проявлением в виде всей этой Вселенной и что зарождение и устройство последней отражают законы числа. Всё здание нынешней математики потому слишком шатко, построено на песке. Все рассуждения начинаются не с начала, а с середины, опираясь на непосредственное, обычно наивное, понимание предмета исследования.
Определение есть придание слову строго заданного значения, часто не имеющего никакого отношения к значению того же слова в естественном языке.
Под «числом», например, ныне имеют в виду совсем не число, не жёстко определённое количество, а (с введением иррациональных чисел) бесконечный процесс приближения, бесконечную последовательность натуральных чисел, не содержащую периодического повторения их комбинаций.
Или, например, говорят, что, неограниченно возрастая, натуральные числа стремятся к бесконечности (n → ∞) [а для чисел вещественных рисуют знак ∞ с правой стороны числовой прямой], тем самым ассоциируя бесконечность с очень и очень большим числом, каковым она, разумеется, не является, поскольку любое число отстоит от бесконечности одинаково далеко (понятно, что число 100 000 не ближе к бесконечности, чем число 2) и при увеличении чисел движения в сторону бесконечности вовсе не наблюдается. Бесконечность находится вообще в другом месте – в центре окружности «бесконечного радиуса», по ортогонали ко всем числам, в ином измерении, мало ли где…
Поясним то же самое и другим примером. В любом учебнике математики даётся приблизительно следующее определение предела числовой последовательности: «Число а называется пределом числовой последовательности, если…». Но, позвольте, ещё до введения понятия предела (и, соответственно, до введения иррациональных чисел) изучающих математику обычно знакомят с теоремами о том, что √2 или π, например, не выражаются никаким числом (рациональным). То есть никакое число не может быть пределом последовательности, стремящейся к √2 или π. К чему же, собственно, она в таком случае стремится и притом стремится таким образом, что не может и в принципе достигнуть предмета своих стремлений, так как для этого необходимо преодолеть бесконечность? Или же под числом имеют в виду вообще не число? Но тогда что?.. На этот вопрос, то есть касательно проблемы расширения рациональных чисел до вещественных, в математике существуют разнообразные обоснования, различающиеся сложностью, но отнюдь не убедительностью, так как в любом случае приходится закрыть глаза на апорию невозможности пройти бесконечность за конечное время.
В большинстве учебников математики поступают и совсем просто: под «числом» в определении предела последовательности тайно подразумевают рациональное либо иррациональное число, а затем, ничтоже сумняшеся, переходят к «логически строгому» определению иррационального числа, опираясь на введённое с помощью иррационального же числа понятие предела последовательности.
Короче говоря, человеку, не знающему всех этих тонкостей и не ведающему, что значения слов заменены на совершенно другие, читая математические опусы, трудно бывает понять, о чём вообще речь.
Аксиомы и постулаты суть бездоказательные положения, принимаемые за истинные на основе их «очевидности», но которые нередко далеко не очевидны или вообще противоречат здравому смыслу.
И только затем, основываясь на установленных понятиях, определениях и постулатах, начинаются логические рассуждения и доказательства, обычно бесспорные сами по себе.
Разумеется, дело с математикой куда как сложнее, однако не станем углубляться в этот вопрос и только рассмотрим приведённые Борхесом положения из теории множеств Георга Кантора.
Утверждение о бесконечном числе точек «во Вселенной и в каждом метре её» действительно представляется очевидным, однако, опираясь на эту самую очевидность, его вполне можно было бы дополнить и утверждением о бесконечном числе точек также и в каждой точке Вселенной, ведь математическая точка имеет строго нулевые размеры, а поэтому «ближайшую» точку к заданной точке вполне можно разместить на нулевом расстоянии от неё, то есть в том же самом месте. Потом в эту точку можно поставить ещё одну точку и так далее до бесконечности. Получится, что не только отрезок и метр содержат бесконечное число точек, но и что каждая точка также содержит в себе бесконечное число точек. Правда, возникнет вопрос об идентичности или различии добавляемых точек с исходной, а также вопрос о том, множеством точек будет данная точка или всё же единством? Хотя выглядит это как бред сумасшедшего, можно все эти моменты продумать и доказать какие-нибудь теоремы.
Далее Борхес, иллюстрируя ход своих мыслей Священным Писанием, разъясняет положения теории множеств о сравнении бесконечных множеств между собой.
Положения эти приблизительно таковы.