figlio di Bonacci — «сын Боначчи». Леонардо вместе с отцом обучился арабской системе счисления и арифметическим действиям. Позднее, желая расширить знания, он совершил путешествие в Египет, Сирию и Византию, где подробно изучил арабскую математику. В своих трудах он излагает все, что узнал в этих путешествиях. Помимо важной «Книги абака» он также написал «Книгу квадратов» (Liber Quadratorum, 1225), посвященную алгебре, «Практику геометрии» (Practice Geometriae, 1223) и многие другие.
* * *
Школы абака и использование арифметики в торговле оказали заметное влияние на развитие математики той эпохи. К авторам книг и преподавателям школ часто обращались для решения практических задач. Так, Джованни ди Бартоло, преподаватель академии абака во Флоренции, помог выполнить расчеты для постройки купола собора в 1420 году. Тем не менее практическая математика развивалась независимо от теоретической, которую изучали в университетах. Преподаватели школ абака и университетские преподаватели практически не пересекались.
Большинство университетов следовало классическим традициям: в них изучали арифметику Боэция и римские цифры.
Страница из «Книги абака» Фибоначчи.
Распространение арабских цифр также было связано с деятельностью других учреждений, имевших отношение к торговле. Стали появляться учебники по средневековой торговле, в которых излагались правила арифметики, как в итальянском трактате Pratice della mercatura. Наиболее известными из них были Libro di divisamenti di apesi e di misure di mercantie Франческо Бальдуччи Пеголотти, опубликованный в первой половине XIV века, а также труды Антонио да Уццано (1442) и Джорджио Чиарини (1438).
Книги по арифметике торговли были очень популярны, но стоили дорого и были недоступны студентам. В школах абака обычно имелось несколько экземпляров подобных книг. Считается, что они использовались в качестве справочников в торговых домах и служили в некотором роде сводами законов и правил торговли. Первой в истории печатной книгой по математике был учебник по арифметике в торговле, изданный в итальянском городе Тревизо в 1478 году. Второе место в этом списке занимает Summa de Tart d’aritmetica Франсеска Сен-Клемана, опубликованная в Барселоне на каталанском языке в 1482 году. Эта книга была первым учебником по математике, отпечатанным на Пиренейском полуострове. Rechenbuch Ульриха Вагнера, опубликованный в Бамберге (Бавария) в 1483 году, занимает третье место.
* * *
МАТЕМАТИКА ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА
После публикации «Книги абака» наступил переходный период, ознаменовавшийся сменой парадигмы. Исследователи предприняли попытку классифицировать и упорядочить неизмеримое множество книг и трудов, опубликованных в этот период. Выделяют четыре типа книг.
• Теоретические трактаты, авторы которых следовали по пути Боэция.
• Учебники по арифметике, где описывались приемы вычислений с помощью абака.
• Книги, где описывались алгоритмы действий с арабскими цифрами и способы вычислений на бумаге. Основывались на работах аль-Хорезми.
• Работы, в которых описывались системы счисления для составления церковных календарей.
КНИГОПЕЧАТАНИЕ
Изобретателем книгопечатания подвижными литерами считаетсяИоганн Гутенберг (1398–1468), который примерно в 1450 году в немецком городе Майнц создал машину для книгопечатания.
Первые книги были напечатаны в 1449–1450 годах, а в 1454–1455 годах он завершил печать знаменитой 42-строчной Библии (имеется в виду число строк на странице). Общее число страниц составляло 1282, книга делилась на несколько томов (как правило, на два). До настоящего времени сохранились 48 копий Библии Гутенберга. Их стоимость на момент печати равнялась зарплате среднего служащего за три года. Хотя книгопечатание подвижными литерами имело огромное значение (благодаря ему стало возможным издание книг в больших объемах, что привело к одной из величайших культурных революций в истории человечества), Иоганн Гутенберг умер в полной нищете.
Страница Библии Гутенберга.
* * *
Гравюра из «Жемчужины философии» (1508) Грегора Рейша, на которой изображены Боэций и Пифагор, состязающиеся в вычислениях. За ними сверху наблюдает Арифметика. Обратите внимание: Боэций (слева) использует арабские цифры, Пифагор производит расчеты с помощью абака.
Доказательством важности математических текстов по арифметике в торговле служит тот факт, что важнейший труд Евклида «Начала» был отпечатан лишь в 1482 году на латинском языке под названием Elementa Geometriae. «Арифметика» Боэция была отпечатана в 1488 году. Первой печатной книгой по алгебре стала «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (La primera algebra impresa fue la Summa de Arithmetica, Geometrica, Geometria, Proportion! et Proportionalita) Луки Пачоли, опубликованная в Венеции в 1494 году.
В течение всего XVI века печаталось множество текстов с пояснениями и комментариями к этой книге. Они пользовались большой популярностью, так как труд Пачоли был достаточно сложен для понимания. Несмотря на всю важность этих работ, большинство книг того времени было посвящено арифметике в торговле.
Портрет математика Луки Пачоли кисти Якопо де Варбари, выполненный около 1496 года.
* * *
ЗАДАЧА ПО АРИФМЕТИКЕ В ТОРГОВЛЕ
Манускрипт под номером 102 (A. III 27), хранящийся в муниципальной библиотеке итальянского города Сиены, — один из четырех манускриптов, посвященных арифметике, опубликованных до 1500 года, которые сохранились до наших дней. В нем упоминается следующая задача: «Если хочешь знать о человеке, сколько денег в его кармане, поступай так: предположи, что у него 4, скажи ему удвоить их число, и получишь 8, затем добавить 5 и получишь 13, затем умножить всё на 5 и получишь 65, добавить 10 и получишь 75, затем умножить на 10 и получишь 750. Теперь вычти 350 и получишь 400, что соответствует 4, и каждая сотня соответствует числу, посему 400 будет 4».
* * *
Когда арабские цифры попали на Запад, изначально с их помощью записывались только целые числа. Дробные числа по-прежнему записывались в шестидесятеричной системе счисления, как в древней Вавилонии. Кушьяр ибн Лаббан в своей книге «О началах индийской арифметики» обозначает дробные числа как градусы: 1/60 он называет минутой (daqa’iq), 1/(602) — секундой (thawani), 1/(603) — терцией (thawalith), 1/(604) — квартой (rawabf) и так далее. Уже тогда они обозначались теми же символами, которые используются и сейчас: градусы обозначались знаком °, минуты — ', секунды — ", терции — "' так далее.
Лишь в XVI веке Симон Стевин написал трактат, в котором подчеркивалась важность десятичной нотации, в том числе для записи дробей. Он обратился к властям и начал кампанию по распространению этой системы. До Стевина десятичная нотация уже применялась для записи дробей, однако использовалась не повсеместно. Персидский математик и астроном Гияс ад-Дин ал-Каши (1380–1429), один из руководителей Самаркандской обсерватории, использовал эту нотацию за 100 лет до Стевина в своих трудах по тригонометрии и при вычислении числа 71. Ал-Каши также был известен так называемый треугольник Паскаля (таблица Тартальи).
* * *
СИМОН СТЕВИН
Фламандский математик, инженер, физик и семиолог Симон Стевин (1548–1620) в 1585 году опубликовал книгу DeThiende («Десятая»). В этой книге объяснялась десятичная нотация и способы вычисления расчетов в этой нотации. Стевин первым признал существование отрицательных чисел, полученных им при решении задач. Он также создал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Он писал все труды на голландском языке, чтобы их могли понять ремесленники. Его книги были написаны очень просто и пользовались большой популярностью, что способствовало распространению десятичной системы счисления.
* * *
Как мы уже упоминали, персидский математик ал-Каши занимался вычислением числа π. В то время как Цзу Чунчжи вычислил значение π, использовав правильный многоугольник с 12288 = 3·212 сторонами, ал-Каши использовал многоугольник с числом сторон, равным 805306368 = 3·228, и верно вычислил 14 знаков π. Это произошло в 1430 году.
Математики ал-Каши и Людольф ван Цейлен вычислили новые, ранее неизвестные знаки числа π.
Профессор Лейденского университета Людольф ван Цейлен последовал путем ал-Каши и в 1596 году вычислил 20 верных знаков Я, использовав многоугольник с 515396075520 = 60·233 сторонами. Позднее, в 1615 году, он вычислил 35 верных знаков, использовав многоугольник с числом сторон, равным 4611686018427387904 = 262.
Метод вычисления числа Я с помощью многоугольников позволял получить точные результаты, однако многие математики считали, что существуют более эффективные алгоритмы. Они рассматривали возможность вычисления π как суммы или произведения бесконечного числа членов. Первым европейским математиком, который нашел подобное выражение, был Франсуа Виет, один из создателей современной алгебры. Тем не менее ему был неизвестен ряд, полученный Мадхавой из Сангамаграма, о котором мы упоминали в предыдущей главе. Выражение, полученное Виетом, представляло собой произведение бесконечного числа членов, в котором использовался квадратный корень из 2. Это выражение было не слишком удобно, однако оно открыло новый путь к вычислению множества знаков π.
Впервые в истории математики число