Решение алгебраическое. Пусть х – количество рядов из кленов, у – количество рядов из лип. Тогда имеем систему:
у = х – 2, (5)
16х = 20у. (6)
Подставляя выражение для у из (5) в (6), получаем
Нетрудно видеть, однако, что (непосредственно, без предварительных алгебраических преобразований) при помощи моделирования «в отрезках» система (5), (6) не решается.
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании). Будем пересаживать липы так, чтобы они были посажены такими же рядами, как клены. Для этого выкопаем 4 липы из первого ряда и посадим их в новый ряд за последним рядом лип. Чтобы заполнить первый новый ряд, нужно выкопать по 4 липы из первых четырех старых рядов. Чтобы заполнить второй новый ряд нужно выкопать по 4 липы из следующих четырех старых рядов. Поэтому, посадив липы так же как клены, мы образуем 4 + 4 + 2 рядов.
Ответ: клены были посажены в 10 рядов.
Итак, мы видим, что достаточно обширный класс задач, не поддающийся решению при помощи моделирования «в отрезках», может быть решен арифметическим способом при помощи мысленного моделирования. Этот класс задач, безусловно, должен предшествовать в курсе математики задачам, которые рассчитаны на решение алгебраическим способом.
Замечание. В заключение попробуем охарактеризовать задачи, которые могут быть решены при помощи моделирования «в отрезках».
Прежде всего, это задачи, которые сводятся к системе из двух уравнений с диагональной матрицей (коэффициенты системы предполагаются целочисленными). Иными словами – это системы относительно неизвестных х, у вида
x = p, (7)
mx + ny = q. (8)
Системы вида
x = ay, (9)
bx + cy = d, (10)
(где a, b, c, d – целочисленные коэффициенты) также непосредственно, т.е. без предварительного применения алгебраических преобразований, поддаются решению при помощи моделирования «в отрезках». Обе системы (7), (8) и (9), (10) характеризуются тем, что отрезок, изображающий одно из неизвестных (х или у) может быть выбран с самого начала произвольным образом.
В этом параграфе мы разберем еще одну известную текстовую задачу – «на проценты». Алгебраическое решение этой задачи, как правило, вызывает у учеников недоумение и воспринимается ими в известной мере формально.
Задача. В магазин привезли 100 килограммов ягод, влажность которых составляла 99%. Через некоторое время ягоды немного подсохли, и их влажность стала равна 97%. Сколько стали весить ягоды, привезенные в магазин?
Решение. Обозначим через х вес сухого вещества ягод. Имеем из условия:
х = 100 – 100·0,99 = 1 (кг). (1)
После усушки вес сухого вещества ягод, очевидно, не изменился, поэтому, обозначая через у (общий) вес ягод после усушки, очевидно, приходим ко второму уравнению:
(2)
Разрешая систему (1), (2) относительно у, неожиданно получаем:
Ответ: После усушки ягоды стали весить кг.
Итак, усохнув всего-навсего на 2%, ягоды стали почему-то весить втрое меньше…
Продвинутые ученики, понимают, конечно, в чем тут дело, но остальным полученный ответ кажется очень странным и даже неверным.
Тем самым возникает чисто педагогическая проблема – как изложить решение этой задачи, чтобы ее ответ сделался не странным, а, напротив, очевидным?
Как показывает опыт, делу может помочь следующая геометрическая модель (которую, впрочем, редко используют[4]); см. рис. 5.1, где условно принято:
AC = 100 (кг), AB = y (кг),
AD = AD = 1 (кг),
AD = 1% AC, AD = 3% AB.
Глядя на этот рисунок, даже слабые ученики воспринимают тот факт, что если отрезок AD составляет сотую долю известного отрезка AC, а отрезок, составляющий сотую долю от AB, в три раза короче, чем AD, то:
AB = AC, и тем самым AB = = (кг).
В результате обращения к этой геометрической модели, задача оказывается не формально «пройденной», а действительно понятой учениками.
Хорошо известно следующее правило комбинаторики – так называемое правило произведения. Если нужно выбрать упорядоченную пару элементов (a,b) и первый элемент пары можно выбрать
k способами, а после того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать mспособами, то упорядоченную пару, состоящую из этих двух элементов, можно выбрать k∙mспособами.
Доказывается это очень просто. Будем изображать возможный выбор первого элемента пары (a,b)в виде ствола дерева
(см. рис. 6.1), а возможный выбор второго элемента пары – в виде ветки, растущей из верхнего конца ствола (см. рис. 6.2).
Тогда выбору упорядоченной пары вида (a,b)будет соответствовать маршрут от «подножия» одного из k деревьев до верхушки ствола и затем по одной из m веток до самого верха. Нетрудно видеть, что всего таких маршрутов будет
m + m + … + m = m∙k (1)
(слева в (1) k слагаемых). Маршруты мы считаем различными, если они не совпадают хотя бы в одной из своих частей.
Возможна ситуация, когда, например, b11= b21, но в этом случае нам приходится сравнивать маршруты (a1,b11) и (a2,b21), а они различны, ибоa1 ≠a2 по предположению.
Правило произведения легко обобщается на случай, когда требуется сосчитать число возможных способов выбрать упорядоченную тройку элементов или, более общо, упорядоченный набор из n элементов.
Применим теперь правило произведения к решению простейшей задачи. Пусть города А и В связаны сетью дорог, как показано на рис. 6.3.
Ехать из А в В можно только по направлениям, указанным стрелками (так что мы, по существу, имеем дело с ориентированным графом). Спрашивается, сколькими способами можно доехать из А в В? Нетрудно видеть, что выбор первого участка маршрута (до развилки) можно осуществить пятью способами, после чего выбрать второй участок пути всегда (т.е. при любом выборе первого участка) можно тремя способами. Таким образом, применимо правило произведения, и общее количество способов, которыми можно добраться из А в В, равно 5∙3 = 15.
Поставим теперь следующий вопрос: а сколькими способами можно вернуться из В в А? (Разрешается ехать только против направления стрелок на рис. 6.3).
Из рис. 6.3 очевидно, что правило произведения «в обратную сторону» не работает. Тем не менее, понятно, что каждому маршруту из А в В соответствует в точности один маршрут из В в А (мы увидим этот маршрут, если «прокрутим киноленту» в обратном направлении). Значит, вернуться из В в А можно по-преж-
нему 15-ю способами.
Любопытно, что в задачах о маршрутах возникает ситуация, в которой подсчет числа вариантов по-прежнему можно проводить по правилу произведения, но выбор «упорядоченной пары элементов» уже не столь очевиден, как раньше.
А именно, пусть на этот раз города А и В связаны сетью дорог, изображенной на рис. 6.4.
Понятно, что в качестве упорядоченной пары (a, b) здесь следует брать пару: (малый начальный участок маршрута, малый конечный участок маршрута).
Выбор такой пары, очевидно, полностью определяет сам маршрут из А в В, и общее количество маршрутов из А в В вычисляется по правилу произведения и равно 2∙3 = 6. Число маршрутов из В в А тем самым также равно шести.
Возможны еще более любопытные конфигурации дорог между А и В, к которым по-прежнему применимо правило произведения для подсчета числа возможных маршрутов из А в В (и, соответственно, из В в А). Пример такой конфигурации приведен на рис. 6.5.
В ситуации, изображенной на рис. 6.5, маршрут из А в В лучше всего задавать упорядоченной парой точек вида (a, b), которую удается подобрать так, что она однозначно определяет выбранный маршрут. Нетрудно видеть, что после того как выбрана первая точка упорядоченной пары (т.е. выбрана точка a1, a2,a3 или a4) выбор второй точки осуществляется одним из четырех способов. Поэтому в полном соответствии с правилом произведения число различных маршрутов из А в В на рис. 6.5 равно 4∙4 = 16.
Рассмотрим еще один пример, когда маршрут из А в В определяется выбором упорядоченной тройки точек вида (