А в точку В по пути АВ? Это значит, что какова бы ни была произвольно взятая точка на этом пути, в ней придется побывать…
Замечание. Итак, “переменная” и ”бесконечность” – понятия , непосредственно базирующиеся на (по-видимому, врожденном) понятии “свобода воли”. А как обстоят дела с обычным (количественным) натуральным числом - неужели и оно опирается на понятие “свобода воли”? На наш взгляд , ответ на этот вопрос , как ни странно, положителен. Действительно, чтобы определить, например, (количественное) число “пять”, нам нужно мысленно соединить тоненькими ниточками пальцы руки с рассматриваемым набором предметов, устанавливая таким способом взаимно-однозначное соответствие между пальцами и этими предметами. Но эта процедура невозможна без представления о том, что ни одна мысленно проведенная нить не должна рваться и мы , путешествуя взглядом вдоль нее, должны побывать в произвольно взятой точке этой нити.
Цель этого параграфа – разобраться в том, при решении какого именно класса текстовых задач алгебраический метод должен в начальной школе уступать место арифметическому методу.
С точки зрения педагога арифметический метод хорош тем, что он одновременно активизирует и наглядно-образное мышление ученика, и его логику. Алгебраический метод обычно быстрее ведет к цели, но в значительно меньшей степени нацелен на развитие мышления в широком смысле этого слова.
Решая задачу арифметическим способом, младший школьник, как правило, оперирует именованными числами, что соответствует наиболее развитому у него типу мышления – наглядно-образному.
В то же время решение задач алгебраическим способом минимизирует нагрузку на наглядно-образное мышление ребенка, решение текстовой задачи в основном сводится к оперированию символами. Научить ребенка такому оперированию, безусловно, важно. Однако, здесь имеются «подводные камни». Дело в том, что при решении некоторых задач, у детей происходит утрата понимания смысла производимых ими математических действий, и задача перестает выполнять свою развивающую функцию, превращается в рутинный «пример». Рассмотрим в этой связи две задачи, предлагавшиеся третьеклассникам, обучавшимся по системе Л.Г. Петерсон.
Задача А. Мышка и птичка (игрушечные) вместе стоят 10 рублей. 5 мышек и 6 птичек стоят 56 рублей. Сколько стоят мышка и птичка по отдельности?
Решение 1(арифметическое).
1) Сколько комплектов игрушек (мышка плюс птичка) можно составить из 5 мышек и 6 птичек? – 5 комплектов.
2) Сколько стоят эти 5 комплектов игрушек? 5·10 = 50 (руб.)
3) Сколько птичек останется без мышек? – Одна.
4) Сколько стоит 1 птичка? 56 – 50 = 6 (руб.)
5) Сколько стоит одна мышка? 10 – 6 = 4 (руб.)
Ответ: мышка стоит 4 рубля, птичка стоит 6 рублей.
Решение 2(алгебраическое). Пусть x – цена мышки, y – цена птички. Тогда система из двух уравнений, соответствующая задаче А, должна была бы содержать именованные величины и иметь вид
Фактически же, математические преобразования обычно проводят над системой, в которой имена величин опускаются; в данном случае – над системой
x + y = 10, 5x + 6y = 56. (*)
Умножая первое уравнение системы (*) на 5 и вычитая его из второго, получаем y = 6, а затем из первого уравнения находим x = 4. Теперь в ответе имена величин вспоминают:
Ответ: мышка стоит 4 рубля, птичка стоит 6 рублей.
Заметим, что действия при решении алгебраической системы (*), в сущности, те же, что и при решении этой задачи арифметическим способом. Как показывает наш опыт, дети в состоянии объяснить смысл каждого преобразования в процессе решения системы (*) на языке наглядных образов. В результате решение, полученное алгебраическим способом, способствует закреплению и упорядочению знаний, служит связующим звеном между наглядно-образным и абстрактным (символьным) мышлением. Рассмотрим теперь другую известную задачу (см., например [5]).
Задача Б. Десять мышек и птичек (птички и мышки настоящие, не игрушечные) съели 56 зерен. Каждая мышка съела 5 зерен, а каждая птичка – 6 зерен. Сколько было мышек и сколько птичек?
Решение(алгебраическое). Пусть x – число мышек, y – число птичек. Составляем соответствующую задаче Б систему уравнений, содержащих именованные величины:
x + y = 10 (животных), 5x + 6y = 56 (зерен). Опуская имена величин, приходим к системе
x + y = 10, 5x + 6y = 56. (**)
Решая ее, получаем: x = 4, y = 6.
Ответ: 4 мышки, 6 птичек.
Система (**) формально совпадает с системой (*) и решается тем же способом, что и система (*). Однако, как показывает наш опыт, дети, решив сначала задачу А алгебраическим способом и дав своему решению правильное истолкование на языке наглядных образов, затруднялись объяснить смысл аналогичных преобразований системы (**). Некоторые говорили так: «Нужно взять пять комплектов животных и вычесть их из 56 зерен…» Причина затруднений, очевидно, была в том, что уравнения системы (**), в отличие от системы (*), содержат величины разных наименований.
На наш взгляд, на начальном этапе обучения область применения алгебраического метода должна быть ограничена текстовыми задачами, решение которых не приводит с системам, содержащим величины разных наименований.
Моделирование «в отрезках», используемое в системе Л.Г. Пе-
терсон, существенно облегчает детям понимание текстовых
задач, в значительной степени устраняет случайное манипулирование числовыми данными.
В то же время, у некоторых детей складывается представление о том, что моделирование в отрезках есть универсальный метод, пригодный для решения «всех задач».
Мы ограничимся здесь рассмотрением текстовых задач для начальной школы, не включающим в себя задачи «на движение».
Эти задачи, как правило, сводятся к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Задача 1. В первый день портной сшил несколько костюмов, а во второй день сшил их в три раза больше. Сколько костюмов сшил портной в первый день, если за два дня он сшил их 16?
Решение. Пусть х – количество костюмов, сшитых в первый день, у – количество костюмов, сшитых во второй день. В результате имеем систему из двух уравнений специального вида:
у = 3х, (1)
х + у = 16. (2)
Совершенно очевидно, что алгебраическая процедура решения этой системы в точности соответствует процедуре решения при моделировании «в отрезках» (см. рис. 4.1).
Однако, научить ребенка мыслить – это, в сущности, научить его строить разнообразные модели. Наш педагогический опыт показывает, что желательно познакомить детей с задачами, для которых модели «в отрезках» не работают и которые, тем не менее, могут быть решены с помощью несложных и наглядных рассуждений. (Что касается алгебраического подхода к решению текстовых задач, то он, позволяя быстро получить ответ при помощи стандартных операций с символами, не способствует развитию образного и логического мышления.)
Задача 2 (см., например, [5]). Когда на каждую елку село по одному соловью, то один соловей остался без елки. А когда соловьи расселись на елках парами, то одна елка осталась без соловьев. Сколько было елок и сколько было соловьев?
Решение алгебраическое. Пусть х – количество соловьев, у – количество елок. В результате имеем систему из двух уравнений:
х = у + 1, (3)
х = (у – 1)·2. (4)
Подставляя х из (3) в (4), получаем
у + 1 = 2у – 2, (4)
откуда у = 3, х = 4.
Попробуем теперь решить эту же задачу при помощи «моделирования в отрезках». Соотношение (3), конечно, может быть изображено графически; однако, после того как масштаб на рисунке, изображающем соотношение (3), выбран, соотношение (4) изобразить «в отрезках» уже не удается. (Точно так же без предварительных алгебраических преобразований не удается изобразить «в отрезках» и равенство (4).)
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании).
1. Представим себе ряд из нескольких елок. На каждой сидит по соловью. Один соловей – «лишний», он висит в воздухе рядом с последней елкой – для него не хватило елки.
2. Пересадим «лишнего» соловья на первую елку, на ней теперь два соловья.
3. Пересадим теперь соловья с последней елки на вторую елку. На второй елке теперь тоже два соловья. А на последней елке – ни одного!
4. Никакие елки, кроме первой, второй и последней уже не нужны. Трех елок хватило, чтобы выполнить все условия задачи.
Ответ: три елки, четыре соловья.
В заключение приведем еще одну задачу, также не допускающую моделирование «в отрезках», но легко решаемую при помощи мысленного моделирования.
Задача 3. В школьном саду посадили клены по 16 штук в каждом ряду и столько же лип по 20 штук в каждом ряду, причем рядов получилось на 2 меньше. Во сколько рядов посажены клены?