рны, вероятность правильного предположения зависит от прошлого успеха, так что Вы улучшаете или ухудшаете предположения в зависимости от прошлого результата. Таким образом, вероятность победы увеличивается после прошлых побед или уменьшается в результате прошлых потерь. Моделируя такой процесс, можно увидеть огромную вариацию результатов с удивительными успехами и большим количеством неудач (мы назвали это смещением).
Сравните такой процесс с теми, которые обычно моделируются, то есть урной и игроком, делающим выемки с заменой. Скажем, Вы играли в рулетку и выиграли. Разве последнее увеличило бы Ваши возможности выиграть снова? Конечно, нет. А в процессе Полиа увеличило бы. Математически это выразить трудно, поскольку понятие независимости (следующее испытание не зависит от предыдущего результата) нарушено. Независимость ― вот требование для работы с (известной) математикой вероятности.
Что пошло не так с развитием экономики как науки? Ответ: существовала группа интеллектуалов, которые чувствовали необходимость использовать математику только для того, чтобы доказать себе, что они строги в своих размышлениях, и это их наука. Кто-то в большой спешке решил представить математические методы моделирования (Леон Валрас, Джерард Дебрю, Поль Самуельсон) без осознания того, что раздел математики, который они использовали, слишком ограничен для класса проблем, с которыми они имели дело. Либо, может быть, точность математического языка могла заставить людей поверить, что они получили решения, когда, в действительности, их не было (вспомним Поппера и стоимость восприятия науки слишком серьезно). Действительно, математика, с которой они имели дело, в реальном мире не работала. Возможно, мы нуждаемся в более сложных процессах, а они отказались признать, что никакая математика, вообще, вероятно, не могла помочь.
На выручку пришли так называемые теоретики комплексности . Много шума вызвали работы ученых, специализировавшихся на нелинейных количественных методах. Их Меккой является Институт Санта-Фе, расположенный около городка Санта-Фе в Нью-Мексико. Ясно, что ученые много работают, пытаясь представить нам замечательные решения в физических науках и лучшие модели в смежных, социальных науках (хотя ничего удовлетворительного там все же нет). И если они, в конечном счете, не преуспеют, виной тому будет математика. Ведь эта наука может оказать только вторичную помощь в нашем реальном мире. Обратите внимание на другое преимущество моделирования методом Монте-Карло:
возможность получить результаты там, где математика подводит либо бесполезна. Освобождая нас от уравнений, метод уводит от ловушек элементарной математики. Как я уже сказал в главе 4, математика в нашем мире случайности ― это просто способ мышления и медитации, не более того.Буриданов осел или Хорошая сторона случайности
Нелинейность в случайных результатах иногда используется как инструмент, ломающий безвыходные положения. Рассмотрим проблему нелинейного толчка. Вообразите себе осла, который одинаково голоден и измучен жаждой. Осел находится на абсолютно одинаковом расстоянии от источника продовольствия и источника воды. Он умрет и от жажды, и от голода, если будет не способен решить, к какому источнику пойти первым. Теперь введем некоторую случайность в описанную картину. Мы хаотично подталкиваем осла, вынуждая его подвинуться ближе к одному источнику, неважно какому, и, соответственно, подальше от другого. Тупик был бы немедленно сломан, и наш счастливый осел либо хорошо поел, а потом выпил, либо сначала хорошо попил, а потом покормился.
Читатель, без сомнения, разыгрывал версию Буриданова осла, «подбрасывая монету», чтобы сломать некоторые из незначительных безвыходных ситуаций в жизни, если то, что на кону, позволяет прибегнуть к помощи случая. Позвольте госпоже Удаче принять решение, которому Вы с удовольствием подчинитесь. Я часто использую осла Буридана (под его математическим названием), если компьютер зависает между двумя альтернативами (говоря технически, «рандомизации» часто происходят при решении проблем оптимизации, когда требуется оживить функцию).
Обратите внимание, осел Буридана был назван в честь своего создателя ― философа четырнадцатого века Жана Буридана. Смерть Буридана была ужасной: он утонул в Сене, будучи связанный в мешке. Рассказ об осле современниками, которые упустили введение рандомизации, рассматривался как пример софистики, а Буридан был явно впереди своего времени.
Во время дождя льет
Поскольку я пишу эти строки, то хочу открыть фонд для инвесторов и ищу возможность заработать деньги. Я понимаю, меня очень сильно задевает биполярность мира, где кто-то либо дико преуспевает, привлекая все деньги, либо оказывается не в состоянии вложить даже пенни. Аналогичная ситуация и с книгами: либо найдется много желающих издать ее, либо никто не захочет отвечать на Ваш телефонный звонок (в последнем случае мне придется удалить имя из моей записной книжки). Такая альтернатива доводит меня, с моим глубоким средиземноморским чувством меры, до тошноты. Слишком много успеха ― я враг (подумайте о наказании, отмеренном богатому и известному), слишком много неудач ― деморализация. Я хотел бы не иметь ни того, ни другого.
Глава одиннадцатая Случайность и наш мозг: мы вероятностно слепы
Трудности размышления об отпуске, как линейная комбинация Парижа и Карибских островов. Неро Тулип может никогда не ходить на лыжах в Альпах снова. Некоторое обсуждение поведенческих открытий. Несколько проявлений вероятностной слепоты, взятых из учебника. Чуть больше о журналистской глупости. Почему Вы можете быть мертвы к настоящему времени.
Париж или Карибы?
У Вас есть две возможности провести грядущие краткие каникулы в марте. Первая ― лететь в Париж, вторая ― на Карибы. Вы выразили безразличие между этими двумя вариантами и Ваш супруг (супруга), так или иначе, примет решение. Два отличных и разных образа возникают у Вас, когда думаете об этих возможностях. В первом случае, Вы видите себя в Musee d\'Orsay, перед полотнами Писсаро с изображением облачного неба. Серое зимнее небо Парижа и Вы несете зонтик в руке. Во втором образе, Вы представляете себя на полотенце у кромки океана с кучей книг любимых авторов, и подобострастный официант приносит банановый коктейль. Вы знаете, что эти два состояния взаимно исключают друг друга (можно быть только в одном месте в одно и то же время). Вероятность, что Вы будете в одном из этих мест, равна 100 %, выбор места проведения отпуска равновероятен.
Вы получаете большое удовольствие, думая об отпуске; это мотивирует Вас и делает ежедневные переключения более терпимыми. Однако адекватный способ визуализировать себя, согласно рациональному поведению в состоянии неуверенности, когда 50 % за нахождение в одном месте отпуска и 50 % ― в другом, математически называется линейной комбинацией из двух состояний. Может ли ваш мозг справиться с этим? Насколько желаннее было бы окунуть ноги в Карибских водах, а голову подставить Парижскому дождю? Наш мозг может должным образом обращаться с одним и только с одним состоянием одновременно, если вы, конечно, не имеете патологии. Теперь попробуйте вообразить комбинацию 85 % к 15 %. Удачно?
Рассмотрим пари, которое Вы заключаете с коллегой на сумму в 1000$. По вашему мнению, пари является абсолютно справедливым. Завтра вечером Вы будете иметь либо ноль, либо 2000$ в кармане, с вероятностью 50 %. В чисто математических терминах, справедливая стоимость ставки ― это линейная комбинация состояний, называемая математическим ожиданием, то есть вероятность каждого вознаграждения, умноженная на долларовую стоимость исхода (50 %, умноженные на 0, и 50 %, умноженные на 2000$, что равно 1000$). Можете Вы вообразить (визуализировать, а не вычислить математически) стоимость в 1000$? Мы можем иметь одно и только одно состояние в заданное время. Предоставленные самим себе, мы, вероятно, будем держать пари иррациональным способом, поскольку одно из состояний доминировало бы над картиной.
Некоторые архитектурные соображения
Время раскрыть секрет Неро: он был черным лебедем. Тогда ему было 35 лет. Хотя довоенные здания в Нью-Йорке могут иметь приятный фасад, их архитектура, видимая с обратной стороны, представляет абсолютный контраст из-за своей мягкости. В смотровой комнате доктора было окно, глядящее на задний двор здания одного такого Верхне-Восточного переулка, и Неро всегда будет помнить контраст заднего двора и фасада здания. В его памяти навсегда отложился вид уродливого розового заднего двора со свинцовыми оконными стеклами и медицинского диплома на стене, который он читал дюжину раз, пока ожидал доктора (для Неро это время ожидания представлялось половиной вечности, поскольку он подозревал, что что-то с ним не в порядке). Новости были тогда озвучены серьезным голосом: «я имею некоторый … я получил патологический отчет… Это… Не столь уж плохо, как это звучит… Это… Это ― рак». Объявление заставило его тело дернуться, как от поражения электрическим током, пробежавшим через спину вниз, к коленям. Неро попробовал завопить, но из его рта не вырвалось ни звука. Его даже больше испугал вид доктора, чем сама новость. Так или иначе, новости достигли его тела раньше, чем сознания. В глазах доктора было слишком много тревоги, и Неро стал немедленно подозревать, что ему сказали не все.
В ночь, когда ему сказали диагноз, он сидел в медицинской библиотеке, промокший от многочасового шатания под дождем, даже не заметив его, и создавая лужи воды вокруг себя. Он вопил на дежурную, но не мог сконцентрироваться на ее пояснениях ― она пожала плечами и ушла. Позже он вычитал предложение «для 72 % таких больных определена пятилетняя скорректированная норма выживания». Это подразумевало, что 72 человека из ста делают это. Пациенту, организм которого еще не имеет клинических проявлений болезни, для излечения требуется от трех до пяти лет (в его возрасте ― около трех). Тогда он всем нутром почувствовал полную уверенность, что он сделает это.