От абака к цифровой революции — страница 9 из 24

Квадривиум состоял из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, которые вкупе с тривиумом образовывали семь свободных искусств. В V–VI веках Боэций привел их в систему, однако само понятие свободных искусств упоминается уже в пифагорейских текстах.



Иллюстрация из книги «Сад наслаждений» Гэррады Ландсбергской, посвященная семи свободным искусствам. «Сад наслаждений» был написан в образовательных целях в конце XII века.


БОЭЦИЙ (480–524)

Аниций Манлий Торкват Северин Боэций был христианским философом из знатной семьи, к которой принадлежали несколько императоров. Наиболее известной его работой является De Consolatione Philosophiae («Утешение философией»»), написанная во время тюремного заключения. Боэций рассуждает о неравенстве в мире, следуя за Платоном. Он перевел множество греческих трудов на латынь, чтобы сделать греко-латинскую культуру доступной будущим поколениям. Крах западной Римской империи наступил за четыре года до его рождения, когда последний император Ромул Август был смещен Одоакром, предводителем германского племени.

Многие переводы Боэция были не дословными и содержали многочисленные комментарии. Так, De Institutione Arithmeticae Libri II, которая задумывалась как перевод «Введения в арифметику»» Никомаха Герасского, изобилует материалом, принадлежащим самому Боэцию. Переводы Боэция широко использовались в средневековой Европе.


Боэций в заключении. Миниатюра из «Утешения философией», издание XIV века.

* * *

Со временем были вновь обретены более сложные труды греческих авторов, и в математике стал преобладать средневековый стиль. К сожалению, с уходом от греческого наследия исчезла и сама игра. Уже Лейбниц, великие открытия которого основывались на достижениях средневековой математики, лишь слышал о ней, но ее правила были ему неизвестны.

В математике Боэция числа могут быть равными (aequalis) или неравными (inaequalis). Равенство нельзя разделить на категории, так как это понятие неделимо. Однако можно классифицировать различные виды неравенства. К первой категории (maioris) относились случаи, когда некое число было больше данного, ко второй (minoris) — случаи, когда некое число было меньше данного. Эти категории делились на пять подкатегорий в зависимости от типа отношения между числами. Первая категория содержала кратные (multiplex), сверхчастичные (superparticularis), сверхчастные (superpartiens), кратно-сверхчастные (multiplex superparticularis) и кратно-сверхчастичные (multiplex superpartiens) числа. Вторая категория делилась на подкратные (submultiplex), подсверхчастичные (subsuperparticularis), подсверхчастные (subsuperpartiens), подкратно-сверхчастные (submultiplex superparticularis) и подкратно-сверхчастичные (submultiplex superpartiens).

Как можно убедиться, игра, подобная ритмомахии, значительно помогала прояснить систему Боэция. Для этого позднеримского автора кратным числом было такое, в котором первое число укладывалось n раз. Таким образом, вводились двойные, тройные, четверные числа и так далее. Например, 8 — четверное число для 2.

Число называлось сверхчастичным, если содержало другое число и его часть. Например, 9 — сверхчастичное число для 6, так как 9 = 6 + (1/2)·6. Сверхчастное число содержит другое число и несколько его частей. Например, 9 — сверхчастное для 7, так как 9 = 7 + (2/7)·7. Кратно-сверхчастичные числа содержат другое число несколько раз и одну его часть, кратно-сверхчастные содержат другое число несколько раз и несколько его частей. Например, 15 — кратно-сверхчастичное для 6, так как оно равняется 6 + 6 + (1/2)·6, а 16 — кратно-сверхчастное для 7, так как равняется 7 + 7 + (2/7)·7.

Боэций в своей книге также определял три типа средних величин. Первая из них — среднее арифметическое, определяемое как m = (а + Ь)/2. Его основное свойство заключается в том, что интервалы между ним и данными числами одинаковы. Вторая — среднее геометрическое, определяемое как m = √(а·b). Его основное свойство заключается в том, что а относится к m точно так же, как относится к Ь. Иными словами, а/m = m/b. Третья средняя величина — среднее гармоническое: m = 1/((1/а + 1/Ь)/2), или, что аналогично, m = 2аЬ/(а + Ь).

Как ритмомахия помогала разобраться в этом нагромождении отношений между числами? Очевидно, путем их использования в увлекательной игре. Игра велась на доске шириной 8 и длиной 16 клеток (длина доски могла отличаться). Каждому игроку выдавались 24 фишки с числами, которые были кратными, сверхчастными и сверхчастичными для данных чисел. Игроки использовали математические операции, чтобы снимать с доски фишки противника. Например, если фишка с номером 4 располагалась в 9 клетках от фишки с номером 36, то фишка с номером 36 оказывалась взятой (так как 36 = 4·9). Если фишки с номерами 4 и 8 располагались по бокам от фишки с номером 12, последняя оказывалась взятой (так как 12 = 4 + 8).

Кроме того, в условиях окончания игры фигурировали три средние величины, введенные Боэцием. Например, если одному из игроков удавалось расположить подряд фишки с номерами 2, 4, 6, при этом между ними располагалась фишка противника, это означало конец партии. Почему? Потому что 4 — среднее арифметическое 2 и 6.

* * *

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В АРИФМЕТИКЕ БОЭЦИЯ

«Древним было хорошо известно, что существуют три средние величины: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Они же рассматривались в науке Пифагора, Платона и Аристотеля.

<…> Назовем величину средней арифметической, когда разности между тремя членами или любым другим их числом одинаковы. <…> Теперь объясним среднюю геометрическую, которую лучше было бы назвать средней пропорциональной, так как в ней рассматриваются пропорции.

Поскольку здесь всегда рассматриваются равные пропорции… например 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, или тройная пропорция 1, 3, 9, 27, 81, равно как можно установить четверное, пятерное или любое другое отношение. <…> Среди других средних гармоническая не строится ни с помощью разностей, ни с помощью равных пропорций. Вместо этого средняя гармоническая есть та, в которой составляется наибольшее с наименьшим (частное) и сравнивается (или приравнивается) разность наибольшего со средним и разница среднего с наименьшим. Например, 4, 5, 6 или 2, 3, 6. 6 превосходит 4 на свою третью часть (то есть на 2), 4 превосходит 3 на свою четвертую часть (на 1), 6 превосходит 3 на свою половину (на 3), 3 превосходит 2 на свою третью часть (на единицу)».

* * *



Гравюра 1554 года, на которой изображена доска для ритмомахии.

* * *

ОБНОВЛЕННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БОЭЦИЯ

Определения, данные Боэцием среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому, можно выразить в современной нотации. Рассмотрим три величины: а, b и с. Предположим, что а — наибольшая величина, b — средняя, с — меньшая, то есть выполняется неравенство а>b>с. Можно предположить, что b — среднее арифметическое, среднее геометрическое или среднее гармоническое двух других величин. Среднее арифметическое обладает следующим свойством: разность между соседними членами неизменна, то есть аЬ = Ьс. Это выполняется в случае, когда Ь = (а+ с)/2, что нетрудно вывести из предыдущего равенства.

Среднее геометрическое обладает следующим свойством: соотношение соседних членов неизменно, то есть а/= Ь/с. Это равенство подразумевает, что ас = bb, следовательно, b = √(а·с).

Среднее гармоническое, согласно Боэцию, обладает следующим свойством: соотношение между наибольшей и наименьшей величиной равно соотношению разности большей и средней величины и разности средней и меньшей величины. На языке математики это определение выглядит так: а/с = (аb)/(bс). Из этого равенства можно получить следующее равенство: а(Ьс) = с(аЬ), откуда следует abас = сасЬ, или, что аналогично, ab + сЬ = 2ас. Выразим из последнего равенства и получим b = 2ас/(ас). Эта формула позволяет получить среднее гармоническое а и с, хотя чаще используется следующее выражение: = 2/(1/а +1/с). Это выражение можно получить из предыдущего делением числителя и знаменателя на ас.

* * *

Раймунд Луллий

В своем труде Ars Magna et Ultima («Великое искусство») Раймунд Луллий представил свою логическую систему доказательства истинности. Целью ее создания было объективно доказать мусульманам превосходство христианской религии. Иными словами, он создал логику для доказательства своих рассуждений. Одним из его открытий являются так называемые круги: на этих кругах были записаны понятия, при вращении кругов образовывались различные комбинации, то есть высказывания, которые Луллий считал истинными.



Пример круга из «Великого искусства» Раймунда Луллия.


Новизна логики Луллия состояла в ее направленности на изучение свойств понятий. Следовательно, ее можно считать синтетической логикой, в то время как в ту эпоху доминировала аналитическая логика. Эта новая точка зрения заинтересовала таких мыслителей, как Джордано Бруно (1548–1600) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), которые позднее использовали философские идеи Луллия. Лейбниц применил их в своем выдающемся трактате «Рассуждения о комбинаторном искусстве», опубликованном в 1666 году. По сути, логика Луллия сохранилась до наших дней, так как именно на ней основаны логические системы, лежащие в основе многочисленных современных вычислительных машин.