P всегда равен 90°.
Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP. При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол α (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP, а угол β (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP. Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу[26], или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить α′ и точно так же обозначить β′ угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP, то будут верны равенства:
Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:
Учтем, что α′ + β′ – это развернутый угол между сторонами AC и BC, то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:
Следовательно, α + β = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол α + β – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.
Рис. 1. Доказательство теоремы Фалеса. Теорема утверждает, что для любой взятой на окружности точки P угол между отрезками, проведенными из этой точки к концам произвольного диаметра AB, будет прямым.
2. Платоновы тела
В рассуждениях Платона о природе вещества центральное место занимает класс геометрических тел, известных как правильные многогранники, которые также известны как платоновы многогранники. Правильные многогранники можно рассматривать как трехмерную аналогию правильных многоугольников в планиметрии, и в определенном смысле они строятся из правильных многоугольников. Правильный многоугольник – это плоская фигура, ограниченная n одинаковыми отрезками, имеющая n вершин, причем углы, образуемые соседними сторонами при каждой вершине, равны. Например, правильными многоугольниками являются равносторонний треугольник (треугольник, все стороны которого равны) и квадрат. Правильный многогранник – это объемное тело, ограниченное одинаковыми правильными многоугольниками, причем все его вершины представляют собой равные телесные углы, стороны которых образованы N равными многоугольниками-гранями.
Самый привычный пример правильного многогранника – это куб. Куб образуют шесть одинаковых граней-квадратов, в каждой из его восьми вершин смыкаются три квадратные грани. Есть еще более простой правильный многогранник, тетраэдр: это треугольная пирамида, образованная четырьмя одинаковыми равносторонними треугольниками, у него четыре вершины, в каждой их которых смыкаются три треугольные грани. (Мы рассматриваем только выпуклые многогранники, у которых каждая вершина направлена наружу – к ним относятся и куб, и тетраэдр.) Из текста «Тимея» понятно, что Платон откуда-то знал о том, что может быть лишь пять различных видов таких правильных многогранников, и он посчитал, что атомы различных форм материи имеют форму именно этих многогранников. Пять правильных многогранников включают тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр с 4, 6, 8, 12 и 20 гранями соответственно.
Сохранившееся со времен античности свидетельство о самой ранней попытке доказать, что существует лишь пять правильных многогранников, имеется в финальной, кульминационной части «Начал» Евклида. В предложениях 13–17 книги XIII Евклид описывает геометрическое строение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Затем он пишет: «Вот я утверждаю, что, кроме упомянутых пяти тел, нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу <многоугольниками>»[27]. На самом деле после этого утверждения Евклид доказывает более узкую теорему о том, что в правильном многограннике существует только пять возможных комбинаций количества сторон n у каждой многоугольной грани и количества N смежных в каждой вершине многоугольников. Ниже приведено доказательство, аналогичное евклидову, но с использованием современной терминологии.
На первом шаге необходимо рассчитать внутренний угол θ (тета) каждой из n вершин n-стороннего правильного многоугольника. Проведем лучи из центра многоугольника к каждой из его вершин. В результате многоугольник окажется разделен на n треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180° и в каждом из этих треугольников есть по два угла, равных θ/2, то угол при третьей вершине, совпадающей с центром многоугольника, равняется 180° – θ. Так как n таких углов должны составлять полный угол 360°, то n (180° – θ) = 360°. Решая это уравнение, получаем:
К примеру, для равностороннего треугольника имеем: n = 3, поэтому θ = 180° – 120° = 60°, тогда как для квадрата n = 4, и θ = 180° – 90° = 90°.
На втором шаге представим себе, что мы отрезали от нашего многогранника все грани, ребра и вершины, кроме тех, которые примыкают к какой-то одной выбранной вершине. Теперь то, что получилось, мысленно поставим на плоскость и «раздавим», нажав на эту вершину. Теперь N многоугольников, которые смыкались (были смежными) в этой вершине, окажутся лежащими на плоскости, но между ними должно остаться пустое место – в противном случае, если бы они покрывали полный угол, N многоугольников формировали бы слитную плоскую фигуру. Поэтому очевидно, что справедливо неравенство: Nθ < 360°. Подставив вместо θ приведенную выше формулу и поделив обе части неравенства на 360°, получаем:
или, что то же самое (если обе части разделить на N):
Учтем, что должно выполняться условие n ≥ 3, поскольку это минимальное количество вершин для многоугольника, и также должно выполняться неравенство N ≥ 3, так как иначе в многограннике не оставалось бы места между смежными при вершине многоугольными гранями (например, для куба n = 4, потому что грани квадратные, а N = 3). Поэтому вышеприведенное неравенство не позволяет ни отношению 1/n, ни отношению 1/N быть слишком малым, например, 1/2 – 1/3 = 1/6. Соответственно, ни n, ни N не могут быть равными или больше 6. Зная это, легко проверить все возможные комбинации целых чисел в диапазонах 5 ≥ N ≥ 3 и 5 ≥ n ≥ 3 на соответствие неравенству и обнаружить, что есть только пять таких комбинаций:
(В случаях, когда n равняется 3, 4 и 5, мы имеем стороны правильного многогранника, которые являются равносторонними треугольниками, квадратами и пятиугольниками соответственно.) Именно эти значения N и n присутствуют в тетраэдре, октаэдре, икосаэдре, кубе и додекаэдре.
Вот и все, что доказал Евклид. Но он не доказал, что существует лишь по одному правильному многограннику для каждой возможной пары n и N. Теперь мы пойдем дальше Евклида и покажем, что для каждой пары значений n и N мы получим по единственной комбинации других свойств многогранника: F – количества граней, E – количества ребер, и V – количества вершин. Как мы видим, есть три неизвестные величины, и значит, чтобы их найти, нам потребуется три уравнения. Чтобы вывести первое, отметим, что общее количество сторон всех многоугольников, образующих поверхность многогранника, равняется nF, но при этом каждая из Е граней является общей границей двух соседних многоугольников, поэтому:
Также учтем, что N граней пересекаются в каждой из V вершин, и притом каждое из E ребер соединяет две вершины, так что:
И наконец, есть и еще одно, менее явное, соотношение между величинами F, E и V. Чтобы его вывести, нужно принять дополнительное допущение – пусть наш многогранник является односвязным, то есть любой путь, который можно проложить между двумя различными точками его поверхности, можно непрерывно преобразовать в любой другой путь между теми же самыми точками. Это условие выполняется, например, для куба и тетраэдра, но не для многогранника (неважно, правильного или нет), который получили, разместив его вершины и грани вдоль поверхности тора. Существует сложная теорема, которая доказывает, что любой односвязный многогранник можно получить, если последовательно добавлять новые ребра, грани и/или вершины к тетраэдру, а потом сжать получившуюся фигуру до нужной формы. Зная об этом, мы покажем, что любой односвязный многогранник (правильный или неправильный) удовлетворяет равенству:
Легко проверить, что равенство удовлетворено для тетраэдра, в случае которого F = 4, E = 6 и V = 4, поэтому в левой части уравнения имеем: 4–6 + 4 =2. Если теперь мы добавим к любому многограннику ребро, секущее какую-либо из его граней от одного ребра до другого, то у нас добавится одна дополнительная грань и две дополнительные вершины, а значит, величины