44. Sneppen K., Trusina A., Jensen M. H., Bornholdt S. (2010). A Minimal Model for Multiple Epidemics and Immunity Spreading. PLoS ONE 5(10): e13326.
45. Contoyiannis Y., Stavrinides S. G., Hanias M. P., Kampitakis M., Papadopoulos P., Potirakis S. (2020). Self-Organized Criticality in an Epidemic Spread Model, preprint.
46. Stassinopoulos D., Bak P. (1995). Democratic Reinforcement. A Priciple for Brain Function. Physical Review E51, 5033.
47. Carlson J. M., Doyle J. (1999). Highly optimized tolerance: a mechanism for power laws in designed systems. Phys. Rev. E Stat. Phys. Plasmas Fluids Relat. Interdiscip. Topics 60, 1412–1415.
48. Allen B., Stacey B. C., Bar-Yam Y. (2014). An information-theoretic formalism for multiscale structure in complex systems, arXiv:1409.4708.
49. Bar-Yam T., Lynch O., Bar-Yam Y. (2018). The Inherent Instability of Disordered Systems. arXiv: Physics and Society.
Глава VI. Первая цифровая трансформация
Появление смысла в психоанализе подобно внезапному появлению на поверхности острия швейной иглы, пронизывающей и соединяющей несколько слоев пережитого.
Жак Лакан, французский психоаналитик, философ
Эргодичность и неэргодичность: разные исходы для русской рулетки
Рассмотрение материальных основ биологической самоорганизации и сложности представляется наилучшим начать с краткого, насколько возможно, рассмотрения понятий эргодичности и неэргодичности динамических систем. Обсуждая в предыдущей главе второе начало термодинамики и энтропийную теорию, указывалось, что в формуле Больцмана для энтропии описывается средняя энтропия системы, то есть взятая из совокупности всех возможных микросостояний системы. Но эти микросостояния могут быть взяты двумя способами: временным, когда система в течение неограниченного времени «естественным образом» проходит их по какой-то траектории одно за другим, и ансамблевым, когда все возможные состояния берутся сразу.
Некоторым примером может служить вычисление среднего значения игральной кости: один игрок может некоторое, достаточно большое, число раз подбросить одну игральную кость (временной подход) или несколько игроков могут одновременно подбросить свои кости и сосчитать среднее (ансамблевый подход). В самом общем случае эргодическими (то есть обладающими эргодичностью) системами называют такие, в которых временное и ансамблевое среднее равны, а неэргодическими – в которых они различаются.
Современные статистическая физика и термодинамика, условно начиная с Больцмана и Гиббса (а точнее – с их наиболее известных интерпретаторов – Пауля и Татьяны Эренфестов (Ehrenfest P. And Ehrenfest T., 1911), исходят из эргодичности рассматриваемых систем. Вообще, тотальный отказ от этого принципа может привести к довольно серьезным последствиям – например к пересмотру, или, по крайней мере, корректировке второго начала термодинамики, понятия энтропии и закона ее всеобщего нарастания. В любом случае современная статистическая физика вполне признает возможность существования и неэргодических систем в первую очередь для таких ситуаций, в которых вероятность достижения некоего микросостояния определяется всей предыдущей историей (траекторией микросостояний).
Рассмотренной концепции динамического хаоса в системах со странными аттракторами образуется множество переплетений траекторий состояния системы, создающих множества бифуркаций, и поведение системы в этих точках оказывается зависимым от совокупности всех предыдущих состояний системы и в условиях практической невозможности их вычислить – непредсказуемым, то есть случайным.
Системы самоорганизованной критичности (СОК) также безусловно неэргодические. К неэргодическим могут быть отнесены и все биологические и социальные системы, хотя бы из представления о необратимости ключевых биологических процессов: игра в русскую рулетку ансамблевым и временным способами даст очевидно совершенно различные результаты. Зависимость динамики неэргодических систем от совокупности своих предыдущих состояний, своей истории, может быть названа своеобразной памятью системы. Но неэргодичностью обладают и некоторые неорганические структуры. Так, впервые Robert Laughlin и David Pines (2000), а впоследствии и более пристально Евгений Кунин, Михаил Каценельсон и Юрий Вольф (Wolf Y.I., Katzenelson M.I., Koonin E.V., 2018) обращают внимание на исключительную похожесть стеклообразных и биологических систем: их объединяют стохастичность/неэргодичность, с одной стороны, и фундаментальная сложность, с другой. С учетом свойственного обоим видам систем эволюционного развития по типу прерывистого равновесия они одинаково могут быть описаны как примеры систем СОК.
Если рассматривать стеклообразные структуры, то есть структуры, находящиеся в динамической промежуточной форме между равновесным и неравновесным состояниями, то их ведущей особенностью можно назвать феномен «старения» или структурной релаксации, как выражение этого переходного состояния. Материалы в равновесном состоянии сохраняют неизменность физических свойств после, например, фазовых переходов: вода после циклов замораживания – оттаивания будет иметь абсолютно одну и ту же теплоемкость. Для стекла некоторые физические параметры будут в похожих случаях изменяться, хоть и очень незначительно: стекло в ходе, например, своей тепловой эволюции будет каждый раз находить новый минимум потенциальной энергии, отличающийся от предыдущего.
К сожалению, на данный момент не существует еще общепризнанной полной теории стекла (стеклообразного состояния). Определенную полноту представлений дает модель спиновых стекол Шеррингтона-Киркпатрика (Kirkpatrick S. and Sherrington D., 1978). Модель описывает систему, состоящую из некоторого большого числа элементов – спинов, принимающих значения +1 или -1 и попарно взаимодействующих совершенно случайным образом. Изначально модель предназначалась для интерпретации необычных фазовых состояний в физике, например разбавленных магнитных сплавов – немагнитных материалов с магнитными примесями, где между магнитными ионами возникают неупорядоченные дальнодействующие электрон-опосредованные взаимодействия, а необычные свойства определяются конкуренцией ферромагнитных и антиферромагнитных взаимодействий. Однако оказалось, что она довольно точно описывает общую схему попарных взаимодействий, в том числе вне физики, например в теориях нейронных сетей (Hopfield J. J., 1982) или биологической эволюции (Holland J. H., 1992; Редько В. Г.,1990).
В самом общем виде, согласно модели Шеррингтона-Киркпатрика, текущее состояние стекла может быть определено одним «параметром порядка», представляющим собой последовательное описание в двоичной форме эволюции системы через ее выборы энергетического состояния в точках бифуркации. Вообще, материалы со свойствами спиновых стекол характеризуются медленным достижением состояния равновесия (если вообще достигаемым), нарушением эргодичности, возможностью фазового перехода и попадания в состояние фрустрации (см. ниже).
Для более общего описания состояния спинового стекла можно отметить, что в теории металлов оно иногда признается как одно из квантовых состояний вещества (низкоэнергетическое со случайными спиновыми взаимодействиями) наряду с проводниковым состоянием ферми-жидкости Ландау, диэлектриками Мотта (веществами, проявляющими свойства изоляторов, хотя по теории электропроводимости обязанные быть проводниками) и «странными металлами», к которым относятся все сверхпроводники и некоторые материалы без сверхпроводимости (Peter Cha et al., 2020). В «странных металлах» электроны активно рассеивают энергию, при этом передвигаются очень медленно, вовлекаясь в каскады взаимодействий, в отличие от обычных металлов со свободным перемещением электронов и небольшим количестве взаимодействий. При этом в «странных металлах возникают элементы коллективного поведения частиц, с одной стороны, и квантовая запутанность между отдельными частицами, с другой» (Jan Zaanen, 2019).
Стекло, как и любой материал, стремится к минимизации своего энергетического состояния, но не может в полной мере достигнуть его, то есть оказывается в так называемом состоянии фрустрации – в физико-математическом, разумеется, смысле. Здесь под фрустрацией понимается свойство данной конфигурации межатомных и межмолекулярных взаимодействий, состоящее в невозможности минимизировать энергии всех связей системы ни одним из возможных наборов значений своих динамических переменных. Это состояние вытекает из наличия нескольких конкурирующих между собой взаимодействий, например дально- и близкодействующих. В простейшей модели СОК – куче песка – такими взаимодействиями являются связанные, с одной стороны, с силами трения, ведущими к увеличению локального наклона кучи, с другой – совокупность сил, ведущих к осыпанию (сила тяжести в первую очередь), представляющие собой силы селекции или отбраковки. Фрустрированные состояния вообще характерны для многих сложных материалов, например некоторых полимеров, в том числе биологических, включая нуклеиновые кислоты и белки. Показано (Schmalian G. and Wolynes P.G., 2000), что конкурирующие взаимодействия на различных масштабах длин в равномерно фрустрированных системах демонстрируют самоформирование стеклоподобных фазовых переходов (стеклование), вызванное возникновением экспоненциально растущего числа метастабильных (слабоустойчивых) состояний. В физике, к примеру, подобные состояния, могут возникать в тонких ферромагнитных пленках при наличии дальне-(диполь-дипольных) и ближнедействующих межспиновых взаимодействий и проявляется в образовании так называемых полосатых стеклообразных структур (страйп-фаза вещества), то есть структур с внутренней ритмичной неоднородностью. Стеклообразность подобных структур выражается, в частности, в неэргодичности состояния и наличии памяти системы.