n в виде суммы 1/x + 1/y + … + 1/z для всех нечетных n от 5 до 101. Далее приводятся аналогичные представления для дробей вида n/10 при n от 2 до 9.
* * *
ПАПИРУС АХМЕСА
В этом знаменитом египетском папирусе длиной 6 метров приводится 87 разнообразных задач с решениями. Он был написан в период с 2000 по 1800 год до н. э. Его автор Ахмес указывает, что он воспроизводит знания, насчитывающие более двух сотен лет, необходимые для будущих писцов. Таким образом, папирус Ахмса можно считать примитивным учебником по математике. В настоящее время папирус хранится в Британском музее, куда он поступил из коллекции Генри Райнда в 1858 году. (По имени владельца его еще называют папирусом Райнда.) В нем также объясняются действия с дробями.
* * *
Папирус Ахмеса содержит информацию о выполнении действий с дробями, а также позволяет получить представление о типичных задачах, которые решали египтяне, и о способах их решения. Первые задачи папируса Ахмеса — это задачи о делении чисел на 10. При их решении использовалась уже упомянутая таблица чисел вида п/10. Далее приводятся некоторые задачи из арифметики и геометрии, а также задачи, которые можно решить с помощью линейных уравнений вида ах + Ьх = с. Некоторые из задач папируса Ахмеса содержат неизвестные, возведенные в квадрат (в современной нотации), однако, несмотря на это, считается, что египтяне не умели решать уравнения второй и третьей степени.
Большинство задач решаются методом, который сейчас известен как метод ложного положения. Лишь задача 30 решается современным способом — с помощью факторизации и деления. Чтобы объяснить метод ложного положения, рассмотрим в качестве примера задачу 24, которая в наши дни решается с помощью линейного уравнения. Задача звучит так:
«Определите цену кучи, если куча и седьмая часть кучи стоит 19».
В современной нотации условие задачи записывается так: х + 1/7х = 19.
Метод ложного положения заключается в следующем. Мы предполагаем, что неизвестная равна определенному числу, и вычисляем результат для этого значения неизвестной. Так как выбранное нами значение неверно, результат также будет ошибочным, поэтому мы скорректируем значение переменной так, чтобы получить верный результат. Допустим, что цена кучи в нашей задаче равна 7, то есть х = 7. Цена кучи и ее седьмой части будет равна 8. Иными словами, при х = 7х + 1/7x = 8. Далее нужно определить, как следует изменить выбранное нами значение 7, чтобы результат выражения был равен 19, а не 8. Нужно умножить 8 или х на 19/8. Используя только дроби с числителем, равным 1, получим, что 2 + 1/4 + 1/8 = 19/8. Умножив 7 на (2 + 1/4 + 1/8), получим 16 + 1/2 + 1/8. В папирусе также показывается, что это решение верно, так как это значение и его седьмая часть в сумме дают 19.
* * *
ЧИСЛО τ В ЕГИПТЕ
В папирусе Ахмеса приводится древнейшее приближенное значение числа τ, которое несколько больше известного нам: оно равняется 256/81, то есть 3,1604. Возможно, эта оценка является самой древней, но не самой точной. В последующих документах приводятся более точные значения. Из них наиболее близко к истинному 3 + 1/7.
* * *
Все эти расчеты можно было выполнить благодаря изобретению папируса. Ранее использовались таблички из глины, воска и других материалов и выполнять подобные операции на них было сложно и неудобно. Египтяне могли писать на папирусе почти так же, как мы делаем записи на бумаге. Для записи на папирусе было создано иератическое письмо — упрощенное иероглифическое письмо, которое использовали писцы в государственных учреждениях. Позднее появилось демотическое письмо, которое, как следует из названия, использовали простолюдины («демос») в повседневной жизни, а иератическое письмо применялось только для записи религиозных текстов. В ходе упрощения письма форма записи чисел изменилась, и стало возможным появление цифр.
Папирус Эберса (слева), датируемый XVI веком до н. э. Он содержит медицинский текст и является примером иератического письма. В отличие от него Розеттский камень, датируемый II веком до н. э., содержит три типа письма: иероглифическое, демотическое и греческое.
В демотическом письме была решена проблема исходной египетской нотации, в которой каждая степень 10 обозначалась отдельным символом, поэтому для записи, например, числа 9 требовалось девять раз записать символ единицы, для записи числа 99 — девять раз записать символ десятки и девять раз — символ единицы. В демотическом письме были введены отдельные символы для чисел от 1 до 9, для десятков от 10 до 90, аналогично для остальных степеней десяти. Для представления чисел требовалось запоминать соответствующие символы. Может показаться, что запомнить столько символов было непросто, но это не было чем-то непривычным для египетских математиков. Например, для записи сумм и разностей в папирусе Ахмеса используются изображения камней на разных позициях.
Фундаментом греческой математики были вавилонская и египетская математика. Математические методы, созданные египтянами, попали в Грецию благодаря торговле, достигшей расцвета в период между 700 и 600 годом до н. э. Это был золотой век обмена знаниями, когда многие греческие математики совершали путешествия в Египет, чтобы познать секреты тысячелетней мудрости.
Возможно, под влиянием Египта греческие математики проявляли особый интерес к геометрии. В итоге они не просто дополнили геометрию, а вывели ее на принципиально иной уровень. Как и в других областях знания, греки придали математике строгость и абстрактный характер, сделав ее наукой в современном смысле этого слова. В Древнем Египте математические свойства не доказывались: за основу брались конкретные примеры, а свойства выводились из практических наблюдений.
Греки, напротив, стремились найти причину каждого явления и доказать математические свойства, исходя из аксиом. Египтяне искали решения практических задач, а греки обожали знание ради самого знания и занимались математикой не потому, что она была полезной для чего-либо.
С другой стороны, влияние вавилонян прослеживается в греческой астрономии. Именно через Древнюю Грецию вавилонская шестидесятеричная система дошла до наших дней. Слова «минута» и «секунда» имеют греческое происхождение, но в современные языки они попали из латыни. Они впервые упоминаются в источнике XIII века, где одна шестидесятая часть обозначалась как «первая меньшая часть», шестидесятая часть от шестидесятой части — «вторая меньшая часть» и так далее. На латыни эти фразы звучат как pars minuta prima, pars minuta secunda и так далее. Так появились знакомые нам слова «минута» и «секунда». Следует заметить, что в действительности эти слова дошли до наших дней несколько более сложным путем. Латинский текст XIII века был переведен не с греческого, а с арабского подстрочника исходного греческого текста. И снова мы видим, что наследие Античной Греции стало известно западной цивилизации благодаря арабам, бережно охранявшим его на протяжении веков.
Греческая система счисления появилась около 500 года до н. э. в Ионии и была схожа с египетской иератической системой. Например, числа от 1 до 9 обозначались отдельными символами; десяткам от 10 до 90 и сотням от 100 до 900 также соответствовали отдельные символы. В качестве символов использовались буквы греческого алфавита и три буквы финикийского алфавита: дигамма (обозначавшая 6), коппа (обозначавшая 90) и сампи (обозначавшая 900).
С помощью греческих символов можно было записать любое число от 1 до 999.
Для записи тысяч использовались те же символы, перед которыми ставилась запятая. Так, выражение «α» обозначало 1000, «β» — 2000 и так далее. Эта система счисления, как и египетская, была аддитивной; таким образом, число ρκε обозначало 125, так как ρκε = ρ + κ + ε = 100 + 20 + 5. В следующей таблице приведены буквы, соответствующие основным числам.
Для представления чисел, кратных 10000, вплоть до 99990000, использовалась буква М: перед ней записывалось число, которое затем умножалось на 10000.
Буква М обозначала 10000 и происходила от слова «мириада» (греч. myriás — μυριασος), означавшего «сто сотен». В альтернативной записи буквы записывались над буквой М. Например,
а также
Для записи еще больших чисел использовались две буквы М, означавшие 10 0002.
В египетской нотации порядок следования цифр не имел значения, однако в греческой нотации цифры записывались слева направо, как при письме. Цифры, записанные слева, имели больший «вес». Благодаря этому стало возможным отказаться от запятых: они не записывались, если значение числа можно было однозначно понять без них. Однако числа записывались буквами, поэтому иногда их было непросто отличить от обычного текста. Для этого греки ставили пометку в конце числа или добавляли горизонтальную черту поверх него. Так, число 871 записывалось как
или как
Эта нотация не способствовала развитию исчисления и записи чисел на бумаге.
Считается, что для решения арифметических задач греки использовали главным образом абак, а математики должны были использовать символы.
Умножение в Древней Греции выполнялось иначе, чем в наши дни. Сегодня мы складываем произведения первого множителя на каждую из цифр второго множителя. Греки, напротив, умножали второй множитель на каждую цифру первого. Так как вместо цифр использовались символы, значение которых зависело от позиции (в записи «πσ» π означало 80, а не 8), результат при промежуточном умножении получался сразу, без дополнительных действий.
Допустим, мы хотим вычислить произведение 24·53 (в греческой нотации это эквивалентно произведению