Заметим, что рост по геометрической прогрессии или развитие по логистическому закону [83, 134, 152] описываются линейными уравнениями. Но экспоненциальный рост и экспоненциальная асимптотика логистики не удовлетворяют условию масштабной инвариантности. В этом случае есть внутренний масштаб -- время Te роста в e=2,72 раз или время удвоения T2=0,7Te. Линейный рост, однако, удовлетворяет условию масштабной инвариантности, так как для него нет такого характерного времени.
Логистическую кривую часто используют для описания развития систем, претерпевающих переход от роста к насыщению. Обычно графики, с тем или иным успехом, подгоняют под данные вблизи области перехода и не обращают внимания на то, как эта зависимость описывает поведение системы вдали от этой области (см. рис. П.7). Однако для сложных и существенно нелинейных систем развитие вдали от критических точек перехода, так называемое асимптотическое поведение, характеризует собственную динамику системы и должно в полной мере учитываться при описании роста и переходного процесса.
Рис 3.2 Линейный рост в двойном (A) и экспоненциальный рост в полулогарифмическом масштабе, спрямляющем любую экспоненту (B)
Рассмотрим для примера линейный рост как результат развития системы, в которой появляются не люди, а автомобили. Очевидно, что за увеличенное в 2 раза время будет выпущено в 2 раза больше машин, а два автозавода произведут в 2 раза больше автомобилей. Это есть следствие аддитивности системы производства, ее линейности. Правда, при сотрудничестве заводов общее производство может увеличиться более чем в два раза -- в такой системе заводов производство в результате взаимодействия будет расти нелинейно.
В случае увеличения числа людей предположим, что рост будет происходить быстрее, по экспоненциальному закону, следуя правилу сложных процентов -- поскольку люди, в отличие от автомобилей, сами способны к воспроизводству. Экспоненциальный рост обладает свойством линейности, и такие процессы можно суммировать. Если мы удвоим число людей, то и скорость роста также удвоится, следуя линейности и аддитивности такой системы. Подчеркнем, что экспоненциальный рост связан только с индивидуальной способностью организма человека или семьи к размножению, непосредственно не зависящей от каких-либо взаимодействий в системе, к которой принадлежат люди.
Следующий шаг при рассмотрении закона роста числа людей был сделан Мальтусом [50]. Опираясь на наблюдения за ростом численности населения в Америке, он установил, что в условиях неограниченных территориальных ресурсов население растет экспоненциально, удваиваясь в этих условиях за 18 лет. В то же время он предположил, что производство пищи происходит по линейному закону и будет отставать от роста населения. Основной вывод Мальтуса, а также его последователей, состоял в том, что рост населения будет ограничиваться производством пищи и ресурсами.
Подход Мальтуса, развитый Медоузом [104,111], оказался неверным, в первую очередь, потому, что в нем не учитывался системный характер развития. Системность означает, что и производство пищи, и развитие в целом, и воспроизводство населения взаимообусловлены множеством связей. Так, например, рост числа машин будет способствовать производству пищи, что в свою очередь приведет к росту населения и т.д. Поэтому надо искать законы эволюции всей системы. Последовательное развитие такого целостного системного взгляда на развитие человечества позволило понять, что рост числа людей на всем протяжении сцеплен с развитием. Однако параметры развития статистически усреднены по всему человечеству, в то время как численность аддитивна: и миллионер, и бомж, при разном вкладе в развитие, суммируются с равным весом в население мира.
Для понимания процесса роста важно его графическое представление. При этом существенно не только, в каком масштабе представлены кривые, но каковы те функции времени и населения, которые отложены на осях координат. Линейный рост изображается прямой линией тогда, когда по осям время и численность населения также отложены в линейном масштабе. Наклон же прямой определяет постоянную скорость абсолютного роста.
При экспоненциальном росте, когда за характерное время число людей удваивается, скорость абсолютного роста соответственно растет, однако относительная скорость роста при этом остается постоянной. Таким образом, в случае экспоненциального роста, когда скорость роста пропорциональна первой степени населения, для представления результатов обращаются к осям, на которых время отложено в линейном, а численность населения -- в логарифмическом масштабе. На такой полулогарифмической сетке экспоненциальный рост будет изображаться прямой линией, наклон которой определяется временем Te экспоненциального роста в e=2,718 раз или временем удвоения
Т2=Teln 2=0,7Te(см. рис. 3.2).
Изменение масштаба соответствует изменению основания логарифмов. В практических целях используют десятичные логарифмы, где целая часть логарифма определяет порядок величины или соответственно степень десяти:
1=100, 10=101, 100=102, 1 миллион =106 и 1 миллиард = 109.
В теоретических расчетах обычно обращаются к натуральным логарифмам с числом e=2,718 в качестве основания. Десятичные логарифмы в ln 10=2,303 раз меньше, чем натуральные. Наклон графика на двойной логарифмической сетке отвечает степени, связывающей время и численность населения. Так линейный рост, пропорциональный времени будет изображаться прямой под углом 45 градусов, а в случае разных скоростей роста такая прямая будет смещаться в соответствии с изменением масштаба численности, без изменения наклона.
Для описания развития всего человечества, рассматриваемого как единая демографическая система, следует перейти к следующей степени зависимости скорости роста, пропорциональной уже квадрату численности населения. Это очень существенный шаг, который приводит к гиперболическому закону роста, который быстрее любого экспоненциального роста и уходит в бесконечность при конечном времени расходимости.
Представить такой процесс лучше всего на двойной логарифмической сетке. На ней и время, и численность населения откладываются в логарифмическом масштабе. В этом случае гиперболический рост, соответствующий обратной пропорциональности численности населения и времени, изобразится прямой, но с отрицательным наклоном. Именно таким графиком будет описываться зависимость численности населения мира от времени.
3.3 Гиперболический рост населения мира
Приведенные расчеты показывают, что ни линейный, ни экспоненциальный рост не могут описать развитие человечества за сколько нибудь значительное время. Демографические данные за много поколений свидетельствуют, что рост человечества хорошо укладывается только на гиперболическую кривую (см. рис. 1.1). В этом случае скорость роста пропорциональна квадрату полного числа людей. Переход к следующей степени зависимости скорости роста от числа людей, по сравнению с экспонентой, может показаться формальным шагом. Однако более глубокое рассмотрение показывает, что именно такая зависимость не только отвечает данным демографии за продолжительное время, но и обладает всеми свойствами, которым должен удовлетворять системный подход, поскольку в ней проявляется взаимодействие, охватывающее всех людей на Земле.
Рис 3.3 Гиперболический рост в линейном и логарифмическом масштабах:
A: N=100/(T1-T), B: N=104(T1-T). T1 -- особая точка обострения роста, момент, в котором население стремится к бесконечности. На шкале логарифмов T1 как 0 не отображается
Зависимость скорости роста от квадрата численности населения существенно нелинейная и не аддитивная, и потому применима только ко всему населению Земли, а не к отдельной стране или региону. Математически это выражается в том, что квадрат суммы всегда больше суммы квадратов слагаемых.
Гиперболический рост, описываемый степенной функцией, обладает еще одним существенным свойством -- такое развитие динамически самоподобно, причем его логарифмическая скорость постоянна, и на двойной логарифмической сетке такой рост изображается прямой линией (рис. 3.3). Так если население выросло в 10 раз, то и время, отсчитываемое от определенного момента, соответственно изменилось в 10 раз. Легко видеть, что линейный рост обладает этим же свойством, а экспоненциальный -- нет. В последнем случае при изменении численности в 2 раза время изменяется на время удвоения, а не в 2 раза.
Рост по гиперболе обращается в бесконечность по мере приближения к моменту расходимости -- особой точке для функции роста. Именно это соответствует наступлению демографического взрыва и отвечает, так называемому, режиму с обострением. В реальных условиях в этой области вступают в силу факторы, ограничивающие рост.
Анализ данных демографии приводит к простой формуле:
N = C/(T1-T) = 186 / (2025-T) млрд, (3.1;П.4)
где N -- число людей на Земле в момент времени T; T1 -- критическая дата от Рождества Христова; C -- постоянная с размерностью [человекогоды].
Здесь и далее в скобках с буквой П указаны номера формул в Приложении, посвященном математической теории.
Однако принятие квадратичного закона, приводящего к гиперболической кривой роста, обращающейся в бесконечность за конечное время, смущало многих исследователей. Из формулы (3.1) следует, что критическое время расходимости очень близко, и если тенденция роста, имевшая место до 1965 г., сохранится, такое время наступит в T