Что касается множеств конечных, то с ними понятно: чем больше в множестве элементов, тем оно и больше. То есть конечное множество «по величине» определяется количеством элементов.
Сравнивать бесконечные множества по количеству элементов было бы слишком уж откровенным абсурдом, поэтому вместо «количества элементов» придумали говорить слово «мощность», однако притом всё равно подразумевая именно «количество элементов», правда, «количество бесконечное». Борхес, как хороший писатель, довольно точно выражает эту идею сравнения бесконечностей, делая зримым её тайный подтекст. Он не использует слово «мощность» и не говорит о «количествах» элементов в множествах бесконечных. Рассуждая о бесконечных множествах, он говорит лишь, что в одном множестве «столько же элементов», сколько и в другом, что однозначно наводит на мысль, что их может быть «больше» или же «меньше». Данная уклончивость формулировок тем не менее отражает подлинный подразумевающийся в математике смысл, скрываемый из-за явного противоречия здравому смыслу.
Что же такое «мощность»?
Если для двух конечных множеств между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (то есть как бы связать ниточками элементы одного множества с элементами другого, причём таким образом, что, во-первых, окажутся связанными все элементы и, во-вторых, каждый элемент одного множества будет связан только с одним элементом другого множества), то у таких множеств количество элементов будет одинаковым. Если в каком-то множестве окажутся ещё и несвязанные элементы, то оно будет больше. Для множеств конечных это действительно так.
Каждому математику и тем более каждому философу отлично известно, что утверждение, истинное для конечного, вовсе не обязательно будет истинным и для бесконечного. Это подтверждается множеством всяких примеров и теорем. Тем не менее данный критерий «величины» множества всё равно был распространён и на множества бесконечные. То есть множествами «равной мощности» по определению стали называть множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие. Если же такого соответствия установить нельзя, тогда множество, у которого оставались «лишние», не связанные с другим множеством элементы, по определению называлось имеющим бóльшую мощность.
Принятие по определению этого критерия сделало возможным различать равные, бóльшие и меньшие бесконечные множества.
Тут же последовал ряд поражающих своей нелепостью и ложной загадочностью теорем.
Половина бесконечного множества всех натуральных чисел (а именно только чётные числа) оказалась равна всему множеству в целом. И не только половина, но и его сколь угодно малая часть тоже оказалась равна всему множеству в целом. Борхес достаточно убедительно поясняет этот момент. Множество рациональных чисел, включающих в себя натуральные числа как ничтожно малую часть, получилось равным сей части, а вот множество вещественных чисел оказалось гораздо больше и стало называться имеющим мощность континуума. Нашлись множества, имеющие ещё большую мощность, но вот поиск множества промежуточной мощности между множеством натуральных и вещественных чисел зашёл в тупик логических противоречий. Всякое множество оказалось менее мощным, чем множество всех его подмножеств, но при этом самого мощного во всей Вселенной множества и вообще не нашлось, так как даже множество всех множеств менее мощно, чем множество всех его подмножеств… но, с другой стороны, эти подмножества должны были бы заранее быть включены в множество множеств… Решение одних затруднений приводит к другим, ещё бóльшим затруднениям, что продолжается в математике и по сей день…
Можно было бы к этому делу предложить и разумный подход, следующий, например.
1. Оставляем понятия множества и числа теми же самыми.
2. Принимаем известную с древности и очевидную здравому смыслу аксиому: часть целого всегда меньше целого.
3. Выдвигаем тот же самый критерий мощности множеств, но не как безусловное определение, а как предмет для исследования его логической непротиворечивости.
4. Доказываем теорему о равенстве множества натуральных чисел своей малой части – множеству чисел, кратных 3018, например (как у Борхеса).
5. Отвергаем критерий пункта 3 как противоречащий принятой аксиоме пункта 2.
6. Успокаиваемся на этом или ищем другой критерий.
Еще бóльшие трудности встретились бы нам в рассуждениях о сущности точки, смене мгновений и потере упорядоченного следования чисел одного за другим при добавлении чисел рациональных, на что намекает и Борхес. Однако в сии рассуждения мы углубляться тоже не станем.
Соотношения дискретного (называемого в античной философии «количеством») и непрерывного (называемого «величиной») – проблема проблем. Прежде не смешивали их, полагали, что они обладают разной природой, и потому дискретное должно измеряться дискретным, а непрерывное – непрерывным. Количество воинов в войске определяется числом, гипотенуза же равностороннего треугольника – катетами, но отнюдь не числом. Мерить прямую числом, насильственно приписать каждой точке число – идея новейшая, влекущая за собой вереницы неразрешимых проблем.
Так или иначе, но апории Зенона Элейского, связанные с бесконечностью, дискретным и непрерывным никем ещё не были разрешены.
Ахиллес черепаху никогда не догонит, так как за время прохождения им пути до черепахи, та уползёт немного вперёд, за время преодоления нового расстояния между ними она снова уйдёт немного вперёд и так далее. Летящая стрела стоит, поскольку стоит в каждый момент, а слагая стоящее, даже количественно и бесконечное, движущегося не получить. Путник не сможет тронуться с места, поскольку, чтобы пройти путь, он должен пройти сначала его половину, но прежде того – половину половины и так далее, то есть чтобы пройти хоть немного, он должен преодолеть бесконечное число участков пути, что невозможно. Всякая вещь бесконечно мала и одновременно бесконечно великá, что доказывается сходным образом и откуда следует ложность чувственного восприятия материи. Что это доказательство Зенона доселе никто ещё не опроверг, подтверждает и Гегель («Vorlesungen über die Geschichte der Philisophie». Erste Teil. Griechische Philosophie. Zenon).
Простейшие объяснения с помощью теории пределов поистине смехотворны: предел бесконечной последовательности не существует, поскольку недостижим, однако, по опыту зная, что он достижим и Ахиллес черепаху всё же догонит, назовём его существующим и обозначим словами «предел последовательности». То есть по определению будем считать, что недостижимое достижимо, станем в дальнейшем из этого исходить и устраним парадокс, выдавая это формальное определение за свой строгий вывод…
Разумеется, существуют и очень сложные математические объяснения данных апорий, однако всё тщетно: противоречий не скрыть и не избежать…
На самом же деле апории Зенона Элейского гораздо более глубоки, чем чисто логические затруднения. Стоит лишь вспомнить о цели, с которой он выдвинул их. Будучи учеником Парменида, Зенон отстаивал его учение и защищал положение об иллюзорности и даже несуществовании феноменального мира от многочисленных противников, основывавших свою аргументацию на очевидном наличии данного мира и на его несомненной сакральности. Обращаясь к Платону (см.: «Парменид», 128), С. Н. Трубецкой поясняет это так: «Парменид доказывает единство бытия и нереальность, несущественность явлений, исходя из раскрытого им понятия истинно сущего. Зенон идёт обратным путём: он предполагает явления истинно сущими, чтобы показать те безусловные противоречия, к которым приводит подобное предположение» («Метафизика въ Древней Грецiи». V, 4).
О чём это всё говорит? Только о том, что нынешние математические исследования бесконечности – не исследования подлинной бесконечности, а более или менее оригинальные рассудочные построения, имеющие малопонятное отношение к реальности, а то и вообще не имеющие никакого. И если какой-нибудь нынешний математик мистическим образом перенёсся бы в Древнюю Грецию и стал бы в собрании философов излагать теорию множеств вместе с её гениальной идеей преодоления бесконечности «по определению», то, вне всяких сомнений, простейшими доводами был бы быстро поставлен на место и изгнан с собрания ввиду детской наивности и варварской дикости.
Борхес и сам подозревает сие, поскольку в последнем абзаце называет теории Кантора «милыми играми», то есть не очень-то серьёзными аргументами, опровергающими вечное возвращение. Правда, такими же «милыми играми» он называет и размышления Заратустры, хотя тот вообще не обременяет себя никакими доказательствами вечного возвращения: да и зачем ему доказывать для себя очевидное?
То есть фраза «Противоречие между столь милыми играми Кантора и Заратустры не в пользу последнего» вообще непонятна из-за отсутствия таких игр со стороны Заратустры.
Однако с утверждением Борхеса, что, по теории Кантора, вероятность вечного возвращения равна нулю, можно и согласиться, правда, с учётом столь же незначительной вероятности соответствия данной теории реальному миру.
Осенью 1883 года Ницше пишет:
«„И этот медлительный паук, ползущий в лунном свете, и сам лунный свет, и мы с тобой, шепчущиеся в этих воротах о вечных вещах, – не должны ли были все мы бывать тут и некогда прежде?
Не должны ли все мы возвращаться и снова идти по той дороге за воротами, что лежит перед нами… идти снова вдаль по той длинной и страшной дороге – не должны ли мы вечно возвращаться?“
Так говорил я, но всё тише и тише, ибо охватил меня страх от собственной мысли и от скрытой её глубины» 24.
В третьем примерно веке до Рождества Христова, парафразируя Аристотеля, Эвдем писал: «Но если принять точку зрения пифагорейцев, что возвращаются именно те же самые вещи, не изменяясь и по числу, то некогда я буду точно так же рассуждать, держа свой посох, а вы будете сидеть и слушать, и всё остальное будет точно таким же». В космогонии стоиков говорится, что Зевс «питается миром»: Вселенная периодически поглощается её же создавшим огнём; после аннигиляции Вселенная возрождается и всё повторяется заново. Рассеянные семена снова соединяются и формируют камни, деревья, людей, даже дни и добродетели, ибо для греков никакие субстантивы невозможны без определённой телесности. Снова являются те же мечи и герои, те же бессонные ночи.