Во введении Хайям пишет: «Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными…, но отмеченные в какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество, или отношение…» Таким образом, предмет алгебры — это неизвестная величина, дискретная (ибо «абсолютное число» означает число натуральное) или же непрерывная (измеримыми величинами Хайям называет линии, поверхности, тела и время). «Отнесение» неизвестных величин к известным есть составление уравнения.
Задачей алгебры, подчеркивает Омар, является определение как числовых, так и геометрических неизвестных. Здесь Хайям отмечает, что математики стран ислама того времени интенсивно занимались поисками числового решения кубического уравнения. О различных видах уравнений третьей степени он пишет: «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для них, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первые степени, а именно число, вещь и квадрат». Такое решение кубического уравнения было найдено только в начале XVI века, через 400 лет после смерти Хайяма.
Далее Омар Хайям производит классификацию уравнений первых трех степеней. Всего он выделяет 25 форм, из них 14 кубических уравнений, не сводящихся к квадратным или линейным делением на неизвестную или ее квадрат. Значение классификации в том, что применительно к каждой форме подбирается соответствующее построение.
Хайям, впервые в истории математики, заявляет, что уравнения третьей степени, вообще говоря, не решаются при помощи циркуля и линейки. «Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений». В 1637 году с подобным утверждением вновь выступил Рене Декарт, и только двести лет спустя, в 1837 году, это было строго доказано П.Л. Веицелем.
Основным является третий раздел трактата, где дано построение корней каждой из 14 форм уравнений третьей степени при помощи надлежаще подобранных конических сечений. При этом подбор таких сечений произведен вполне систематически.
Работы Омара Хайяма по алгебре, к сожалению, оказали незначительное воздействие на развитие математики. В Европе, например, его результаты стали известны, по-видимому, тогда, когда они были давно уже превзойдены европейцами. Алгебраический трактат Хайяма впервые упоминается в Европе в 1742 году в предисловии к учебнику дифференциального исчисления Ж. Меермана. По этому поводу Ж. Э. Моитюкла в своей известной «Истории математики», заметив, что арабы пошли дальше квадратных уравнений, говорит, что в Лейдене имеется арабская рукопись, озаглавленная «Алгебра кубических уравнений» или «Решение телесных задач», и что автором ее является Омар бен-Ибрахим. «Весьма жаль, — добавляет Монтюкла, — что никто из знающих арабский не имеет вкуса к математике и никто из владеющих математикой не имеет вкуса к арабской литературе».
Профессор А.П. Юшкевич писал: «Можно жалеть, что книга Хайяма осталась неизвестной европейской математике XV—XVI веков. Насколько раньше поставлен был бы вопрос о числовом решении кубического уравнения, насколько облегчена была бы работа творцов новой высшей алгебры. События сложились по-иному, и европейским ученым пришлось немало потрудиться, чтобы заново пройти тот путь, начало которому проложил задолго до них великий восточный поэт и математик.
Судя по всему, в период пребывания в Мавераннахре Омар Хайям занимался не только чистыми математическими исследованиями, но и выполнял прикладные работы по заказу своих высокопоставленных покровителей. Об этом может свидетельствовать небольшое сочинение Хайяма «Весы мудростей», в котором решается классическая задача Архимеда об определении количества золота и серебра в сплаве, а также точного определения веса драгоценных камней.
Эта работа дошла до наших дней в виде V главы IV книги трактата «Книга о весах мудрости» ученика Омара Хайяма Абу-ль-Фатха Абд ар-Рахмана аль-Хазини, работавшего в Мерве и закончившего свое произведение в 1121 году, то есть еще тогда, когда Хайям был жив. О том, что такая работа действительно принадлежала Хайяму, пишет историк Татави. Он отмечает, что это трактат «о нахождении цены вещей, осыпанных драгоценными камнями, без извлечения из них самих драгоценных камней».
Глава IV книги аль-Хазини, представляющая собой трактат Хайяма, носит название «Об абсолютных водяных весах имама Омара аль-Хайяма». Сохранилась также отдельная рукопись трактата Хайяма, озаглавленная «Об искусстве определения количеств золота и серебра в; состоящем из них теле», но она содержит только первую половину трактата.
Работа состоит из четырех разделов. В них различными методами решается задача Архимеда. Архимед решил, ее по просьбе сиракузского царя Гиерона.
Определению удельных весов различных тел ученые Средней Азии XI—XII веков уделяли вообще большое внимание. Хайям в своей работе продолжает традицию чрезвычайной точности взвешивания аль-Бируни. У последнего погрешность весов при взвешивании 2,2 килограмма не превосходила 0,06 грамма.
Книга жизни моей перелистана — жаль!
От весны, от веселья осталась печаль,
Юность — птица: не помню, когда прилетела
И когда унеслась, легкокрылая, в даль.
Тот, кто с юности верует в собственный ум,
Стал в погоне за истиной сух и угрюм,
Притязающий с детства на знание жизни,
Виноградом не став, превратился в изюм.
Лик розы освежен дыханием весны,
Г паза возлюбленной красой лугов полны,
Сегодня чудный день! Возьмем бокал, а думы:
О зимней стуже брось: они всегда грустны.
Глава IIIСИЛА И СЛАБОСТЬ ВЫБОРА1074—1092
Откуда мы пришли? Куда свой путь вершим?
В чем нашей жизни смысл? Он нам непостижим.
Как много чистых душ под колесом лазурным
Сгорает в пепел, в прах, а где, скажите, дым?
Подвижники изнемогли от дум,
А тайны те же душат мудрый ум.
Нам, неучам, — сок винограда свежий;
А им, великим, — высохший изюм.
Несовместимых мы всегда полны желаний:
В одной руке бокал, другая — на Коране.
И так вот мы живем под сводом голубым,
Полубезбожники и полумусульмане.
Насколько это человечно — сомневаться, не упиваясь своими сомнениями!
…Март 1074 года. Через восточные ворота уходит караван. Дервиши с четками и без четок, стоя, сидя на корточках или на ковриках, на разные голоса напевно читают аяты из Корана — да пребудет милость Аллаха с теми, кто уходит в далекий и опасный путь. Вокруг них блестят в пыли серебряные монеты. Каждый из отъезжающих считает своим долгом бросить одну, несколько или горсть монет тем, кто вышел их провожать в это раннее утро. Свою долю получают нищие, бродяги и больные, ночующие за стенами города.
Большой караван уходит из Бухары. Сотни верблюдов и мулов с тюками — дар правителя Мавераннахра Малик-шаху. Несколько десятков отборных жеребцов, в которых превосходно знают толк сельджуки. И многочисленная конская охрана. Не обычный караван направляется в Исфахан. Богатые подарки должны быть доставлены юному наследнику сельджукской империи.
Омар, пришпорив своего вороного, подарок Шамс аль-Мулька, отъезжает в сторону и взбирается на небольшой холм. Затем, чуть потрепав ласково по холке жеребца, отпускает поводья и поворачивается в сторону Бухары. «Прощай», — беззвучно произносит он. Хайяма нельзя было упрекнуть в излишней чувствительности, но быть ответственным за свои поступки, даже в мелочах, это не сентиментальность.
Не по своей воле покидает Омар Мавераннахр. Он еще несколько мгновений смотрит на город, разом вспомнив лица тех, кто был здесь для него особенно дорог. Вдруг внутри его что-то похолодело: словно чужая, не его мысль родилась, закружилась, зазвенела в нем, заглушая все остальное: «Ты уже никогда здесь не будешь! И ты никогда не будешь таким, каким был. И все эти годы в Мавераннахре будут медленно или быстро гаснуть в тумане времени, только порой вспыхивая какими-либо особыми воспоминаниями. Ты оставляешь здесь самого себя, а может быть, только часть себя… нет, всего, целиком, того, каким ты был здесь и каким не был бы; нигде в другом месте». Он неожиданно резко стегнул коня и быстрым галопом бросился догонять своих.
В караване Омар был обладателем верблюда и двух верблюдиц. «Хозяева пустыни» ему были подарены верховным судьей, который случайно или не случайно находился в это время в Бухаре. Верблюдицы навьючены личной поклажей Хайяма — книги, привезенные им из Нишапура и те, которые ему удалось приобрести в Самарканде и Бухаре, различные выписки, сделанные им самим, переписанные опытными каллиграфами в нескольких экземплярах работы по математике, одежда, подаренная его богатыми друзьями или купленная им самим, инструменты для наблюдения за движением звезд, некоторые приборы для точного взвешивания, несколько дорогих ему вещей, оставшихся от отца, среди которых и небольшой старый нишапурский ковер, сотканный матерью. Все это было тщательно упаковано самим Омаром.
На верблюде ехал слуга Омара Хайяма — Юсуф, молодой, крепкий и сметливый парень. Он должен был помогать хозяину, ухаживать за верблюдами и не спускать глаза с небольшого сундука, подвязанного к верблюду.
Накануне вечером, приехав из дворца Шамс аль-Мулька, Омар застал в своем доме Абу Тахира. Хайям поклонился, но судья нетерпеливым жестом велел ему садиться.
— Омар, — после небольшого молчания начал судья, — что тебе сказал хакан?
— Несколько обычных слов с пожеланиями счастливого пути. Повелитель не был расположен к беседе. И на прощание он подарил мне эту вещицу.