e ≈ 0,37, это больше, чем один к двум, очень хорошие шансы! Подробнее – в книге Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».
82. Пельменный чемпион
В Омске проводят конкурс по поеданию пельменей – кто осилит больше. К финалу допускаются только те, кто способен съесть не менее сотни. В финал вышли четверо: Александр, Борис, Владимир и Геннадий. Известно, что победил Александр, Борис с Владимиром на пару съели 599 пельменей, а всего в финале их уничтожили ровно 1000 штук.
Сколько же съел победитель?
1. 300 пельменей.
2. 301 пельмень.
3. 302 пельменя.
Для краткости обозначим съеденное каждым «спортсменом» по первым буквам их имен: А, Б, В и Г. Мы знаем, что А + Б + В + Г = 1000, Б + В = 599 (и, значит, А + Г = 401) и что А, Б, В, Г ≥ 100. Отсюда следует, что А ≤ 301, но тогда Александр может быть победителем только при условии, что Борис съел 300, а Владимир 299 (или наоборот, что нам совершенно неважно – мы не интересуемся занявшими второе и третье места; важно, что если кто-то из них слопал 301 или больше, то Александр уже никак не может победить), Геннадий съел ровно 100, а Александр 301 пельмень. Это и есть ответ.
83. Землекопы
Три землекопа могут вскопать 1 га за 2 ч. За какое время им удастся вскопать 3 га, если прикомандировать к ним еще двух столь же работоспособных землекопов?
1. За те же 2 ч.
2. За 2 ч 40 м.
3. За 3 ч 36 м.
Если действовать по всем правилам, то сначала нужно посчитать производительность одного землекопа – это 1/3 га за 2 ч, т. е. 1/6 га/ч. Теперь, чтобы найти время обработки 3 га пятью землекопами, нужно взять 3 га, разделить на производительность одного землекопа и на число землекопов, получим 18/5 = 3,6 ч, или 3 ч 36 м. Но можно и грубо прикинуть, без детальных расчетов: объем работ вырос втрое, а производительность бригады в 5/3 ≈ 1,7 раза. Вспоминая, что 1,7 – это примерное значение √3, сразу получаем, что время работы должно увеличиться где-то в те же 1,7 раза. Из предложенных вариантов ответа только третий близок к этому значению, его и берем.
84. Считаем в уме I
Чему равняется произведение 748 × 1503?
1. 1 096 124.
2. 1 124 244.
3. 1 244 124.
Казалось бы, что может быть интересного в перемножении двух чисел? Берешь калькулятор и считаешь. Но с калькулятором и правда ничего интересного – иное дело попробовать посчитать в уме. Со всеми такими задачами главное – считать не в лоб, а попытаться увидеть, как можно облегчить себе работу. В конкретном нашем примере запишем 748 как (1500 – 4)/2, а 1503 как (1500 + 4) – 1, тогда получим: 748 × 1503 = (1500 – 4) (1500 + 4)/2 – 748. Вспоминая, что (a – b) × (a + b) = a² – b², получаем: 748 × 1503 = 1500²/2 – 4²/2 – 748 = 2 250 000/2 – 756 = 1 125 000–756 = 1 124 244. Возможность посчитать в уме (хотя бы приближенно, не всегда нужна совершенная точность) – очень важный навык. Знаменитый физик Ричард Фейнман посвятил этому целую главу в своей книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»[8], там он вычисляет в уме не только произведения, но и логарифмы, и кубические корни.
85. Считаем в уме II
С точностью до третьей значащей цифры посчитайте в уме корень 100-й степени из числа e (e = 2,718281828… – основание натурального логарифма). Это будет:
1. 1,01.
2. 1,04.
3. 1,11.
Чтобы решить эту задачку, нужно помнить две вещи. Первое: извлечь корень n-й степени – то же самое, что возвести в степень 1/n, √n(a) = a1/n, в нашем случае нужно отыскать значение e в степени 1/100 = 0,01. Второе: при малых значениях аргумента функция ex (экспоненциальная функция, фундаментальная в математике – встречается без малого везде) может быть приближенно записана совсем просто: ex ≈ 1 + x. Значит, искомое значение составит 1 + 0,01 = 1,01. Сравним с более точным (до 10-го знака) значением – это 1,010050167, великолепное совпадение! Приближенные методы, вообще, бывают довольно точны (главное контролировать эту точность). Скажем, корень десятой степени из e равен 1,105170918, а вычисленный по нашей приближенной формуле – 1,1, разница в полпроцента. Правда, если мы посчитаем e1 (равно e, если считать точно, и 2 по нашей формуле), то разница будет уже ощутимой, что объяснимо: для таких больших значений x наше приближение уже плохо работает, увы. Но его можно продолжать уточнять, почитайте, если интересно, про разложение экспоненты в ряд Тейлора, вы узнаете, что при любом (sic!) значении x, даже при миллионе или миллиарде, можно приближенно записать эту функцию полиномом (степенной функцией) с желаемой точностью!
86. Считаем в уме III
В уме возвести 2 в 18-ю степень. Это:
1. 256 256.
2. 258 724.
3. 262 144.
Любой программист (а нынче и простой пользователь электронных гаджетов, который, например, изучал надписи на карте памяти и узнал, что 1 Гб – это вовсе не 1000 Мб, а 1024) знает, сколько будет 210 – чуть больше тысячи, точнее, те самые 1024. А 220 – соответственно 1024 × 1024. Но как это поможет вычислить 218? Очень просто: 218 = 220 ∕ 22 = 1024 × 1024 ∕ 2 × 2 = 512 × 512. А это уже совсем просто посчитать, вспомнив, что (a + b) × (a + b) = a² + 2ab + b² (сравните с задачей № 41). Применительно к нашему примеру (500 + 12) × (500 + 12) = 500² + 2 × 12 × 500 + 12² = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144.
87. Считаем в уме IV
Что больше – десять в пятой степени или пять в десятой?
1. 105> 510.
2. 510> 105.
3. Возможно, они равны?
Сколько будет 105, мы, конечно же, знаем – это единица с пятью нулями, 100 000. А 510? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 1010/210, а поскольку 210, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10³, получаем 510 ≈ 1010/103 = 107 = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m>n, всегда ли, как в этом случае, nm больше, чем mn? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2³ (8) меньше, чем 3² (9), а когда m = 4, то 24 и 42 и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2m>m².
88. Братья и сестры
У Саши сестер на двое больше, чем братьев. На сколько у Сашиных родителей больше дочерей, чем сыновей?
1. На одну.
2. На три.
3. Невозможно определить.
Предположим для простоты, что у Саши две сестры и вовсе нет братьев. Тогда дочерей у Сашиных родителей на три больше, чем сыновей, если Саша девочка, и на одну, если он мальчик. Поскольку Саша – имя универсальное, может быть как мужским, так и женским, пол Саши определить не представляется возможным, как и ответить на поставленный в задаче вопрос.
Физика
89. Льдина в бассейне
В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне?
1. Повысился.
2. Понизился.
3. Остался неизменным.
Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю – вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления.
90. Без весла
Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет?
1. Разрази его гром, прав! Поплывет носом вперед.