Когда в процессе изучения природы мы сталкиваемся с какой-либо противоречивой ситуацией, то нередко оказываемся вынужденными выработать для ее разрешения новое понятие. Одним из таких понятий, возникающих из противоречия, и является понятие движения. Именно так определял движение и Ф. Энгельс.
«…Тело, — писал он, — в один и тот же момент времени находится в данном месте и одновременно — в другом… оно находится в одном и том же месте и не находится в нем»[4].
Таким образом, совершенно очевидно, что Зенон вовсе не ставил своей целью отрицать реальность движения. Он гениально предугадал невозможность удовлетворительно объяснить движение ни с позиций бесконечной делимости длины и длительности, ни с позиций признания неделимых элементов, если они обладают, в свою очередь, длиной и длительностью.
«Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, не угрубив, не разделив, не омертвив живого, — писал в „Философских тетрадях“ В. И. Ленин. — Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление, — и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия.
И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выражает формула: единство, тождество противоположностей»[5].
Фактически Зенон обсуждал вопрос о границах применимости представления о протяженности. По существу, его рассуждения подводили к выводу о необходимости вообще выйти за рамки протяжения.
Натурфилософские изыскания древних греков представляют большой интерес не только с точки зрения истории науки. Между ними и современным естествознанием существует явная преемственность.
— Едва ли можно разрабатывать атомную физику, — сказал выдающийся физик современности В. Гейзенберг, — не зная греческой натурфилософии. Современное естествознание во многих отношениях примыкает к древнегреческой натурфилософии, возвращаясь к тем проблемам, которые пыталась разрешить эта философия в своих первых попытках понять окружающий мир.
Так, идеи Зенона относительно протяженности перекликаются с некоторыми современными физическими идеями. Например, с идеей о так называемом регенерационном движении элементарных частиц. Другими словами, движение совершается так: частица исчезает в одной пространственной ячейке и возрождается в другой. Это происходит в результате взаимодействия с вакуумом.
Показательно и то, что одной из гипотез, с помощью которой некоторые современные физики надеются преодолеть трудности, возникающие в теории микропроцессов, является предположение о наличии элементарной длины и элементарного интервала времени.
Но те же апория Зенона наводят на мысль о том, что для объяснения сущности движения и покоя скорее всего необходимо отталкиваться от чего-то лишенного протяженности и длительности. Быть может, это ноле или вакуум, которые тоже являются формами существования материи. Не исключена возможность, что кванты длины и длительности лишены геометрической природы.
Таков тот клубок проблем и идей, которые так или иначе берут свое начало от парадоксов Зенона.
После Зенона уже нельзя было обращаться с бесконечностью с прежней небрежностью.
Аристотель против атомистов
Найти выход из критической ситуации, сложившейся в вопросе о бесконечности после апорий Зенона, попытался Аристотель (384 г. — 322 г. до н. э.).
Сын македонского лейб-медика Никомаха Аристотель в молодости переехал в Афины, где обучался в школе Платона. Отец Аристотеля был высокообразованным человеком и автором ряда естественнонаучных сочинений. Согласно традиции он с ранних лет обучал Аристотеля своему врачебному искусству. Из родительского дома Аристотель вынес интерес к эмпирическому естествознанию и понимание индуктивного метода исследования. И когда в Академии Платона при его преемниках стали преобладать мистические спекуляции, Аристотель порвал с нею. Его учение о мире было первой хорошо разработанной всеобъемлющей философской системой, господствовавшей полторы тысячи лет.
Аристотель основал собственную школу — Ликей (отсюда пошло наше слово «лицей»). Ежедневно были две «прогулки», то есть две лекции. Утренняя лекция, называемая ахроматической, предназначалась для подготовленных учеников и посвящалась абстрактным частям науки. Вечерняя — читалась для всех слушателей и требовала минимума предварительных знаний. После ахроматической лекции слушатели горячо спорили, прохаживаясь по прохладным тенистым платановым аллеям рощи Аполлона Ликейского.
Аристотель отличался поразительной книжной ученостью и собрал обширную библиотеку. Он побуждал своих учеников в Ликее изучать и систематизировать более раннюю литературу и сам обычно предпосылал новым исследованиям обзоры того, что по этому вопросу уже было написано.
Лекции в Ликее помогали Аристотелю связать воедино проблемы, над которыми он до этого долго размышлял. Идеи и доводы укладывались в стройную систему, на ходу рождались новые недостающие аргументы.
Аристотель понимал, что наука о природе не может отказаться от понятия бесконечного, и не раз повторял своим ученикам: «Исследуя природу, надо исследовать вопрос о бесконечности».
— Рассмотрение бесконечного, — говорил Аристотель, — имеет свои трудности, так как много невозможного следует и за отрицанием его существования, и за признанием.
И еще:
— Неразумно приписывать материальным элементам отсутствие частей. Учащие о неделимых телах неизменно впадают в конфликт с математическими науками.
— Но что же такое бесконечность? — спрашивал кто-нибудь из учеников.
— Бесконечность не следует понимать как определенный предмет, — пояснял Аристотель, — как человека или дома, а в том смысле, как, скажем, день или состязание, которые все время находятся в возникновении и уничтожении. — И чтобы сделать свою мысль более ясной для окружающих, добавлял — Бесконечность — то, что не может быть пройдено. И это не простое повторение одного и того же, а процесс, который все время приводит к новому и новому.
— Значит, пространство и время делимы бесконечно?
— Если пространство и время прерывны, — вслух рассуждал Аристотель, — то движение должно происходить скачками. Но между двумя атомами пространства нет пространства, а между двумя атомами времени нет времени. У отрезка или интервала времени не может быть пробелов. А непрерывное есть то, что всегда делимо на всегда делимые части.
— Значит ли это, — снова следовал вопрос, — что и любое тело можно делить без конца?
— В отношении величины наименьшего числа нет, так как всякая линия делима. Конечное же тело не делимо до бесконечности.
— Надо ли в таком случае понимать, что бесконечность на самом деле не существует? — не унимался вопрошающий.
— В самой природе нет бесконечного, — убежденно отмечал Аристотель. — Бесконечность — абстракция, которую математик применяет, познавая действительность. Но в то же время математические принципы — выше нашего опыта, и опыт не может вносить в них какие бы то ни было изменения.
Аристотель рассматривал бесконечность как процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и пет последнего. Например: бесконечная последовательность натуральных чисел, которую можно получить путем последовательного прибавления единицы. Подобную бесконечность Аристотель называл потенциальной, которую он понимал, следовательно, как осуществимость сколь угодно большого, по конечного числа объектов.
Актуальная же бесконечность предполагает возможность завершения бесконечного процесса. Другими словами, актуально бесконечное множество является завершенным объектом — «ставшим».
Аристотель утверждал, что математики вполне могут обойтись потенциальной бесконечностью. Актуальную бесконечность следует отбросить как ненужную.
Будучи одним из величайших мыслителей Древней Греции, достигшим высот теоретической мысли, Аристотель в то же время проводил непроходимую грань между прикладными задачами и научной теорией. В частности, он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями, а реальные вещи ее совершенно не должны интересовать.
Впрочем, такую же позицию занимали и другие древнегреческие мыслители. Например, в знаменитых «Началах» Эвклида, которые и по сей день считаются фундаментом геометрии, мы не найдем ни одного примера вычисления площади какой-либо реальной поверхности.
Архимед был первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знаний, в частности понятие бесконечности для решения практических задач. Он первым вычислил площадь круга как предел площади, вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон неограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности.
В дальнейшем Архимед усовершенствовал свой метод, использовав его не только для вычислений, но и для исследования свойств различных фигур и тел. Он разлагал любое тело (например, шар или конус) на чрезвычайно тонкие кружки, доказывал то или иное утверждение для одного из этих кружков и отсюда делал вывод, что подобным же свойством обладает и все тело.
Архимед был одним из последних представителей эпохи великих мыслителей и математиков Древней Греции.
Глава II. ОТ НЬЮТОНА ДО КАНТОРА
Лейбниц против Ньютона
Новый этап в развитии представлений о бесконечности связан с созданием так называемого математического анализа — изобретением дифференциального и интегрального исчислений, которое справедливо считается одним из величайших достижений науки XVII века.
Важнейшим событием того времени и бесспорно одним из крупнейших в истории естествознания и человеческой мысли вообще было появление ньютоновского труда «Математические начала натуральной философии».
Эта книга как бы подвела итоги всему тому, что было сделано за предшествующие тысячелетия в изучении простейших