Я видел сон… Не все в нем было сном.
Погасло солнце светлое, и звезды
Скиталися без цели, без лучей
В пространстве вечном; льдистая земля
Носилась слепо в воздухе безлунном.
Час утра наставал и проходил,
Но дня не приводил он за собою…
И люди – в ужасе беды великой
Забыли страсти прежние… Сердца
В одну себялюбивую молитву
О свете робко сжались – и застыли.[64]
К счастью, по последним данным, эти мрачные перспективы ожидают нашу планету лишь в далеком будущем, вероятно через пару триллионов лет. Я рассказываю об этом не для того, чтобы напугать своих читателей, а чтобы дать им пищу для размышлений, ведь подобные прогнозы влияют на имеющуюся у нас сегодня картину космоса. Вселенная, которую мы изучаем, рассказывает нам лишь конечную историю, состоящую из информации, которая может к нам попасть (то есть не ограничена космическим горизонтом), и информации, которую мы можем собрать (доступную для наших технологий). Если несчастные космологи будущего станут основывать свои теории только на том, что они могут измерить, они получат неверную картину мира и никогда не узнают, что их мрачный космос имеет историю, длящуюся уже несколько триллионов лет. Их статический космос будет иллюзией, результатом существования космического горизонта, в рамках которого галактики не разбегаются. Из всей этой истории можно извлечь страшный урок: наши знания о космосе ограничиваются не только естественными лимитами и технологическими причинами. Собранная нами информация может быть обманчивой и приводить к возникновению у нас совершенно неправильного видения мира. Наши измерения не показывают нам всю картину целиком – возможно, всего лишь краешек.
Чтобы не впасть в научный нигилизм, мы должны наслаждаться тем, что мы можем узнать о мире, пускай уверенными можно быть лишь в немногом. Вместо громких заявлений вроде «Мы знаем истинную природу Вселенной» следует говорить: «Вот то, что мы можем заключить о природе Вселенной». Слово «истинный» бессмысленно, если мы так никогда и не узнаем, в чем состоит истина. Но мы все еще в состоянии делать потрясающие выводы, и это тоже ценно. Мы не должны останавливаться. Нужно продолжать стремиться дальше, к тому, что может лежать за нашим космическим горизонтом.
Глава 12. Конечные бесконечностив которой мы рассматриваем понятие бесконечности и его применение в космологии
– Что будет, если сложить две бесконечности? – спросил однажды мой сын Луциан.
– Бесконечность, – стоически ответил я.
– Но как это возможно, чтобы число плюс число равнялось этому же числу? – настаивал Луциан. – Я думал, так может делать только ноль.
Я ответил:
– На самом деле бесконечность – это не число. Это скорее идея.
Луциан закатил глаза и задумался:
– То есть бесконечность – это противоположность нуля, но при этом бесконечность плюс бесконечность равно бесконечность?
– Да.
– Папа, но это странно.
– Именно.
Бесконечность – это то, что не поддается исчислению, хотя математики часто используют термины «счетная и несчетная бесконечность». Да, бесконечности бывают разными. Например, все множество целых чисел (… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…) – это счетная бесконечность. Еще один пример – это совокупность рациональных чисел, то есть чисел, имеющих форму p / q (1/2, 3/4, 7/8 и т. д., кроме деления на ноль). Количество объектов в каждом множестве (также называемое его кардинальным числом) обозначают как алеф-0. Алеф – это первая буква еврейского алфавита, которая в каббалистической интерпретации обозначает союз неба и земли (). Значение алеф-0 бесконечно, но это не наибольшая из возможных бесконечностей. Совокупность действительных чисел, включающая в себя все рациональные и иррациональные числа (то есть числа, которые нельзя представить в качестве частей от целого, такие как √ 2, π, е), имеет кардинальное число алеф-1. Значение алеф-1, называемое континуумом, больше алеф-0 и может быть получено путем умножения алеф-0 на себя алеф-0 раз: . Немецкий математик Георг Кантор, создавший все эти концепции и разработавший теорию множеств, выдвинул гипотезу континуума: не существует множества с кардинальным числом, находящимся между алеф-0 и алеф-1. Однако недавние исследования показывают, что гипотеза континуума неразрешима, то есть ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Человеческое сознание создает различные бесконечности даже в упорядоченном пространстве абстрактной математики. Но к вопросу неразрешимости мы еще вернемся, а сейчас давайте перенесем понятия счетной и несчетной бесконечности в космос.
Бесконечен ли космос? Расширяется Вселенная в бесконечность или замыкается сама на себя, как поверхность воздушного шарика? Сможем ли мы когда-нибудь узнать ее форму? Существование космического горизонта и тот факт, что мы получаем информацию лишь из пространства, ограниченного скоростью света, устанавливают серьезные границы нашего познания. Когда космологи говорят, что Вселенная плоская, на самом деле они имеют в виду (или по крайней мере должны иметь в виду), что измеримая часть Вселенной является плоской или практически плоской с учетом погрешности измерений. Подобная плоскость космоса предполагает, что на самом деле Вселенная гораздо больше, чем мы можем измерить. Но с нашей позиции мы не в состоянии делать никаких заключений о том, что лежит за пределами нашего информационного пузыря, или об общей форме Вселенной.
Разумеется, мы можем и должны рассуждать о том, что находится за космическим горизонтом, и, возможно, такие рассуждения помогут нам что-то узнать. Иногда вернуться на берег Острова познания может быть полезным. Если вы не житель Древней Месопотамии, где верили, что горизонт является краем мира, то, глядя с берега на океан, вы легко предположите, что он продолжается и за горизонтом. Когда корабль выплывает из-за горизонта, вы не можете видеть его нижнюю часть, так как Земля круглая. Если вы видите на горизонте остров, вы можете отметить его положение относительно горизонта, а затем забраться на высокую гору и увидеть, что океан продолжается и за островом, а значит, не ограничивается горизонтом, который вы видели у подножия горы. Однако даже с вершины самого высокого пика невозможно осмотреть все океаны и континенты нашей планеты или увидеть, что она представляет собой шар, слегка приплюснутый у полюсов. Исторически наше видение планеты определялось тем, как далеко (или высоко) мы могли на ней продвинуться. Затем, объединив усилия математики и астрономии, ученые смогли сделать гигантский шаг вперед. Это подтверждается расчетами окружности Земли, произведенными Эратосфеном примерно в 200 году до н. э., а также наблюдениями за круглой тенью, которую Земля отбрасывает на Луну во время лунного затмения. Можно привести еще множество других примеров, но окончательное подтверждение того, что Земля круглая, мы получили лишь в 1521 году, когда завершилось кругосветное плаванье Фернана Магеллана и Себастьяна Элькано. Если математические расчеты и толкование теней на Луне еще могли вызывать у людей какие-то сомнения (пускай и неверные), то путь, пройденный кораблями Магеллана, был непреложной истиной. К сожалению, когда дело доходит до космического горизонта, кругосветное путешествие исключается.
В данном случае уместно привести двухмерную аналогию. Представьте себе поверхность очень большого шара. На этой поверхности существует галактика, и в ней живут разумные существа. Как и наша Вселенная, эта двухмерная конструкция когда-то пережила Большой взрыв. Так же как и у нас, у существ из этой Вселенной имеется космический горизонт – участок поверхности шара в форме диска. Если шар достаточно велик, а диск слишком мал, существа будут считать свою Вселенную бесконечной, а ее геометрию – плоской. (Если вы мне не верите, возьмите воздушный шарик и нарисуйте на нем круг. Поверхность внутри круга действительно будет казаться вам плоской.) Но этот вывод будет неверным. Да, поверхность видимого им диска действительно плоская, но поверхность всего шара, то есть их Вселенная, конечна. Смогут ли эти существа когда-нибудь узнать правду о форме своей Вселенной, если выход за границы диска им недоступен?
Можем ли мы определить форму Вселенной, если находимся на плоскости, ограниченной космическим горизонтом? Если наша Вселенная – это трехмерная сфера, нам не повезло. Судя по текущим данным, радиус кривизны этой сферы, скорее всего, настолько мал, что мы просто не сможем его измерить. Существует еще одно интересное, хотя и не совсем правдоподобное предположение. Наша Вселенная может иметь сложную форму, которую математики называют нетривиальной топологией. Топология – это направление в геометрии, которое изучает непрерывную деформацию пространств. «Непрерывное» в данном случае означает без разрывов, как, например, растягивание и сгибание куска резины. Такие трансформации называют геоморфизмами. К примеру, цельную сферу можно превратить в эллипсоид, в куб или в грушу – но не в кольцо. Кольцо же, в свою очередь, можно превратить в кружку с ручкой. Соответственно, сложная топология космоса может налагать свой отпечаток на наши измерения. Например, если топология подразумевает сложное соединение (то есть если в ней есть отверстия, как в пончике), свет от дальних объектов может определенным образом проявляться в фоновом излучении. В частности, если Вселенная действительно имеет форму кольца и его радиус невелик по сравнению с нашим космическим горизонтом, свет от дальних галактик может несколько раз описывать круг, создавая множественные одинаковые образы, похожие на отражения в зеркалах, стоящих параллельно друг другу. В принципе, такие отражения, или узоры, можно заметить и проанализировать.
Эта история показывает, как несовершенство наших измерительных приборов позволяет нам заниматься рассуждениями. До тех пор пока мы не удостоверимся, что радиус кривизны нашего космического диска точно равен нулю, у нас всегда останется место для фантазий о других топологиях, отличных от скучного плоского трехмерного космоса. Разумеется, существует вероятность, что однажды мы сумеем засечь зеркальные отражения, которые дадут нам основания предположить, что Вселенная имеет несколько иную форму. Гораздо интереснее будет, если мы так никогда их и не обнаружим. Будет ли это означать, что космос действительно плоский? Поскольку мы не в состоянии измерить что-либо с абсолютной точностью, то, даже если все текущие данные будут указывать на нулевое пространственное искривление в пределах нашего космического горизонта, мы все равно не сможем сказать этого наверняка. В отсутствие сведений о наличии искривления в