[6]. Поразительно, что большинство людей с ходу решают ее неверно, отвечая «четыре с половиной рубля», а после совершенно не в силах объяснить свое решение. Которое, конечно же, элементарно. АРБУЗ = 3 + 1/2 АРБУЗ (АРБУЗ – цена арбуза). Упрощая, получаем 1/2 АРБУЗ = 3, отсюда сразу же АРБУЗ = 6, шесть рублей и ни копейкой меньше.
76. Карточная башня
Представьте, что вы попали на карточную фабрику – такую, где производят игральные карты. В пересменок никого нет, и можно немного пошалить. Вы начинаете выкладывать друг на друга карты (которых в вашем распоряжении бесчисленное множество), причем таким образом, что каждая следующая карта максимально нависает над предыдущей, еще чуть-чуть, и сорвется. Какой может быть максимальная длина (не высота! Речь именно о горизонтальных размерах) такой башни?
1. Длина двух карт.
2. Длина π (π = 3,1428…) карт.
3. Ничем не ограничена!
Вся штука вот в чем: чтобы башня не падала, необходимо, чтобы ее центр масс всегда был в устойчивом положении. Когда кладем вторую карту (на первую), она устойчива, если высовывается наружу не далее чем на половину длины. Далее показывается, что третья карта должна высовываться не больше чем на треть, четвертая – на четверть и т. д. Складывая все эти длины, получим горизонтальный размер башни: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… – а это есть не что иное, как знаменитый гармонический ряд, и сумма этого ряда есть бесконечность! Правда, бесконечность довольно вялая – сумма гармонического ряда растет логарифмически, а ничего медленнее логарифма в природе не существует. Это такая функция-черепаха: возьмите логарифм по основанию 2 от числа 16, log216 = 4, а от умопомрачительного 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 («миллион триллион триллионов») такой логарифм равен… всего лишь 100! Но тем не менее логарифм неограниченно растет.
77. Сколько вешать в граммах?
Почему цены на все жидкости (воду, сок, бензин и т. д.) указывают в пересчете на объем (рублей за литр) и только на мед в пересчете на вес («за килограмм»)?
1. Потому что мед тяжелее.
2. Такова традиция.
3. Да не такая уж мед и жидкость, глянешь на засахаренный – он скорее твердый.
Любопытно, что большинство жидкостей, известных нам в быту, имеют примерно одинаковую плотность, близкую к плотности воды (1 кг/л). В том, что такую плотность имеют сок, молоко и газировка, нет ничего удивительного – все же они по большей части из воды и состоят. Но также и спирт, и бензин, и керосин, и всяческие денатураты – все близки по плотности к той же воде. Поэтому-то у многих людей в голове держится нелепое равенство «килограмм равен литру», притом что это вообще разные единицы измерения. Но вернемся к нашему меду – он-то как раз выделяется из этого ряда тем, что существенно, почти в 1,5 раза, тяжелее. И если выставить на него ценник «за литр», то цена меда будет в 1,5 раза выше, чем «за килограмм», раз в одном литре его полтора килограмма. Ну вот и представьте, стоят два торговца, у одного объявление «600 руб./л», у второго «400 руб./кг», вы к какому пойдете? Бьюсь об заклад, что ко второму. Даже понимая, что это на деле одна и та же цена.
78. Тут у вас ошибочка!
На занятии по алгебре профессор выписывает различные выражения, среди которых странное равенство «100 + 100 = 1000».
– Профессор, тут у вас ошибочка, так не бывает! – кричат ему из зала.
Профессор возвращается к равенству, перепроверяет – нет, говорит, здесь все верно.
Как такое может быть? Профессор бредит или у равенства и правда есть какой-то смысл?
1. Переутомился профессор, увы.
2. Очевидно, это тождество «8 = 8».
3. Подобное равенство возможно в случае комплексных чисел, профессор просто пропустил мнимую единицу.
Все мы настолько привыкли к десятичной системе счета (когда любое число, например 234, означает 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1), что обычно даже не задумываемся о том, что существуют какие-то еще. А они существуют, причем их сколько угодно: в качестве основания для счета можно же брать любое целое число! Правда, если это число больше десяти, то вам уже не хватит привычных десяти цифр, придется добавлять новые. Так, у компьютерщиков в ходу шестнадцатеричная (hexadecimal) система, в которой «цифры» с 10 по 15 заменены буквами ABCDEF, к примеру число FF = 15 × 16 + 15 = 255. Те же компьютерщики широко используют и двоичную систему, и нетрудно проверить, что в двоичной системе наше равенство действительно выполняется: 100 на наши деньги (т. е. в десятичной системе) – это 4, 4 + 4 = 8, переводим 8 (это 2 в кубе) обратно в двоичную систему – получаем 1000. Ну и осталось сказать, что ни в какой другой системе, кроме двоичной, это равенство выполняться не будет. Возьмем, например, систему счета по основанию 3, там 100 – это 9 в десятичной системе, 9 + 9 = 18, и, переводя обратно, получаем… 200! Несложно показать, что вообще во всех системах 100 + 100 = 200. Во всех, кроме двоичной, – потому хотя бы, что в ней вовсе не используется цифра 2, все числа записываются нулями и единицами.
79. За какое время?
Пять асфальтобетоноукладчиков укладывают 5 га асфальтобетона за 5 ч. За какое время 25 асфальтобетоноукладчиков уложат 25 га асфальтобетона?
1. За 1 ч.
2. За 5 ч.
3. За 25 ч.
75 % людей дают к этой задаче неправильный ответ – 25 ч. Видимо, они руководствуются таким житейским рассуждением: раз в первом случае всего по пять (асфальтобетоноукладчиков, гектаров и часов), то во втором должно быть по 25. Житейские рассуждения полезно поверять математикой: мысленно разделим наши 25 га на пять крупных участков (по 5 га каждый), отрядим на каждый по пять асфальтобетоноукладчиков и тем самым на каждом участке сведем второй случай к первому. Там, как мы знаем, асфальтобетон укладывают за 5 ч, а поскольку на всех участках работать можно одновременно (раз в условии не оговорено иное), то это и будет ответ нашей задачи.
80. Сколькими способами?
Сколькими способами можно разбить число 64 на сумму 10 различных слагаемых, которые все являются натуральными числами и при этом максимальное из них равно 12? (Порядок следования слагаемых в сумме не имеет значения.)
1. Такого способа не существует.
2. Единственным способом.
3. Четырьмя способами.
Поскольку порядок слагаемых в сумме по условию не играет роли, мы можем расположить их в порядке возрастания: 64 = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j и при этом a<b<c<d<e<f<g<h<i<j = 12. Поскольку j всегда равно 12, мы можем переписать равенство в виде 52 = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Вообще, заметим, что для натуральных a, b, c… меньших 12 сумма a + b + c + d + e + f + g + h + i принимает значения от 45 (для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) до 63 (для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), так что есть основания надеяться, что для каких-то значений будет получаться и сумма 52. Действительно, это будет происходить для следующих наборов: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11} – и только в этих четырех случаях.
81. Максимальный выигрыш
Вы купили три лотерейных билета. Последовательно открываете билеты и смотрите размер выигрыша, по правилам лотереи вам вручат только тот приз, который указан на последнем открытом билете. Как обеспечить себе максимальный возможный выигрыш?
1. Открыть первый билет, если размер выигрыша вас устраивает, больше билетов не открывать.
2. Открыть первый билет, затем второй, если выигрыш на втором больше, чем на первом, останавливайтесь на этом билете, в противном случае переходите к третьему.
3. Никак, любой билет дает максимальный выигрыш с одинаковой вероятностью 1/3.
Для определенности: пусть один билет выигрывает $1, второй $2, третий $3. Мы их так и обозначим: 1, 2, 3. Последовательность вытягивания билетов может быть такой (все возможные варианты, совершенно равновероятные): 123 (А), 132 (Б), 213 (В), 231 (Г), 312 (Д), 321 (Е). Если мы будем действовать по выбранному плану, то в половине случаев (Б, В, Г) мы обеспечим себе максимальный выигрыш ($3), в двух случаях (А и Д) средний выигрыш ($2) и только в одном (Е) – минимальный ($1). 50 % на получение максимального приза – это гораздо лучше, чем средние 33 % (1/3), которые были у нас изначально. Любопытно, что в случае N билетов, где при случайном выборе билета вероятность получения максимального приза равна 1/N (если N = 100, то это всего-то 1 %), схожим образом можно обеспечить себе большую вероятность выбора билета с максимальным выигрышем: пропускаем N/e билетов (e ≈ 2,718281828… – основание натурального логарифма, см. также задачу № 85), а после выбираем билет с первой максимальной (большей всех предыдущих) суммой приза. В этом случае вероятность угадать составляет 1/