ная, при зарождении которой количество материи и антиматерии было бы равным, выглядела бы как наполненная излучением пустота. Судя по тому, что мы видим вокруг себя, этого не произошло.[179]
Данный пример, как и многие другие, заставляет некоторых ученых поверить в то, что математика – нечто большее, чем простой описательный инструмент физиков, и что физика позволяет раскрыть какую-то глубокую математическую структуру природы, возможно, то самое платоновское измерение чистой математики, перенесенное в физическую реальность. Сегодня эти убеждения находят свое воплощение в научном Эльдорадо – теории всего, попытке создать единое и всеобъемлющее описание материального мира, основанное на работе фундаментальных сил между элементарными частицами. Какими бы привлекательными ни казались подобные проекты, наделяющие открытия естественных наук некоей божественной истиной, история физических теорий говорит нам об обратном. Физические теории постоянно меняются, в отличие от незыблемых математических результатов (ведь теорема Пифагора не перестанет быть верной, если мы узнаем что-то новое о треугольниках). Рассмотрим в качестве примера силу притяжения. Как мы уже обсуждали выше, Ньютон видел ее иначе, нежели Аристотель, а Эйнштейн – иначе, нежели Ньютон. В настоящий момент мы еще раз пересматриваем сущность гравитации, и некоторые физики уже задаются вопросом, является она фундаментальной силой Природы, как электромагнетизм, или чем-то совершенно иным.
Любое утверждение о том, что математика не играет никакой роли в Природе, было бы наивным и неверным, особенно для физика-теоретика. Разумеется, ее роль является одной из важнейших, что подтверждается нашими физическими теориями, созданными на основе математики. Симметрия крайне важна для реализации этих теорий и их прикладных моделей – точных приближений к той реальности, которую мы пытаемся описать. Опасность (и источник платонических заблуждений) состоит в вере в симметрию как отражение Природы, а не инструмент для объяснения того, что мы наблюдаем и измеряем. Между человеческим мозгом и его попытками понять реальность с помощью математики существует прочная связь. Однако любая попытка представить математические модели как проявления великого природного замысла, доступного лишь немногим избранным, превращает такие модели в мистические послания свыше.
Но если математические результаты являются не отблесками какой-то трансцендентной правды, а лишь человеческим изобретением и если наши поиски общей теории Природы, основанные на ее уникальной математической структуре, ведут нас не туда, зачем вообще что-то делать? Зачем вообще ступать на эту дорогу, если она не приблизит нас к истине? Я часто слышу этот вопрос, обычно в сочетании с обвинениями в пораженчестве или в том, что я опустил руки, столкнувшись с собственной ограниченностью. Думаю, по крайней мере некоторые из моих читателей придерживаются того же мнения. Мне досталась неприятная задача: я романтик, убивающий мечты других романтиков. Но настало время увидеть и оценить науку такой, какая она есть. Она не божественный дар человечеству. Основа нашего стремления к знанию находится не извне, а внутри нас. Теоремы абстрактной математики, даже кажущиеся полностью оторванными от окружающей реальности, являются продуктами логических правил и концепций, сконструированных нашим сознанием. Как объясняют Лакофф и Нуньес, наш мозг функционирует особым образом, обнаруживая методы познания, которые, в свою очередь, ускоряют разработку абстрактных концепций. Наш неокортекс играет с самим собой в игры чистой математики, будучи при этом результатом долгих веков эволюции, осуществлявшейся путем естественного отбора и генетической вариативности, то есть при активном влиянии среды на живые организмы.
Возможно, 2 + 2 = 4 – это универсальное выражение (для любого вида, который знает числа и умеет их складывать), но от этого оно не становится менее человеческим. Если другие мыслящие инопланетяне смогут получить тот же результат (несомненно, выраженный в других символах), это скажет нам больше о том, как работает сознание, чем об универсальных истинах Природы. Тот факт, что 2 + 12 = 14 или eix = cos x + i sin х, определяется не Вселенной, а человеческим разумом, который может использовать подобные выражения для приближения к физической реальности и/или описания ее элементов, от стада зебр до сложных экспоненциальных и тригонометрических функций, применимых бесчисленным количеством способов во всех науках или используемых в абстрактных мысленных конструкциях.
Спор о математике как об открытии или изобретении, равно как и дискуссия о природе физической реальности, указывает на важность человеческого мозга как чудесного и редкого явления вселенского масштаба, а не на существование некой ускользающей от нас истины в непостижимом абстрактном измерении. Самое важное находится не извне, не над нами, не в руках Бога, а в небольшом клубке нейронов, скрытом под нашей черепной коробкой.
Глава 30. Неполнотав которой кратко рассматриваются неожиданные, но важные открытия Геделя и Тьюринга
Открытия, сделанные физиками в начале ХХ века, в большинстве своем были направлены против общепринятого (и ньютоновского по своей сути) представления о том, что Природа полностью рациональна и независима от вмешательства или наблюдений человека. Сначала специальная теория относительности Эйнштейна указала на то, что для интерпретации значения местоположения и времени необходимо учитывать точку зрения наблюдателя. Затем принцип неопределенности Гейзенберга связал присутствие наблюдателя и нашу интерпретацию физической реальности в одно нераздельное целое. Новая физика, отвергая все классические законы, вернула человеческий фактор в науку, которая когда-то гордилась своей строгостью и независимостью от субъективного мнения. Как мы уже знаем, у этого утверждения имеются некоторые нюансы, так как теория относительности Эйнштейна строится на абсолютных величинах (то есть законы Природы и скорость света являются одинаковыми для всех наблюдателей), а неопределенности Гейзенберга исчезают по мере перехода от атомных и молекулярных величин к более крупным объектам нашей повседневной жизни. Тем не менее происходило что-то новое – изменялись наши способы мышления о физике и о роли, которую в ней играет человеческий фактор.
Удивительные и блестящие исследования Курта Геделя привнесли такой же человеческий подход в математику. В 1930 году в возрасте 23 лет этот австрийский логик представил две связанные между собой теоремы о неполноте, в которых, по сути, доказал, что математика (или, точнее, любая формальная система, в которой возможна теория чисел) не является автономной, так как включает в себя по меньшей мере одно утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Как следствие, в своей второй теореме Гедель выводит, что непротиворечивость системы невозможно доказать, находясь внутри нее. Иными словами, великая мечта о создании замкнутой восходящей структуры всей математики, которую вынашивали величайшие ученые всех времен, рухнула. Разумеется, в несовершенную логическую систему можно было бы добавить дополнительные аксиомы, чтобы доказать ее непротиворечивость, и в некоторых случаях математики действительно так поступали. Но теорема о неполноте сделала свое дело. После Геделя дух идеальной красоты, определявший платоновский реализм на протяжении многих тысяч лет, был утрачен. Река еще не обрушила дамбу окончательно, но трещины на ней уже были заметны.
Гедель нацелился на монументальный трехтомный труд «Принципы математики», написанный Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1910–1913 годах, в котором авторы пытались свести всю математику к чистой логике. Их работа была воплощением идеальной рациональности. Рассел и Уайтхед ставили своей целью показать, что все математическое мышление можно свести к манипуляции символами, регулируемой набором правил. Гедель заменил символы числами, показав, что символьные модели в «Принципах» можно представить в качестве моделей цифровых (обработки массивов численных данных). Учитывая, что работа Рассела и Уайтхеда была автореферентной (замыкалась сама на себя, как мифический змей Уроборос), Гедель легко показал, что весь этот проект был построен на проблемах, поднимавшихся еще в античных парадоксах, в частности в знаменитом парадоксе лжеца: «Это утверждение ложно».
Если задуматься, становится очевидно, что подобного рода парадокс вводит наш мозг в замкнутый круг рассуждений. Это утверждение не может быть верным, так как если оно верно, то оно ложно. Ложным оно также быть не может, так как если оно ложно, то оно верно. Гедель показал, что, базируясь на положениях «Принципов математики», можно создать формулировку, противоречащую себе самой: «Эту формулу невозможно доказать с помощью правил, содержащихся в “Принципах математики”».[180] Какой удар для Рассела и Уайтхеда и их доблестной попытки избавить математику от таких парадоксов. Как писал Хофштадтер, «в своей потрясающе дерзкой манере Гедель взял приступом крепость “Принципов математики” и оставил ее в руинах».[181]
У самых корней математики уже лежат зерна ее собственной ограниченности. Это стало тяжелым ударом для тех, кто верил в существование измерения абсолютных математических истин, доступного человеческому сознанию.[182] Ребекка Голдстейн пишет в своей увлекательной статье «Неполнота», посвященной работе Геделя, что, как это ни удивительно, общее восприятие теорем противоречило тому, в чем был убежден сам Гедель, – существованию платоновского мира, ключом к которому является математика. Голдстейн добавляет, что то же самое произошло с Эйнштейном, чья вера в физическую реальность, независимую от человеческого сознания, не поколебалась даже после квантовой революции (см. часть II книги) и чья теория относительности часто рассматривается как шаг в сторону от реалистичной точки зрения и введение в количественное описание мира неустойчивого человеческого фактора.