\omega =sqrt(\gamma/\beta) , или Т = 2\pi / sqrt(\gamma/\beta).
В случае маятника роль жесткости играла величина g, а «массы» - длина маятника l. Таким образом, можно рассмотреть сразу все осцилляторы независимо от их физической природы.
Вот еще один осциллятор, совсем непохожий на предыдущие, но и к нему применимы те же формулы. Концы катушки из хорошо проводящей проволоки присоединены к конденсатору. Энергия такой системы состоит из двух слагаемых: энергии магнитного поля в катушке и энергии электрического поля, пропорциональной квадрату заряда Q, который в данный момент находится на обкладках конденсатора. Если заряд Q рассматривать как координату осциллятора, то энергия конденсатора будет играть роль потенциальной энергии. Энергия магнитного поля катушки пропорциональна квадрату силы тока, текущего в данный момент по катушке. Но сила тока равна скорости Q' изменения заряда конденсатора со временем. Энергия магнитного поля пропорциональна Q'2 и соответствует кинетической энергии. Такой осциллятор называется «электрическим колебательным контуром».
Если в катушку вдвинуть, а затем вынуть магнит, в цепи возникнут электромагнитные колебания - магнитная энергия будет переходить в электрическую и наоборот. Чем меньше сопротивление проволоки в катушке, тем медленнее будут затухать колебания. Если катушка сделана из сверхпроводника, колебания практически не будут затухать.
Как угадать решение?
Можно иногда выяснить свойства решения, прежде чем будет построена теория, до того как найдены уравнения, описывающие явления. Это пример более сложного анализа размерностей, чем в случае осциллятора.
Одна из труднейших и нерешенных задач теоретической физики - связь гравитационных и электродинамических явлений.
Если такая связь существует, то в результате решения каких-то еще не найденных уравнений будет получено безразмерное число, дающее соотношение между гравитационной постоянной G и величинами, характеризующими электричество, такими, как скорость света с, заряд электрона е и его масса m. Если существенны квантовые явления, в задачу может войти еще постоянная Планка h , которая, как мы видели, характеризует скачки энергии электромагнитных колебаний. Зная размерности величин G, с, е, m, h, нетрудно убедиться, что из этих величин можно составить только две независимые безразмерные комбинации:
Первая из них хорошо известна и называется «постоянной тонкой структуры». Подстановка числовых значений дает \alpha = 1/137; \ksi = 5\cdot 1044. Может ли такое большое
число, как \ksi, возникнуть в результате решения каких-нибудь разумных уравнений? Безразмерные числа, которые получаются в физических задачах, обычно имеют порядок нескольких единиц или долей единицы. Поэтому мы вправе ожидать, что величина \ksi войдет в задачу в такой форме, чтобы в результате получилось число порядка единицы. Пока мы применяли здравый смысл. Теперь нужно сделать небольшой интуитивный логический скачок.
Правдоподобно, что в теорию войдет натуральный логарифм \ksi (ln(\ksi) ~100) в комбинации \alpha ln(\ksi) ~ 1. В этом соотношении уже нет больших чисел. Знание такого соотношения облегчает поиски решения.
Поправки к электродинамике в сильном поле
Это более сложная задача, которая даст некоторое представление о важном методе современной физики - графиках Фейнмана. Метод графиков или диаграмм совершил революцию в теоретических расчетах. Суть его состоит в том, что явления изображаются в виде рисунков, которые расшифровываются в конце работы. Даже без расшифровки, только как иллюстрация процессов, эти графики многое разъясняют. Например, такой рисунок означает рождение и уничтожение пары электрон -
позитрон фотоном, если под пунктиром понимать квант, а под линиями с разными стрелками - электрон и позитрон. Точки на графике означают акт взаимодействия кванта с электроном. Каждый акт вносит множитель е, а весь график показывает, как изменяется закон распространения электромагнитного поля из-за временного рождения пары электрон - позитрон.
Вакуум представляет собой сложную среду, в которой могут виртуально - на время - рождаться пары частиц - античастиц. Особенно ясно это станет после прочтения следующей главы. Поэтому нет никаких оснований считать, что уравнения Максвелла останутся линейными для сколь угодно сильных полей. Оценим порядок величины поправок к этим уравнениям.
Поправку к уравнениям Максвелла лучше всего
нивать по изменению безразмерной величины - диэлектрической постоянной, скажем, в электрическом поле.
Отчего изменяется диэлектрическая постоянная, определяющая скорость распространения света в вакууме в присутствии внешнего поля? Ведь внешнее поле на свет не действует. Механизм состоит в том, что свет на время рождает электрон-позитронную пару, а эти частицы уже взаимодействуют с внешним полем.
На рисунке процесс выглядит так:
Этот рисунок показывает, как изменяется во внешнем поле закон распространения фотона.
Квант на время рождает пару, а электрон и позитрон взаимодействуют с внешним полем (волнистая линия). Каждое включение внешнего поля вносит множитель еЕ, где Е - напряженность внешнего поля.
Теперь нетрудно составить безразмерную комбинацию, дающую поправку к диэлектрической постоянной. Сначала составим безразмерную комбинацию, содержащую поле Е. Так как еЕ имеет размерность энергии, деленной на длину, а величина h/mc - размерность длины, то выражение
безразмерно.
Теперь, глядя на рисунок, нетрудно догадаться, как должна выглядеть поправка к диэлектрической постоянной:
где f - произвольная функция. Заряд е входит в первый множитель квадратично, так как предварительно была рождена пара, а поле Е входит в функцию в безразмерной комбинации \beta. При сравнительно малых полях функцию f можно разложить в ряд. Он начнется с члена ~Е2, ведь Е - вектор, а в ответ может входить
только скалярная величина, то есть только квадрат вектора Е.
Итак,
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ
Декарт научил нас не только сомневаться, но и решать уравнения.
Ж- Фурье
Мы уже много раз поминали всуе знак h - постоянную Планка. Пора приступить к делу и показать не на словах, а на формулах, как эта величина участвует в квантовых явлениях. Одновременно это послужит лучшему пониманию того, что представляет собой качественный анализ и как он работает. Мы получим самые важные соотношения квантовой механики, пользуясь только качественными соображениями, отбрасывая несущественные трудности. Мы найдем уровни энергии атома, вращающегося тела, осциллятора и обсудим следствия применения квантовой механики к электромагнитному и другим полям.
Квантование атома
Согласно квантовой механике энергия электрона в атоме может принимать только дискретные значения.
Возможные значения энергии электрона в поле ядра с зарядом Z (для водорода Z = 1) даются выражением
Разности значений Еп для двух разных п (п = 1, 2, 3…) определяют с большой точностью возможные частоты наблюдаемых на опыте спектральных линий. Эта формула - результат точного решения уравнения Шрё-дингера для волновой функции, описывающей движение электрона. Посмотрим, к чему приводит качественный анализ.
Как мы уже знаем, идея де Бройля состояла в том, что каждая частица, в данном случае электрон, характеризуется волновым процессом с длиной волны
где v - скорость частицы. Дискретные значения энергии электрона получаются из условия, чтобы на той длине, на которой движется электрон, укладывалось целое число волн. Если радиус орбиты г, то электрон движется на длине 2лх и n-ному состоянию электрона соответствует условие 2ягД = п или v = hn/mr. Отсюда нетрудно найти кинетическую энергию в n-ном состоянии:
Полная энергия электрона складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра, которая отрицательна и равна - Ze2/r. Полная энергия:
Длина г характеризует ту область радиусов, где в основном находится электрон; ее можно оценить из условия, чтобы полная энергия была минимальна. Нетрудно сообразить, что этому соответствуют такие г, при которых первое слагаемое приблизительно равно второму. Действительно, при малых г, когда первое слагаемое больше второго, энергия понижается при увеличении г, а при больших г, когда второе слагаемое много больше первого, г выгодно уменьшать. Точный расчет дает для минимума энергии условие 2T = V. Таким образом, получаем:
При n = 1 это выражение дает правильную оценку
для радиуса атома в наинизшем состоянии. Подставляя значение г в выражение для Е_n (r), получим:
то есть в точности то выражение, которое мы приводили. В действительности электрон может с разной вероятностью находиться на любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состояло в предположении, что это расстояние определенное, равное г, и находится из условия минимальности энергии. Разумеется, мы действовали грубо. Поэтому нельзя доверять численному множителю перед формулой. Но все остальное получилось верно! И множитель mZ2e4/h2 и, что особенно важно, зависимость от «квантового числа» n.
Точное решение потребовало бы знания основного уравнения квантовой механики - уравнения Шрёдин-гера - и очень сложной по школьным понятиям математики. То, что мы нашли, и есть качественное решение, когда результат получается с точностью до неизвестного численного множителя, в несколько раз отличающегося от единицы, но характер зависимости от параметров задачи передается правильно. Качественное решение чрезвычайно облегчает получение точного, поскольку выясняются главные черты явления. Более того, если есть качественное решение, а точного не удается получить аналитически, можно найти его без особых потерь в понимании задачи, с помощью вычислительных машин.
Квантование вращения
Как мы сейчас увидим, применение квантовой механики к вращающемуся телу приводит к тому, что момент количества движения может принимать не любые значения, как в классической механике, а значения, кратные величине п. Это относится и к полному моменту, и к его проекции на какую-либо ось. Поэтому вращающееся тело может наклоняться не под всеми углами, а только под некоторыми. Мы уже говорили об этом в разделе о красоте науки, обсуждая внутренние симметрии.