А.А. Локшин, Е.А. Иванова
Пособие
УДК 51
ББК 22.1
Л73
Локшин А.А., Иванова Е.А.
Л73
Откуда мы знаем, что такое точка?: Пособие. – М.: МАКС Пресс, 2011. – 40 с.
ISBN 978-5-317-03565-5
Пособие адресовано школьным учителям, а также студентам педвузов и педагогических колледжей, изучающим математику. Рассмотрены вопросы моделирования при решении текстовых задач, а также избранные авторами темы из комбинаторики, логики, алгебры и геометрии.
УДК 51
ББК 22.1
ISBN 978-5-317-03565-5
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие4
1. Парадокс математической индукции6
2. Откуда мы знаем, что такое точка?7
3. Текстовые задачи: какой метод предпочесть?9
4. Мысленное моделирование при решении текстовых задач11
5. Усохшие проценты14
6. Правило произведения в комбинаторной задаче о маршрутах16
7. Об одном комбинаторном соотношении21
8. Чему равен нуль-факториал?22
9. Задача о составлении букета24
10. О некоторых трудностях в преподавании логики25
11. Несуществующие объекты и математическая логика27
12. Импликация и время28
13. Коварный куб31
14. Почему деление не дистрибутивно слева?32
15. Обобщенная диаграмма Эйлера33
16. Змей Горыныч и транзитивность35
Литература38
Список обозначений39
В брошюре рассмотрены некоторые вопросы из теории множеств, логики, комбинаторики и элементарной геометрии, недостаточно освещенные в имеющейся литературе и представляющие, на взгляд авторов, интерес для студентов пединститутов
(в особенности, для студентов факультетов начальных классов), школьников-старшеклассников и учителей математики.
Авторы
Москва, 2011
1.ПАРАДОКС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Метод математической индукции является, как известно, могучим инструментом, позволяющим доказывать многие математические утверждения, не поддающиеся иным методам. Соль метода в том, что он позволяет, так сказать, «опереться на недоказанное».
В простейшем случае действие метода выглядит так. Пусть имеется некоторое утверждение A(n), зависящее от натурального номера n (n = 1,2,…). Тогда если A(1) истинно и если из истинности A(n) следует истинность A(n+1), то A(n) истинно при всех натуральных n.
Итак, доказывая истинность A(n+1), мы можем опереться на недоказанную истинность A(n) – великолепная возможность, которую не предоставляют никакие другие методы. (Как мы увидим ниже, за этой возможностью скрывается довольно любопытный парадокс.)
Приведенная выше формулировка метода математической индукции может быть кратко записана, с использованием общепринятых математических терминов, в следующем виде:
(1)
Здесь формулы над чертой – так называемые посылки, истинность которых мы должны предварительно установить, формула под чертой – вывод, истинность которого обеспечивается истинностью посылок; N обозначает множество натуральных чисел.
Парадокс, однако, заключается в том, что, «применяя математическую индукцию», мы пользуемся не методом (1), а другими соображениями.
Действительно, посмотрим, как фактически проводится доказательство «по индукции». Вначале доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1). Однако наш следующий шаг представляет собой мыслительную операцию, в корне отличную от второй строчки в схеме (1). Фактически, мы рассуждаем так:
«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольномn. Докажем, что тогда A(n+1) тоже истинно».
Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в противном случае наше предположение звучало бы так:
«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е. мы предположили бы то, что требуется доказать! (Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись.) В итоге вместо (1) мы пользуемся на самом деле схемой
(2)
Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов (для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.
В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии. В первом параграфе мы уже сталкивались с операцией выбора некоторого произвольного элемента. В статье [2], где эта операция была подробно рассмотрена, отмечалось, в частности, что упомянутая операция неявно апеллирует к существованию у человека свободы воли. Тем самым, как было отмечено в [2], такое понятие как независимая переменная также базируется на предположении о существовании у человека свободы воли[2].
Для преподавателя математики этот вопрос вовсе не является второстепенным – например, на уроках геометрии невозможно обойтись без «выбора произвольной точки».
Любознательный ученик может тогда спросить:
– А что такое произвольная точка? Это то же самое, что случайно выбранная точка?
Ответ преподавателя будет, конечно, отрицательным. Заменив произвольно выбранную точку на точку, выбранную случайно, мы не сможем провести ни одного сколько-нибудь содержательного доказательства. Ведь случайно выбранная точка может совершенно случайно всегда оказываться, например, началом координат…
Но в то же время некоторая произвольно выбранная точка – это не то же самое, что каждая точка. Мы просто физически не можем выбрать каждую точку на плоскости – человек, как утверждают психологи, не способен одновременно уследить больше чем за семью объектами!
Преподаватель математики вовсе не должен перегружать своих учеников философскими размышлениями о наличии или отсутствии свободы воли у человека. Но понимать, что «выбор некоторого произвольного элемента»[3] – это операция, без которой математика беспомощна, на наш взгляд необходимо.
Похоже, однако, что представление о свободе воли является для человека врожденным, а сомнение в ее наличии есть некое «отклонение от нормы». К такому выводу нас подталкивают следующие обстоятельства.
Процитируем вначале учебник по высшей геометрии [3, с. 205]: «…точки, прямые и плоскости как образы нашего геометрического воображения не поддаются математическому описанию».
– Как же так? – может воскликнуть читатель, искушенный в математике. – А как же аксиомы Гильберта или аксиомы Клейна? Наконец, аксиомы Евклида? Разве они не определяют, что такое точка, прямая и плоскость?
– Конечно, определяют, – ответим мы. – Но только в некоем абстрактном пространстве, а не в пространстве наших зрительных образов. То есть определяют, но не то, что нужно…
Иными словами, с помощью логики, опираясь на информацию, поступающую от органов чувств, придти к понятию «точка», по-видимому, невозможно. Но откуда же тогда взялось это понятие?
Процитирую в этой связи статью Александра Маркова («Элементы», 21.06.10):
<<Ключевую роль в пространственном мышлении у млекопитающих играют три группы нейронов: «клетки места», «клетки направления» и «клетки координатной сетки». Две команды исследователей независимо друг от друга обнаружили, что у маленьких крысят, впервые в жизни отправившихся на прогулку, уже есть нормально работающие клетки первых двух типов, и только клетки третьего типа появляются немного позже. По-видимому, это означает, что восприятие пространства у млекопитающих в значительной мере является врожденным.>>
Любопытно сравнить результаты этих опытов с методикой обучения младших школьников понятию «точка» (сообщено авторам Н. Лукановой):
Если просто нарисовать на листе бумаги точку фломастером или ручкой, то у ребенка может создаться впечатление, что точка – это небольшая клякса, поэтому добавляют: «Точка не имеет толщины, точка – это место». Замечательно, что дети легко понимают, что именно имеется в виду.
Приведу теперь еще одну цитату из вышеупомянутой статьи А. Маркова:
<<… известно, что основные нейрологические механизмы пространственного восприятия у людей и крыс примерно одинаковы, поэтому результаты этих исследований почти наверняка приложимы к людям.>>
Однако, если допустить, что представление о точкеявляется для человека врожденным, то, похоже, приходится признать, что врожденным является и (неявное) представление о свободной воле. Действительно, в этом случае врожденным должно быть и представление об окружающем пространстве как о континууме, состоящем из точек. Но что значит добраться из точки