n элементов по k элементов.
Соображения вида (3) обычно считаются само собой разумеющимися и, как правило, опускаются в разделах, посвященных комбинаторике. Однако, на наш взгляд, проведенное рассуждение заслуживает большего внимания и, быть может, даже специального названия – например, «обобщенного правила произведения».
Разобранную выше задачу можно слегка видоизменить, причем изложенный выше прием снова продемонстрирует свою полезность.
Задача 2. Имеется 5 одуванчиков и 19 репейников. Сколькими способами можно составить из них букет, состоящий из десяти цветков и содержащий не менее трех одуванчиков?
Ответ:
Каждый педагог, ведущий начальный курс логики, сталкивается с необходимостью иллюстрировать логические законы на примерах, взятых из естественного языка. Здесь, однако, преподавателя логики подстерегают трудности, связанные с тем, что язык логики и естественный язык – неизоморфны.
Пример 1. Попробуем проиллюстрировать закон де Моргана
(1)
(Здесь символы , и обозначают соответственно отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний.)
Рассмотрим высказывание
«Я не буду поступать в МГУ и в МПГУ». (2)
По вышеприведенному закону де Моргана высказывание (2), казалось бы, следует понимать так:
«Я не буду поступать в МГУ или я не буду поступать в МПГУ», т.е.
«Я не буду поступать хотя бы в одно из этих учебных заведений». (3)
Однако, в естественном языке фраза (2) имеет вполне определенный смысл, не совпадающий с (3). А именно, смысл (2) таков:
«Я не буду поступать в МГУ и я не буду поступать в МПГУ». (2)
Таким образом, использовать примеры вида (2) для иллюстрации упомянутого выше закона де Моргана – нельзя.
Еще более интересная ситуация возникает, когда мы имеем дело с высказываниями, содержащими кванторы общности и существования .
Пример 2. Рассмотрим, например, следующий закон отрицания высказываний с квантором общности
(4)
заметим при этом, что «утверждение»
«» (4а)
является грубой ошибкой.
Попробуем теперь проиллюстрировать закон (4), отрицая высказывание:
«Каждый сумеет решить эту задачу». (5)
В соответствии с законом (4), правильно построенное отрицание имеет вид:
«Найдется человек, который не сумеет решить эту задачу». (6)
Однако, вопреки тому, что (4а) является грубой ошибкой, высказывание:
«Каждый – не сумеет решить эту задачу» (6а)
является вполне допустимым в естественном языке отрицанием высказывания (5).
Приведенные выше примеры говорят о том, что иллюстрации к законам логики, взятые из естественного языка, следует подбирать с осторожностью, а сам факт отсутствия изоморфизма между языком логики и естественным языком – следует подчеркнуть в самом начале вводного курса логики.
Выше мы уже говорили о том, что в преподавании начального курса логики имеются своеобразные трудности, связанные с отсутствием изоморфизма между естественным языком и языком, на котором написаны логические формулы.
Сейчас эта тема будет продолжена в несколько ином направлении.
Как хорошо известно, в математике не существует запрета на введение (временных) обозначений для несуществующих объектов. Например, если требуется решить в целых числах уравнение
то через x обозначают искомое (несуществующее) целочисленное решение, и лишь затем убеждаются, что такого решения нет.
Строго говоря, здесь следовало бы рассуждать от противного; однако, даже рассуждая со всей строгостью от противного, мы по-прежнему вынуждены вводить обозначение x для несуществующего объекта.
Здесь мы коснемся этого же вопроса применительно к преподаванию темы «Высказывания» в курсе логики. Разбирая эту тему, преподаватель неизбежно сталкивается с несуществующими объектами, которые ведут себя довольно парадоксальным образом.
Рассмотрим, например, высказывание:
Все Деды-Морозы делают подарки детям. (1)
Это высказывание, очевидно, следует считать истинным. Действительно, его отрицание выглядит следующим образом:
Существует Дед-Мороз, который не делает подарков детям. (2)
(Поскольку Дед-Мороз не существует, высказывание (2) – ложно, и, значит, высказывание (1) истинно.) В высказывании (1) мы имеем дело с (пустым) множеством, состоящим из всех Дедов-Морозов; ситуация радикально меняется, если мы имеем дело не с множеством, а с «единичным объектом», которого на самом деле не существует.
Действительно, рассмотрим теперь такое высказывание:
Дед-Мороз принес подарок Васе. (1)
Однако (1) в отличие от (1), очевидно, ложно! Дело в том, что (1), в сущности, следует рассматривать не как простое, а как составное высказывание:
Дед-Мороз существует и Дед-Мороз принес подарок Ване. (1)
Итак, здесь мы вновь столкнулись с неизоморфностью естественного языка и языка формальной логики, о чем, без сомнения, следует помнить преподавателю.
Теперь мы обсудим некоторые довольно любопытные вопросы, касающиеся взаимодействия хода логических рассуждений с ходом времени.
Общеизвестно, что никакое минимально содержательное рассуждение в естественном языке не может обойтись без слов «если…, то…». В логике аналогом этого союза является операция импликация.
Напомним, однако, что в отличие от естественной речи, где союз «если …, то…» применяется к парам высказываний, связанным по смыслу, имитирующая этот союз импликация применима к любой паре высказываний, независимо от того, связаны эти высказывания по смыслу или нет.
В частности, в силу введенного в формальной логике определения, условились считать истинными не только такие высказывания как «Если данное число делится на 9, то оно делится на 3»,но и высказывания вида: «Если дважды два – четыре, то Волга впадает в Каспийское море», а также высказывания, составленные из таких пар, в которых первое из двух утверждений (посылка) ложно: «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Каспийское море»; «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Аральское море».
Может показаться, что импликация (обычно обозначаемая стрелкой →) представляет собой безобидное непосредственное обобщение союза «если…, то…». Но тогда логические законы, справедливые для операции →, казалось бы, не должны приводить к противоречию, если пользоваться ими в естественной речи.
Одним из таких законов является закон контрапозиции, утверждающий, что при любых истинностных значениях высказываний А и В высказывания А → В и (не В) → (не А) равносильны (т.е. одновременно истинны или одновременно ложны).
Рассмотрим теперь общеизвестную истинную импликацию
«Если ветер дует, то деревья качаются». (1)
Тогда высказыванием, противоположным к обратному (по отношению к (1)), очевидно, будет
«Если деревья не качаются, то ветер не дует». (1)
В полном соответствии с законом контрапозиции это высказывание также оказывается истинным.
Посмотрим теперь, что будет, если мы переформулируем оба утверждения (1) и (1) в прошедшем времени. Тогда наши утверждения примут соответственно вид
«Если ветер дул, то деревья качались»; (2)
«Если деревья не качались, то ветер не дул». (2)
Вновь оба утверждения оказались истинными (и закон контрапозиции по-прежнему не нарушен).
Сформулируем теперь наши высказывания в будущем времени. Казалось бы, ничто не предвещает «краха» закона контрапозиции. Однако, мы получаем следующий довольно странный результат:
«Если ветер будет дуть, то деревья будут качаться»; (3)
«Если деревья не будут качаться, то ветер не будет дуть». (3)
Неужели закон контрапозиции неверен?
Объяснение кажущегося парадокса состоит в следующем.
В естественном языке мирно сосуществуют два различных по смыслу союза «если…, то…». Первый из них, который мы назовем логическим следованием, фактически утверждает:
«Если А, то одновременно с А имеет место и В».
Второй из упомянутых союзов, который мы назовем причинным следованием, в развернутом виде утверждает нечто иное:
«Если с некоторого момента А, то вскоре после этого имеет место и В».
Операция →, с которой мы имели дело всюду выше, представляла собой обобщение именно логического следования. Закон контрапозиции, справедливость которого установлена в формальной логике для операции →, вне всякого сомнения верен и для этого первого смыслового значения союза «если…, то…». При этом использование будущего времени при формулировке высказываний А и В никак не влияет на справедливость закона контрапозиции для операции логического следования. Например, одновременно истинны высказывания:
«Если число, которое ты задумаешь, будет делиться на 9, то оно будет делиться и на 3»