– Да, – сказал математик Арнольд, – тогда вы можете обойтись без матросов-лунатиков на причале.
– Какие ещё задачи решал математик Арнольд? – спросил Андрей, заинтересовавшийся проблемой мягкого прилунения.
– Арнольд занимался многими задачами. Он был одним из самых продуктивных математиков мира, академиком нескольких стран, вице-президентом Международного математического союза, создателем всемирно известных математических теорий. Опубликовал более 400 статей, 30 книг и учебников, которые многократно переиздавались и переведены на многие языки мира.
– А можно вспомнить что-нибудь такое… э-э… понятное даже школьнику? – понизив голос, спросил Андрей.
– Легко! Арнольд активно популяризировал математику и делал её максимально близкой для людей. Он написал несколько книг для детей и даже сам их иллюстрировал. В книге «Математическое понимание природы. Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора)» он излагает для школьников несколько десятков интересных проблем, задаваясь множеством вопросов, активизирующих умственную деятельность читателя:
«Возвращаясь домой по синусоиде, пьяница удлиняет свой путь. Во сколько раз он его удлиняет?»
«Нижнюю педаль неподвижно стоящего на горизонтальном полу велосипеда потянули назад. Куда переместятся велосипед и нижняя педаль?»
Дзинтара пожала плечами:
– Это довольно простые задачи. Но некоторые математические проблемы из этой книжки меня просто поражают. Например, Арнольд предлагает взять географический справочник и сравнить население разных стран. Он заявляет, что государств, где численность граждан начинается с единицы – например 120 миллионов, в семь-восемь раз больше, чем стран, где она начинается с 9 – например 9 или 95 миллионов. Такая же закономерность наблюдается для площади стран, независимо от единиц измерения.
– Правда? – удивился Андрей, а Галатея метнулась к книжным полкам и вытащила энциклопедию.
Десять минут сосредоточенного пыхтения и вычислений – и дети сами убедились, что стран, которые имеют численность населения, начинающуюся с единицы, в несколько раз больше, чем стран, где она начинается с девятки. Закономерность с площадью государств тоже подтвердилась – по крайней мере для площадей, выраженных в квадратных километрах; других единиц дети не нашли.
– Фантастика! – восхищенно прошептал Андрей, а Галатея заливисто захохотала.
Дзинтара удовлетворённо кивнула:
– Это кажется волшебством, но данная закономерность отражает экспоненциальную динамику роста населения, а часто и площади разных стран. Вот в чем могущество математики: люди живут, не думая о ней, но подчиняясь её законам.
– Экспоненциальную динамику? – переспросила Галатея.
– Да, это закон, согласно которому за каждый заданный отрезок времени численность населения увеличивается примерно в 2,7 раза. Поэтому она нарастает лавинообразно.
– О каких ещё задачах рассказано в книге Арнольда? – спросил Андрей, вошедший во вкус.
– Я принесу вам эту книгу – она есть в нашей библиотеке. Там математически описывается, например, отражение человека в цилиндрическом зеркале.
– А где есть такие зеркала? – заинтересованно спросила Галатея.
– Когда вы едете в метро или в любом другом транспорте, где есть вертикальные поручни с блестящей отполированной поверхностью, то получаете множество отражений себя в цилиндрических зеркалах. Как они удивительно искажены! Арнольд изучает отражения в вертикальных стойках метро и видит в них связь с искривлённым пространством Лобачевского.
Арнольд рассказывает, как, бросая иголку на разлинованную бумагу, можно вычислить загадочное число «пи», связывающее длину окружности с её диаметром. Вы можете сами провести такой эксперимент.
Не менее интересна задача о связи длины реки и площади её бассейна – области, с которой река собирает свои воды или в которой расположены её притоки. Если река была бы прямой, а её бассейн – кру´гом, длина реки была бы пропорциональна квадратному корню из площади бассейна. Квадратный корень – это степень ½, или 0,5. Но в реальности данный показатель, который называется параметром Хэка, равен 0,58. Это означает, что длина реки больше, чем прямая, – за счет извилистости. Интересно, что извилистость рек во всем мире оказывается практически одинаковой, то есть параметр Хэка универсален. Почему? Учёные ещё не нашли ответа на эту загадку…
– Действительно, математика – очень интересная наука… – протянула Галатея.
Дзинтара кивнула:
– Но спорят о математике не только те, кто её любит или не любит. Даже сами математики, которые без своей науки жить не могут, раскололись на два лагеря – левых и правых, или левополушарных и правополушарных. Они все очень любят математику, но по-своему.
– Левополушарных? – заинтересовалась Галатея.
– Левое полушарие человеческого мозга отвечает за логику и операции с абстрактными величинами, а правое – за пространственное воображение и образность. Левополушарные учёные – те, у которых левое полушарие заметно доминирует над правым, – полагают, что математика не должна соприкасаться с реальным миром, потому что она – чистое интеллектуальное занятие, жонглирование математическими абстракциями. Они даже геометрию считают не математикой, а разделом физики, потому что она слишком тесно соприкасается с реальностью. Левополушарные специалисты пишут малопонятные книги, в которых нет ни одного рисунка.
Учёные из правого лагеря, наоборот, говорят, что математику нужно делать максимально понятной и интересной для всех – от стариков до детей. И картинок в учебниках должно быть побольше, ведь они образно поясняют суть математических расчетов.
– Правильно! – поддержал правополушарных Андрей. Галатея тоже кивнула: она любила рисунки.
– Именно таким сторонником геометрического, живого и практичного подхода к математике являлся Владимир Игоревич Арнольд – великий математик и ученик великого математика – Андрея Николаевича Колмогорова.
Колмогоров воспринимал математику как маленькую часть естествознания и, когда требовалось для пользы дела, отказывался от математической строгости выводов. Он говорил Арнольду о своих знаменитых статьях по турбулентной гидродинамике:
«Было бы напрасно искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье – Стокса. Пусть эти заключения не доказаны – зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их!»
Сам Арнольд умел ясно излагать проблему любой сложности, сочетая математическую строгость и интуитивную ясность. В своих книгах он всегда находил свежий, обычно геометрический подход к традиционным разделам математики. Он резко критиковал левополушарных учёных, вроде группы французских математиков под псевдонимом «Бурбаки», которые, увлекаясь абстрактным изложением, делали математику практически недоступной для подрастающего поколения. Арнольд называл такой подход «сектантством, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке».
– Что такое, например, натуральные числа? Можно сказать, что это числа, используемые при счёте разных предметов. Тебе понятно это определение, Галатея?
– Конечно! – кивнула девочка. – Одно яблоко, два яблока, три яблока… – вот вам и ряд натуральных чисел: раз, два, три!
– Правильно, – согласилась Дзинтара. – Но им можно дать и другое математическое определение. Например, Бурбаки определяли ряд натуральных чисел как мощности конечных множеств.
– Я этого не понимаю… – замотала головой девочка. Андрей с ней согласился.
Дзинтара пояснила:
– Конечно, потому что каждый термин из выражения «мощность конечных множеств» означает сложное понятие, которое нужно отдельно объяснять. Но Бурбаки, которые рассматривали математику как игру ума, любили искать сложные определения для простых вещей, а тех, кто плохо справлялся с этим, изгоняли из своих рядов.
Арнольд считал доминирование левополушарности болезнью и с сожалением говорил, что «мафия левополушарных больных» сумела «вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения. Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе унизительному опыту подобного обучения, – здоровая и законная реакция. К сожалению, это их отвращение распространяется на всю математику без исключений и может убить её целиком».
«Отвращение к математике» со стороны государственных чиновников очень тревожило Арнольда. Действительно, правительства разных стран похожи в одном – там сидят люди, которые не понимают математику и не любят её. Поэтому они всё время хотят убрать математику из школьного курса или хотя бы сократить её изучение в два-три раза. Арнольд страстно боролся против такой глупой политики правительств разных стран и выступал за глубокое изучение математики в школах.
Он с горечью писал: «Новое поколение детей приходит, которые ничего не знают: ни таблицы умножения, ни евклидовой геометрии – ничего не знают, не понимают и не хотят знать. Они только хотят нажимать на кнопки компьютера, и больше ничего. Что делать, как тут быть? Тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить правильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать безответственные политики».
Арнольд видел прямую связь между изучением математики и демократией: «Л. Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве народа, что правительство знает об этом и потому будет всегда бороться против просвещения. Думаю, однако, что полное разрушение математики и математического образования было бы такой же ошибкой, как преследование Галилея».
Выступая перед государственными деятелями России и критикуя предлагаемую школьную реформу, Арнольд сказал: «Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было бы преступлением против России».